Теория для экзамена по математике: алгебра, геометрия, вероятность
Здесь собрана теория по темам, без привязки к номерам: она нужна, когда задача «не идёт», потому что забыто правило. Каждая страница объясняет тему с нуля, показывает, в каких заданиях ОГЭ и ЕГЭ она встречается, и даёт тренажёр для закрепления.
ТеорияОбыкновенные и десятичные дроби: правила вычислений без калькулятораДействия с дробями по шагам: общий знаменатель, умножение и деление обыкновенных дробей, перевод в десятичную запись, порядок действий и тренажёр.ТеорияКак решать задачи с процентами: множитель, вклады и процентные пунктыЗадачи на проценты без путаницы: как найти долю и число по его части, считать скидки и наценки множителем, сложные проценты и процентные пункты.ТеорияСтепень числа: правила умножения, деления и возведения в степеньСвойства степеней с натуральным, целым и рациональным показателем: умножение и деление, отрицательная и нулевая степень, корни, разбор задач ОГЭ и ЕГЭ.ТеорияАрифметический корень: как упрощать, сравнивать и считать устноКвадратный корень по правилам: корень из произведения и дроби, корень из квадрата и модуль, вынесение множителя, избавление от иррациональности, задачи.ТеорияКвадрат суммы, разность квадратов и кубы: формулы с примерамиФормулы сокращённого умножения с выводом и примерами: квадрат суммы и разности, разность квадратов, кубы, разложение на множители и устный счёт.ТеорияРациональные дроби с переменной: как упрощать выражения без ошибокАлгебраические дроби по шагам: область допустимых значений, сокращение через разложение на множители, общий знаменатель, умножение, деление и задачи.ТеорияУравнение вида ax + b = 0: как решать, проверять и не терять кореньЛинейные уравнения по шагам: раскрытие скобок, перенос слагаемых, дробные коэффициенты, пропорция, случаи «нет корней» и «бесконечно много», тренажёр.ТеорияКак решать квадратное уравнение: формула корней, неполные случаи, ВиетКвадратные уравнения без ошибок: формула дискриминанта, теорема Виета, три вида неполных уравнений, разбор примеров и тренажёр в формате ОГЭ.ТеорияКак решить систему двух уравнений с двумя неизвестными: три способаСистемы уравнений для ОГЭ и ЕГЭ: метод подстановки, способ сложения, графический способ, нелинейные системы, разбор примеров и задачи с проверкой.ТеорияКак решать неравенство первой степени и записывать ответ промежуткомЛинейные неравенства для ОГЭ: когда меняется знак, как записать ответ промежутком, системы и двойные неравенства, разбор примеров и тренажёр задания 13.ТеорияКак решить неравенство с квадратным трёхчленом по эскизу параболыКвадратные неравенства без ошибок: корни трёхчлена, эскиз параболы, случаи D = 0 и D < 0, неполные неравенства, разбор примеров и задачи с проверкой.ТеорияРациональные неравенства: знаки на интервалах числовой оси по шагамМетод интервалов по шагам: нули числителя и знаменателя, расстановка знаков, чётная кратность, выколотые точки, разбор примеров и задачи с проверкой.ТеорияАбсолютная величина числа: свойства и раскрытие модуля в задачахМодуль числа простыми словами: определение и геометрический смысл, свойства, уравнения и неравенства с модулем, разбор по промежуткам, задачи.ТеорияПрогрессия с постоянной разностью: n-й член, сумма и задачи ОГЭАрифметическая прогрессия для ОГЭ: разность, формула n-го члена, две формулы суммы, характеристическое свойство, практические задачи, генератор задания 14.ТеорияЗнаменатель, n-й член и сумма геометрической прогрессииГеометрическая прогрессия простыми словами: знаменатель, формула n-го члена, сумма первых членов, бесконечно убывающая прогрессия и задачи с проверкой.ТеорияЛинейная функция и её прямая: как читать k и b и строить графикЛинейная функция: смысл углового коэффициента и свободного члена, построение по двум точкам, параллельные прямые и построитель графиков.ТеорияПарабола без ошибок: вершина, ось симметрии, корни и сдвиги графикаКвадратичная функция и её график: как найти вершину параболы, куда направлены ветви, где нули, как сдвигать график и читать знаки коэффициентов.ТеорияГипербола: ветви в четвертях, асимптоты, сдвиги и построение по точкамОбратная пропорциональность и её график: в каких четвертях лежат ветви гиперболы, что такое асимптоты, как построить и сдвинуть кривую.ТеорияГрафик квадратного корня и правила преобразования графиков функцийФункция корня: область определения, опорные точки, график, а также сдвиги, растяжения и отражения графиков с примерами построения по шагам.ТеорияЛогарифм с нуля: определение, основное тождество и смена основанияСвойства логарифмов с примерами: определение и ограничения, основное логарифмическое тождество, логарифм произведения, частного, степени, смена основания.ТеорияКак устроены графики показательной функции и логарифмаПоказательная функция и логарифмическая: как выглядят графики при основании больше и меньше единицы, асимптоты, монотонность и сравнение чисел.ТеорияЕдиничная окружность: как читать синус и косинус по точкеТригонометрический круг для ЕГЭ: перевод градусов в радианы, знаки синуса, косинуса и тангенса по четвертям, углы больше 360° и интерактивный круг.ТеорияФормулы тригонометрии для ЕГЭ: тождество, сложение, приведениеТригонометрические формулы для ЕГЭ: основное тождество, правило приведения без зубрёжки, формулы сложения и двойного угла, примеры заданий.ТеорияКак найти производную: формулы, правила и сложная функцияТаблица производных с ограничениями, правила суммы, произведения и частного, производная сложной функции, примеры и генератор задач ЕГЭ.ТеорияКасательная к графику функции: угловой коэффициент и задачиГеометрический смысл производной: угловой коэффициент касательной, уравнение касательной, производная по рисунку и 8 задач с проверкой ответа.ТеорияЗакон движения точки: как найти скорость и ускорение в моментФизический смысл производной: мгновенная скорость и ускорение по закону движения, разгон и торможение, сила тока и 8 задач в формате ЕГЭ.ТеорияИсследование функции с помощью производной: экстремумы и отрезокНаибольшее значение функции на отрезке и точки экстремума: условия Ферма и смены знака, алгоритм по шагам, примеры и генератор задач.ТеорияКак найти первообразную и площадь криволинейной трапецииПервообразная и интеграл для ЕГЭ: таблица первообразных, константа по точке, площадь криволинейной трапеции, формула Ньютона–Лейбница, 8 задач.ТеорияКак решать задачи про встречное движение, погоню и течение рекиЗадачи на движение для ОГЭ и ЕГЭ: встречное движение и погоня, лодка по реке, средняя скорость, поезда и круговая трасса — формулы, таблица и разборы.ТеорияСовместная работа и производительность: как решать без ошибокЗадачи на работу для ОГЭ и ЕГЭ: производительность, вся работа как единица, две трубы и бассейн, слив, уравнение для двух рабочих — формулы и разборы.ТеорияКонцентрация растворов и сплавов: правило, таблица и разборыЗадачи на смеси и сплавы для ОГЭ и ЕГЭ: концентрация, разбавление водой, смешивание двух растворов, высушивание, системы уравнений — разборы и тренажёр.ТеорияКак считать вероятность через благоприятные исходы: разборыКлассическая вероятность для ОГЭ и ЕГЭ: формула m/n, равновозможные исходы, перебор вариантов для монет и кубиков, бытовые задачи, округление и симулятор.ТеорияСложение и умножение вероятностей: независимые события и деревоТеоремы сложения и умножения вероятностей для ЕГЭ: несовместные и независимые события, противоположное событие, «хотя бы один», дерево и разборы.ТеорияПравило умножения, перестановки, размещения и сочетания с примерамиКомбинаторика: формулы для ОГЭ и ЕГЭ — правило умножения и сложения, перестановки, размещения, сочетания, факториал, задачи с проверкой и разборами.ТеорияОписательная статистика: медиана, мода, размах и отклонениеСреднее арифметическое, медиана, мода, размах, дисперсия и стандартное отклонение: как считать для ОГЭ и ЕГЭ, когда какая мера честнее, задачи с проверкой.ТеорияСлучайная величина и распределение: как найти среднее и отклонениеСлучайная величина простыми словами: таблица распределения, математическое ожидание, дисперсия, стандартное отклонение и биномиальная схема с примерами.ТеорияТеория множеств и графов для школьника: от кругов Эйлера до деревьевМножества и графы в курсе вероятности и статистики: пересечение и объединение, круги Эйлера, степени вершин, пути, деревья и задачи с проверкой.ТеорияДелимость чисел: признаки, простые множители, НОД, НОК и остаткиПризнаки делимости на 2, 3, 4, 5, 8, 9, 11 и 25, составные признаки, простые числа, НОД и НОК, алгоритм Евклида и остатки — с разбором задач.ТеорияКак округлять числа и прикидывать ответ: разряды и погрешностьОкругление чисел до нужного разряда, когда округлять вверх и когда вниз, погрешность приближения и быстрая прикидка результата без калькулятора.ТеорияПеревод величин из одних единиц в другие и правдоподобные значенияЕдиницы измерения длины, площади, объёма, массы и времени: таблицы перевода, квадратные и кубические единицы, км/ч и м/с, правдоподобные значения.ТеорияКак читать график и диаграмму: оси, шаг сетки, типичные ошибкиЧтение графиков, столбчатых и круговых диаграмм и таблиц: как определить цену деления, найти наибольшее значение, разность и не попасть в ловушки.ТеорияЧисла на числовой прямой: сравнение, оценка корней и модульКоординатная прямая: как отметить и сравнить числа, оценить корень между целыми, проверить утверждения о числах a и b и понять модуль как расстояние.ТеорияУглы при пересечении прямых: смежные, вертикальные и при секущейПараллельные прямые и секущая: накрест лежащие, соответственные и односторонние углы, смежные и вертикальные углы, признаки параллельности, задачи.ТеорияТри признака равенства и свойства равнобедренного треугольникаПризнаки равенства треугольников по двум сторонам и углу, стороне и двум углам, трём сторонам; прямоугольные и равнобедренные треугольники, задачи.ТеорияПодобные треугольники: коэффициент, признаки и отношение площадейПодобие треугольников простым языком: три признака, коэффициент подобия, отношение периметров и площадей, теорема Фалеса и задачи с проверкой.ТеорияКвадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов: как применятьТеорема Пифагора с доказательством и примерами: как найти катет и гипотенузу, пифагоровы тройки, обратная теорема и применение в ОГЭ и ЕГЭ.ТеорияТангенс и другие отношения сторон прямоугольного треугольникаСинус, косинус и тангенс острого угла прямоугольного треугольника: определения, значения для 30°, 45° и 60°, связь между ними, разбор задач.ТеорияРешение произвольного треугольника по теоремам синусов и косинусовТеорема косинусов и теорема синусов: формулы, как найти сторону и угол, радиус описанной окружности, выбор теоремы и задачи с проверкой ответа.ТеорияМедианы, биссектрисы, высоты: что запомнить и где они пересекаютсяМедиана, биссектриса и высота треугольника: определения, деление медиан в отношении 2 : 1, свойство биссектрисы, длины, точки пересечения, задачи.ТеорияФормулы площади для треугольника, ромба, трапеции и круга с примерамиПлощади фигур в одной статье: треугольник, параллелограмм, ромб, трапеция, круг и сектор — формулы, выбор по условию, разбор задач ОГЭ.ТеорияЧетырёхугольники: что верно для прямоугольника, ромба и квадратаСвойства параллелограмма и его признаки, отличия прямоугольника, ромба и квадрата, трапеция и средняя линия — таблица и задачи ОГЭ.ТеорияЦентральные и вписанные углы в окружности: правило половины дугиВписанный угол равен половине дуги: теорема с доказательством, следствия, угол между хордами и секущими, вписанный четырёхугольник, задачи ОГЭ.ТеорияСвойства касательной: радиус, равные отрезки и угол с хордойКасательная к окружности: перпендикулярность радиусу, равные отрезки из одной точки, угол с хордой, теорема о секущей — формулы и 10 задач с проверкой.ТеорияВписанная и описанная окружности треугольника и четырёхугольникаВписанная окружность и описанная: где центр, формулы радиусов r = S/p и R = abc/4S, условия для четырёхугольника и трапеции, 10 задач с проверкой.ТеорияПравильные многоугольники: от треугольника до шестиугольникаПравильный многоугольник: формулы угла и числа сторон, радиусы вписанной и описанной окружностей, площадь шестиугольника, 10 задач с проверкой.ТеорияВекторы на плоскости: действия, угол и перпендикулярностьКоординаты вектора по точкам, длина, сложение и умножение на число, скалярное произведение и угол между векторами — формулы и задачи ЕГЭ.ТеорияМетод координат: расстояние, середина отрезка, прямая и окружностьУравнение окружности и прямой, расстояние между точками и середина отрезка: формулы, выделение полного квадрата, точки пересечения, задачи с проверкой.ТеорияМногогранники: параллелепипед, призма, пирамида — формулы и задачиПризма и пирамида, параллелепипед и куб: грани, рёбра, вершины, формулы объёма и площади поверхности, апофема, разбор примеров и задачи с проверкой.ТеорияТела вращения: формулы объёма, образующая, развёртка и задачиЦилиндр, конус и шар: формулы объёма и площади поверхности, образующая и осевое сечение, развёртка конуса, вписанный шар, тренажёр и задачи с проверкой.ТеорияКак построить сечение куба, призмы и пирамиды: пошаговые примерыСечения многогранников шаг за шагом: аксиомы стереометрии, три правила построения, метод следов, параллельные грани, площадь сечения и задачи с проверкой.ТеорияКак решать уравнения с корнем и не потерять балл на постороннем корнеИррациональные уравнения без ошибок: откуда берутся посторонние корни, равносильный переход, уравнения с двумя радикалами, замена и задачи с проверкой.ТеорияДробно-рациональные уравнения: как решать и отсеивать лишние корниДробные уравнения по алгоритму: ОДЗ, общий знаменатель, пропорция, дробь равна нулю, замена переменной, посторонние корни и задачи с проверкой ответа.ТеорияУравнения высших степеней: биквадратные, кубические, с заменойБиквадратные уравнения и уравнения третьей степени: замена переменной, группировка, подбор целого корня, деление многочлена, ловушки и задачи с проверкой.ТеорияГрафики тригонометрических функций: синусоида и тангенсоидаГрафик синуса и косинуса — волна с периодом 2π, у тангенса период π и асимптоты. Нули, знаки по промежуткам, сдвиги и растяжения, задачи с проверкой.ТеорияДлина окружности и дуги, площадь сектора: расчёты с числом πПлощадь круга равна πr², длина окружности — 2πr. Формулы дуги и сектора, когда брать π = 3,14, ответ «делённый на π» и задачи ОГЭ и ЕГЭ с проверкой.ТеорияКак записать число в стандартном виде и считать с порядкамиСтандартный вид числа: как переводить большие и малые числа в запись со степенью десяти, умножать, делить, складывать их и записывать ответ в бланк.ТеорияПропорция, масштаб и деление в отношении: правила и задачиОтношения и пропорции с примерами: основное свойство пропорции, деление числа в данном отношении, масштаб карты и плана, прямая и обратная зависимость.