Счёт без калькулятора на экзамене: приёмы и проверка

Зачем нужен счёт без калькулятора, если задачи «простые»

Калькулятор на ОГЭ и профильном ЕГЭ запрещён — это закреплено в спецификациях ФИПИ^[1], поэтому все вычисления выполняются в черновике или в уме.

Вычисления в вариантах несложные: ответы — целые числа или конечные десятичные дроби, а промежуточные результаты обычно укладываются в 3–4 знака. Трудность в другом, и счёт без калькулятора тренируется как отдельный навык. Выпускник, привыкший весь год считать на телефоне, тратит на $14 \cdot 15$ или $3{,}6 : 0{,}12$ заметно больше времени и чаще ошибается. За 25 заданий ОГЭ это складывается в десятки минут.

Устный счёт — это не фокусы с огромными числами, а несколько приёмов, которые превращают вычисление в 1–2 простых действия. Они нужны в задании 6 ОГЭ (вычисления с дробями), в задании 14 базового ЕГЭ, в практических задачах 1–5 ОГЭ и почти везде, где в конце нужно получить число. Подробно о самих дробях — в теме действия с дробями.

Приём	Пример	Как считать
Умножение на 5	$48 \cdot 5$	$48 \cdot 10 : 2 = 240$
Умножение на 25	$36 \cdot 25$	$36 : 4 \cdot 100 = 900$
Умножение на 125	$64 \cdot 125$	$64 : 8 \cdot 1000 = 8000$
Разбиение на разряды	$47 \cdot 6$	$240 + 42 = 282$
Дополнение до круглого	$98 \cdot 7$	$700 - 14 = 686$
Разность квадратов	$52 \cdot 48$	$50^2 - 2^2 = 2496$
Квадрат числа на 5	$65^2$	$6 \cdot 7 = 42$ , приписать 25: $4225$

Приёмы умножения: разбиение, круглые числа, 5 и 25

Умножение в уме упрощается одним из 3 способов: разбить число на разряды, дополнить его до круглого или заменить множитель 5, 25, 125 на деление.

Разбиение работает для умножения на однозначное число: $47 \cdot 6 = 40 \cdot 6 + 7 \cdot 6 = 240 + 42 = 282$ . Дополнение до круглого удобно, когда множитель близок к 10, 100 или 1000: $98 \cdot 7 = 100 \cdot 7 - 2 \cdot 7 = 686$ , $199 \cdot 4 = 800 - 4 = 796$ . Это обычное распределительное свойство умножения, которое изучают в 5 классе, просто применённое осознанно.

Множители 5, 25 и 125 — это $\frac{10}{2}$ , $\frac{100}{4}$ и $\frac{1000}{8}$ . Поэтому умножение на них заменяется делением на 2, 4 или 8 и приписыванием нулей. Так $36 \cdot 25 = 900$ считается за пару секунд, а не столбиком. Тот же приём помогает с десятичными дробями: $0{,}25 = \frac14$ , значит $1{,}6 \cdot 0{,}25 = 1{,}6 : 4 = 0{,}4$ .

Произведение двух чисел, симметричных относительно круглого, сводится к формуле разности квадратов: $52 \cdot 48 = (50 + 2)(50 - 2) = 2500 - 4 = 2496$ . Аналогично $24 \cdot 26 = 625 - 1 = 624$ . Формула сокращённого умножения из курса алгебры здесь работает как инструмент вычисления.

Миф: «Быстро считать в уме умеют только люди с особыми способностями». Это не подтверждается: устный счёт — набор приёмов, а не талант. Регулярная короткая тренировка по 10 минут в день даёт заметный результат за несколько недель у любого школьника.

Деление и десятичные дроби без столбика

Чтобы разделить на десятичную дробь, сначала переносят запятую в делимом и делителе на одинаковое число знаков вправо, пока делитель не станет целым.

Пример: $3{,}6 : 0{,}12 = 360 : 12 = 30$ , $2{,}4 : 0{,}08 = 240 : 8 = 30$ . Это частное не меняется, потому что делимое и делитель умножены на одно и то же число. Ошибка с запятой — самая частая в задании 6 ОГЭ, поэтому перенос лучше записывать явно, а не держать в голове.

Деление на 5 и 25 — обратный приём к умножению: $340 : 5 = 340 \cdot 2 : 10 = 68$ , $1300 : 25 = 1300 \cdot 4 : 100 = 52$ . Полезно помнить десятичные значения простых дробей: $\frac12 = 0{,}5$ , $\frac14 = 0{,}25$ , $\frac15 = 0{,}2$ , $\frac18 = 0{,}125$ , $\frac{1}{20} = 0{,}05$ . Тогда $7{,}5 \cdot 0{,}4$ превращается в $7{,}5 \cdot \frac25 = 3$ , а $125 \cdot 0{,}08$ — в $125 \cdot \frac{8}{100} = 10$ .

Квадраты и корни: что держать в памяти

Квадраты чисел от 11 до 25 стоит знать наизусть: они встречаются в теореме Пифагора, в дискриминанте и при извлечении корней, а пересчитывать их каждый раз — лишние 30 секунд на задачу.

Для двузначных чисел, оканчивающихся на 5, есть короткий приём: число десятков умножают на следующее за ним и приписывают 25. $35^2$ : $3 \cdot 4 = 12$ , ответ $1225$ ; $85^2$ : $8 \cdot 9 = 72$ , ответ $7225$ . Обратная задача — извлечь корень — решается через последнюю цифру и границы: $\sqrt{1764}$ лежит между 40 и 50, последняя цифра 4 даёт варианты 42 и 48, а $42^2 = 1764$ . Полная таблица и другие приёмы — на странице таблица квадратов.

Сначала сократить, потом считать

Если в выражении есть дробь, произведения в числителе и знаменателе не перемножают, а сначала сокращают — это уменьшает числа и убирает половину вычислений.

Пример: $\dfrac{36 \cdot 15}{9 \cdot 20}$ . Перемножать $36 \cdot 15 = 540$ и $9 \cdot 20 = 180$ не нужно: $36 : 9 = 4$ , затем $\dfrac{4 \cdot 15}{20} = \dfrac{60}{20} = 3$ . Тот же принцип в выражениях со степенями и корнями: сначала свойства степеней, потом арифметика.

В заданиях вида «найдите значение выражения» ответ почти всегда «круглый». Если у вас получилось $6{,}3333\ldots$ или громоздкая дробь, это повод перепроверить, а не округлять. Пример в формате задания 14 базового ЕГЭ:

Найдите значение выражения $\dfrac{4{,}7 \cdot 6 - 1{,}2}{4}$ .

Числитель: $4{,}7 \cdot 6 = 28{,}2$ (разбиение: $24 + 4{,}2$ ), $28{,}2 - 1{,}2 = 27$ . Делим: $27 : 4 = 6{,}75$ . Ответ $6{,}75$ — конечная десятичная дробь, её можно записать в бланк. Больше таких задач с разбором — в материале задание 14 ЕГЭ базового уровня.

Как проверить вычисление за 20 секунд

Проверка без калькулятора — это 4 быстрых теста, каждый из которых ловит свой тип ошибки: последняя цифра, грубая прикидка, сумма цифр и обратное действие.

Последняя цифра. В произведении $47 \cdot 38$ последняя цифра равна последней цифре $7 \cdot 8 = 56$ , то есть 6. Ответ $1786$ проходит, а $1784$ — нет.
Прикидка. $47 \cdot 38$ немного меньше $50 \cdot 40 = 2000$ . Ответ $1786$ правдоподобен, а $17\,860$ или $178$ — нет: потеряна или лишняя цифра.
Сумма цифр. Остаток от деления на 9 сохраняется при умножении: у 47 он 2, у 38 тоже 2, их произведение даёт 4; у 1786 сумма цифр 22, остаток 4 — совпало.
Обратное действие. После деления $3{,}6 : 0{,}12 = 30$ проверьте $30 \cdot 0{,}12 = 3{,}6$ .

Проверка результата — отдельный этап решения в классической книге Пойа «Как решать задачу»^[2]: он советует оглядываться на полученный ответ и проверять его другим путём. Для арифметики это особенно верно, потому что повторный счёт тем же способом часто повторяет ту же описку. Как отличать правдоподобный ответ от неправдоподобного, подробно описано в теме округление и прикидка результата.

Миф: «Для проверки на экзамене можно один раз воспользоваться калькулятором в телефоне». Такого исключения не существует: телефон и калькулятор запрещены Порядком проведения ГИА, а нарушение означает удаление с экзамена и аннулирование результата.

Тренажёр: вычисления в формате задания 14 базового ЕГЭ

Тренажёр над статьёй — это генератор задач № 14 базового ЕГЭ: каждый раз он создаёт новое выражение вида «произведение минус число, делённое на число» с десятичными дробями.

Решайте в черновике, введите ответ в поле «Ответ» и нажмите «Проверить». Кнопка «Решение» показывает вычисление по шагам, а «Следующая задача →» выдаёт новый вариант — варианты бесконечные. Полоска последних ответов и счётчик «решено X из Y» помогают видеть точность. Разумная цель — 10 задач подряд без ошибки и в среднем не больше 1,5 минуты на задачу. Если ошибки повторяются, применяйте к каждому ответу хотя бы два теста из списка проверки.

Счёт без калькулятора тренируется лучше, если занятия короткие и регулярные: исследование Cepeda и соавторов показало, что распределённое повторение эффективнее занятий подряд^[3]. 10 минут через день дадут больше, чем час в выходные.

Когда устный счёт не нужен

Не каждое вычисление стоит делать в уме: есть ситуации, где столбик в черновике надёжнее и быстрее.

Если в произведении больше 2 многозначных множителей, считайте письменно: держать в голове 5–6 промежуточных чисел рискованно.
Если вы устали к третьему часу экзамена, переходите на письменный счёт даже для 2-значных чисел.
Если до экзамена меньше 2 недель, не учите новые трюки — закрепляйте 3–4 приёма, которыми уже владеете.
Если ответ получился некруглым, с цифрой 3 в периоде, пересчитайте письменно: в бланк идёт конечная десятичная дробь, значит, где-то ошибка.

Чего делать нельзя

Не следует жертвовать точностью ради скорости: вот ошибки, которые чаще всего совершают при подсчётах вручную.

Нельзя проносить на экзамен калькулятор или телефон, даже «только для проверки».
Нельзя перемножать числитель и знаменатель до сокращения дроби.
Не следует переносить запятую «в уме» при делении десятичных дробей — запишите шаг.
Не следует округлять промежуточные результаты: ответ должен быть точным.
Не стоит проверять вычисление тем же способом, каким вы его делали.
Не стоит весь год считать на телефоне, а отказаться от него за неделю до экзамена.

Источники

[1] ФИПИ. Спецификация контрольных измерительных материалов для проведения в 2026 году основного государственного экзамена по математике. — М.: ФИПИ, 2025.

[2] Пойа Д. Как решать задачу. — М.: Учпедгиз, 1959.

[3] Cepeda N. J., Pashler H., Vul E., Wixted J. T., Rohrer D. Distributed practice in verbal recall tasks: a review and quantitative synthesis // Psychological Bulletin. 2006. Vol. 132, No. 3. P. 354–380.

[4] ФИПИ. Спецификация контрольных измерительных материалов для проведения в 2027 году единого государственного экзамена по математике. Профильный уровень (проект). — М.: ФИПИ, 2026.

Вопросы и ответы

Можно ли на экзамене считать столбиком?

Да, черновик для этого и выдают. Письменный расчёт надёжнее для многозначных чисел, а проверяется только ответ в бланке, а не способ.

Какие квадраты нужно знать наизусть?

Минимум — от 1 до 20 и квадраты чисел, оканчивающихся на 5. Остальные быстро получаются разбиением или формулой квадрата суммы.

Сколько времени тренировать счёт без калькулятора?

Хватает 10–15 минут несколько раз в неделю в течение 1–2 месяцев. Важнее регулярность: короткие занятия через день работают лучше редких длинных.

Что делать, если ответ получился бесконечной дробью?

В бланк ОГЭ и ЕГЭ записывается целое число или конечная десятичная дробь. Если получилось $0{,}333\ldots$ , перепроверьте расчёт или условие — возможно, задача требует округлить ответ.

Разрешён ли калькулятор на профильном ЕГЭ для второй части?

Нет. Запрет действует на весь экзамен, включая задачи с развёрнутым ответом^[4]. Сравнения корней с концами отрезка и другие оценки нужно обосновывать вручную.

Помогает ли устный счёт во второй части?

Да: в финансовых и текстовых задачах много расчётов, и быстрый счёт без калькулятора освобождает время на обоснование. Сокращение до вычислений особенно полезно в задачах с процентами и кредитами.