Задачи на проценты: доля, скидка, сложный рост

Процент как сотая часть: три базовых действия

Процент — это одна сотая часть числа: $1\% = 0{,}01$ . Поэтому найти 35% от числа значит умножить его на 0,35, а узнать, сколько процентов одно число составляет от другого, — разделить и умножить на 100.

Почти любая школьная задача сводится к одному из трёх действий. Их стоит различать по вопросу, а не по числам в условии: путаница «что на что делить» — самая частая причина неверного ответа. Все задачи на проценты в школьном курсе — комбинации этих действий, и учебник Макарычева вводит их именно в таком порядке.

Что спрашивают	Действие	Пример
Найти $p\%$ от числа	число умножить на $\frac{p}{100}$	60% от 85: $85 \cdot 0{,}6 = 51$
Найти число по его части	часть разделить на $\frac{p}{100}$	12% числа равны 18: $18 : 0{,}12 = 150$
Сколько процентов составляет $a$ от $b$	$\frac{a}{b} \cdot 100\%$	27 от 180: $\frac{27}{180} \cdot 100\% = 15\%$
Изменение на $p\%$	умножить на $1 \pm \frac{p}{100}$	340 плюс 25%: $340 \cdot 1{,}25 = 425$

Несколько процентов полезно помнить как обыкновенные дроби: 50% — половина, 25% — четверть, 20% — пятая часть, 12,5% — восьмая. Тогда 25% от 640 считаются устно: $640 : 4 = 160$ . Как переводить дроби и десятичные записи друг в друга, подробно разобрано в статье про действия с обыкновенными и десятичными дробями.

Главный вопрос в каждой задаче — от чего берётся процент. База, которую принимают за 100%, может меняться от шага к шагу, и именно это ломает «интуитивные» расчёты. Нельзя переносить процент с одной базы на другую без пересчёта: 10% от зарплаты и 10% от премии — разные суммы. Процент не определён, пока не названа величина, от которой он берётся.

Увеличение и уменьшение: метод множителя

Если величину увеличили на $p\%$ , её умножили на $1 + \frac{p}{100}$ ; если уменьшили — на $1 - \frac{p}{100}$ . Этот множитель заменяет два действия (найти процент и прибавить) одним.

Куртка стоила 2400 рублей. Цену подняли на 15%, а через месяц снизили на 15%. Сколько стоит куртка теперь?

После повышения: $2400 \cdot 1{,}15 = 2760$ рублей. После снижения: $2760 \cdot 0{,}85 = 2346$ рублей. Цена не вернулась к 2400, потому что 15% во второй раз считались от большей суммы. В целом изменение — умножение на $1{,}15 \cdot 0{,}85 = 0{,}9775$ , то есть уменьшение на 2,25%.

Миф: «если цену подняли на 20%, а потом снизили на 20%, она осталась прежней». Это неверно: $1{,}2 \cdot 0{,}8 = 0{,}96$ , цена упала на 4%. Одинаковые проценты от разных баз не компенсируют друг друга никогда, если изменение ненулевое.

Та же логика работает в обратную сторону. Товар подешевел с 1200 до 960 рублей — это снижение на 20%, ведь $960 : 1200 = 0{,}8$ . А чтобы вернуться с 960 к 1200, цену нужно поднять уже на 25%: $1200 : 960 = 1{,}25$ . Процент изменения всегда считают от старого значения, если в условии не сказано иное.

Множитель удобен и для налога. Налог на доходы 13% означает, что на руки приходится 87% начисленной суммы: из 45 000 рублей — $45\,000 \cdot 0{,}87 = 39\,150$ рублей. Отдельно вычислять налог и вычитать его не нужно. Решение задач на проценты кодификатор ФИПИ для ОГЭ относит к требованиям курса основной школы, так что этот приём нужен уже в 9 классе.

Задачи на проценты с исходной величиной

Чтобы найти величину до изменения, новое значение делят на множитель, а не вычитают проценты от нового значения. Это 2 разных действия, и только деление даёт верный ответ.

После скидки 20% наушники стоят 3200 рублей. Сколько они стоили до скидки?

Цена после скидки — 80% старой: $3200 : 0{,}8 = 4000$ рублей. Если прибавить к 3200 двадцать процентов от 3200, получится 3840 — ответ, который выглядит разумно, но неверен: скидка считалась от 4000, а не от 3200. Проверка подстановкой снимает сомнения: $4000 \cdot 0{,}8 = 3200$ .

В задачах на смеси и сплавы та же схема работает с концентрацией: если в 250 г раствора 8% соли, соли там $250 \cdot 0{,}08 = 20$ г. Подробные разборы таких задач — в статье про задачи на смеси и растворы.

Сложные задачи на проценты: рост за несколько периодов

Сложные проценты — это начисление процента каждый раз на уже увеличенную сумму. За $n$ периодов при ставке $p\%$ сумма умножается на $\left(1 + \frac{p}{100}\right)^n$ .

Вклад 50 000 рублей положили под 8% годовых с ежегодной капитализацией. Какая сумма будет на счёте через 2 года?

$50\,000 \cdot 1{,}08^2 = 50\,000 \cdot 1{,}1664 = 58\,320$ рублей. При простых процентах (без капитализации) было бы $50\,000 + 2 \cdot 4000 = 58\,000$ рублей: разница в 320 рублей — это проценты, начисленные на проценты первого года. Для вклада 200 000 рублей под 10% на 3 года множитель $1{,}1^3 = 1{,}331$ даёт 266 200 рублей.

На сложных процентах построены финансовые задачи профильного ЕГЭ. По проекту ФИПИ 2027 года^[2] задачи о вкладах и кредитах переносятся в новое задание 13 с кратким ответом, а отдельная экономическая задача с развёрнутым ответом (№ 16 в 2026 году) убирается. Схемы платежей разобраны отдельно — в материалах про кредит с дифференцированными платежами и аннуитетные платежи и вклады.

Процентные пункты и проценты — не одно и то же

Процентный пункт — это разность двух величин, которые сами выражены в процентах. Ставка выросла с 12% до 15% — это рост на 3 процентных пункта, но на 25% относительно прежней ставки.

Проверим: $\frac{15 - 12}{12} \cdot 100\% = 25\%$ . Оба утверждения верны одновременно, они просто отвечают на разные вопросы: насколько изменилась ставка в абсолютном выражении и во сколько раз относительно исходной. В новостях и задачах их нередко смешивают, поэтому в условии ищите слово «пункт».

Похожая ловушка — сравнение «на сколько процентов больше» и «на сколько процентов меньше». Число 150 больше 120 на 25% (база — 120), а 120 меньше 150 на 20% (база — 150). Разница в базе даёт разницу в ответе, хотя числа те же самые.

Миф: «если доля выросла с 10% до 20%, она выросла на 10%». Утверждение неверно: рост составил 10 процентных пунктов, а в процентах — 100%, то есть доля удвоилась. Правила, по которому эти величины совпадают, не существует.

Задачи на проценты в ОГЭ и ЕГЭ

Такие расчёты есть во всех трёх экзаменах: в задании 15 ЕГЭ базового уровня (скидки, налоги, повышение цен), в текстовых задачах ОГЭ и профиля и в практико-ориентированных заданиях 1–5 ОГЭ.

По спецификации ЕГЭ базового уровня^[1] каждое задание оценивается в 1 балл, всего их 21. В ОГЭ они встречаются в сюжетах 1–5 (на сколько % одна площадь больше другой, выгоднее ли тариф) и в текстовой задаче второй части. Отдельный разбор номера — в статье о задании 15 ЕГЭ базового уровня.

Тренажёр вверху страницы — «Тренажёр · № 15 ЕГЭ база · бесконечные варианты». Он генерирует три типа задач: новая цена после повышения или снижения, зарплата после удержания налога 13% и вопрос о том, насколько подорожал билет. Введите число в поле «Ответ», нажмите «Проверить», при ошибке откройте «Решение», затем «Следующая задача →». Полоска последних ответов и счётчик «решено X из Y» показывают, насколько стабилен результат.

Тренируйтесь короткими подходами по 10–15 задач в разные дни: распределённое повторение с интервалами эффективнее занятий подряд, это показал метаанализ Cepeda и соавторов^[3].

Проверка ответа прикидкой

Если после скидки цена выросла, а после налога сумма увеличилась, — в расчёте ошибка: направление изменения нужно сверять до записи ответа в бланк. Достаточно трёх вопросов.

Направление. Скидка и налог уменьшают сумму, наценка и начисления по вкладу — увеличивают. Ответ должен двигаться в ту же сторону.
Масштаб. 10% — это сдвиг запятой на один знак влево. От 2400 это 240, значит, 15% — около 360. Ответ 2760 для повышения на 15% правдоподобен.
Обратный ход. Найденную исходную цену умножьте на коэффициент и сравните с условием.

Учебник Макарычева для 8 класса^[4] предлагает тот же порядок проверки для текстовых задач: подставить ответ в условие, а не только в составленное уравнение.

Когда формула с коэффициентом не подходит

Коэффициент $1 \pm \frac{p}{100}$ работает не во всех ситуациях — иногда условие требует другой модели.

Если начисление идёт только на исходную сумму (простая схема), возведение в степень $n$ завысит результат уже через 2 года.
Если вклад пополняют или кредит гасят каждый год, одна формула $(1 + \frac{p}{100})^n$ не годится — нужен расчёт по каждому из 3–5 периодов отдельно.
Если ставка поднялась на 2 пункта, умножать на 1,02 нельзя — к ставке просто прибавляют 2.
Если задано изменение «в 1,5 раза», это не 1,5%, а рост на 50%.

Чего делать нельзя в процентных расчётах

Нельзя выбирать базу «как удобно»: в каждой задаче база одна, и её задаёт условие.

Нельзя складывать последовательные изменения: +10% и +10% дают 21%, а не 20%.
Нельзя находить цену до скидки, прибавляя скидку к новой цене.
Не следует путать пункты и относительное изменение в задачах о ставках и долях.
Не следует писать в бланке знак % или слово «рублей» — записывается только число.
Не стоит округлять промежуточные суммы в задачах о вкладах: ошибка накапливается с каждым периодом.

Источники

[1] ФИПИ. Спецификация контрольных измерительных материалов для проведения в 2027 году единого государственного экзамена по математике. Базовый уровень (проект). — М.: ФИПИ, 2026.

[2] ФИПИ. Планируемые изменения в КИМ ЕГЭ 2027 года. — М.: ФИПИ, 2026.

[3] Cepeda N. J., Pashler H., Vul E., Wixted J. T., Rohrer D. Distributed practice in verbal recall tasks: a review and quantitative synthesis // Psychological Bulletin. 2006. Vol. 132, No. 3. P. 354–380.

[4] Макарычев Ю. Н., Миндюк Н. Г., Нешков К. И., Суворова С. Б. Алгебра. 8 класс. — М.: Просвещение.

Вопросы и ответы

Как быстро найти 15% в уме?

Найдите 10% (сдвиг запятой), возьмите половину — это 5%, и сложите. Для 2400: 240 + 120 = 360.

Почему скидка и наценка по 10% не компенсируют друг друга?

Второе изменение считается от другой базы. Произведение коэффициентов $(1 + k)(1 - k) = 1 - k^2$ всегда меньше единицы при ненулевом $k$ .

Что такое капитализация вклада?

Это прибавление начисленных процентов к сумме вклада, после чего следующий процент начисляется уже на увеличенную сумму. Так и работает начисление «на начисленное».

Можно ли записать ответ с дробной частью?

Да, если он получился нецелым: десятичная дробь через запятую, например 1462,5. Округлять стоит только по требованию условия.

Чем 0,5% отличается от 0,5?

В сто раз: 0,5% — это 0,005. Ошибка с потерянным знаком % меняет ответ на два порядка, поэтому перед умножением переводите 0,5% в 0,005 явно.

Нужно ли знать формулы кредитов для базового уровня?

Нет. На базовом уровне хватает одного-двух изменений цены и налога; вклады с несколькими периодами и кредиты нужны для профильного экзамена.