Формулы сокращённого умножения и разложение на множители

Q: Работают ли формулы с отрицательными числами?

Да, при любых числах. Например, (-x - 4)^2 = (x + 4)^2, так как квадрат противоположного выражения такой же.

Семь формул сокращённого умножения

Все 7 формул получаются обычным перемножением многочленов, но запоминать их нужно готовыми — так экономится время и снижается риск ошибки в знаках.

Название	Формула
Квадрат суммы	$(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$
Квадрат разности	$(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$
Разность квадратов	$a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$
Куб суммы	$(a + b)^3 = a^3 + 3a^2 b + 3ab^2 + b^3$
Куб разности	$(a - b)^3 = a^3 - 3a^2 b + 3ab^2 - b^3$
Сумма кубов	$a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2)$
Разность кубов	$a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)$

Буквы $a$ и $b$ могут обозначать что угодно: число, переменную, одночлен вроде $3x$ или даже корень. В $(3x - 2)^2$ роль $a$ играет $3x$ , роль $b$ — двойка, и результат $9x^2 - 12x + 4$ . Ошибаются чаще всего не в самой формуле, а в подстановке: забывают возвести в квадрат коэффициент вместе с переменной.

Формулы проходят в 7 классе, а в учебнике Макарычева для 8 класса^[1] их постоянно применяют при преобразованиях. Выводят их по одной, с геометрической иллюстрацией для квадрата суммы: квадрат со стороной $a + b$ разрезается на квадраты $a^2$ , $b^2$ и два прямоугольника $ab$ . Эта картинка сразу объясняет, откуда берётся удвоенное произведение.

Как запомнить формулы сокращённого умножения

Запомнить формулы сокращённого умножения надёжнее через вывод и проговаривание, чем через зубрёжку таблицы: каждая формула — это короткое правило, которое можно произнести словами.

Квадрат суммы проговаривают так: «квадрат первого, плюс удвоенное произведение первого на второе, плюс квадрат второго». Разность квадратов — «произведение разности на сумму». Сумма кубов — «сумма на неполный квадрат разности». Когда формула звучит как фраза, её легче применять к любым буквам и выражениям, а не только к $a$ и $b$ .

Второй способ — проверка на числах. Если забылось, какой знак стоит в неполном квадрате, подставьте $a = 2$ , $b = 1$ : $8 + 1 = 9$ и $3 \cdot (4 - 2 + 1) = 9$ , значит, перед $ab$ стоит минус. Третий способ — регулярное повторение: формулы сокращённого умножения встречаются почти в каждой теме алгебры, от дробей до уравнений, и к концу 9 класса закрепляются сами, если решать задачи без подсказки. Исследование Roediger и Karpicke^[5] показало, что такое проверочное воспроизведение закрепляет материал лучше, чем перечитывание. В учебнике разложение на множители по формулам изучают сразу после вывода, поэтому оба навыка удобно тренировать вместе.

Квадрат суммы и квадрат разности

Квадрат суммы равен квадрату первого плюс удвоенное произведение плюс квадрат второго; квадрат разности отличается только знаком среднего слагаемого. Проверить формулу легко: $(a + b)^2 = (a + b)(a + b)$ , и при раскрытии скобок $ab$ появляется дважды.

Самая частая ошибка — записать $(a + b)^2 = a^2 + b^2$ . Подстановка чисел сразу её опровергает: $(2 + 3)^2 = 25$ , а $2^2 + 3^2 = 13$ . Разница в 12 — это и есть пропущенное $2 \cdot 2 \cdot 3$ . Если сомневаетесь в формуле, подставьте два маленьких числа — проверка займёт 10 секунд.

Справа налево формула помогает узнать полный квадрат: $x^2 - 10x + 25 = (x - 5)^2$ , потому что $25 = 5^2$ и $10x = 2 \cdot x \cdot 5$ . Признак полного квадрата: два слагаемых — квадраты, а третье по модулю равно их удвоенному произведению. Это пригодится и в квадратных уравнениях, и при построении парабол.

Миф: «квадрат разности и разность квадратов — одно и то же, просто слова переставлены». Это неверно: $(5 - 3)^2 = 4$ , а $5^2 - 3^2 = 16$ . Формулы разные, и тождества, которое их связывает при любых $a$ и $b$ , не существует.

Разность квадратов — самая полезная формула

Разность квадратов $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$ — это формула, которая чаще всего встречается в вычислениях, при сокращении дробей и в выражениях с корнями. Она превращает вычитание в произведение.

Числовой пример: $37^2 - 33^2 = (37 - 33)(37 + 33) = 4 \cdot 70 = 280$ . Без формулы пришлось бы возводить в квадрат двузначные числа. Обратное применение: $98 \cdot 102 = (100 - 2)(100 + 2) = 10\,000 - 4 = 9996$ . Числа, симметричные относительно «круглого», перемножаются устно.

С корнями разность квадратов убирает иррациональность: $(\sqrt{11} - 3)(\sqrt{11} + 3) = 11 - 9 = 2$ . Этот приём используют для избавления от корня в знаменателе — подробнее в статье про арифметический квадратный корень. А в алгебраических дробях формула помогает сократить: $\frac{x^2 - 9}{x + 3} = x - 3$ при $x \ne -3$ .

Куб суммы, сумма и разность кубов

Если в выражении есть третьи степени, работают 4 «кубические» формулы. Их легко перепутать, поэтому важно запомнить, чем они различаются: куб суммы — это $(a + b)^3$ , а сумма кубов — $a^3 + b^3$ .

В сумме и разности кубов вторая скобка — «неполный квадрат»: $a^2 \mp ab + b^2$ , без двойки перед $ab$ . Знак в первой скобке совпадает со знаком в исходном выражении, а знак перед $ab$ — противоположный. Пример: $8^3 - 2^3 = (8 - 2)(64 + 16 + 4) = 6 \cdot 84 = 504$ .

Удобный приём — выразить сумму кубов через сумму и произведение: $a^3 + b^3 = (a + b)^3 - 3ab(a + b)$ . Если $a + b = 5$ и $ab = 6$ , то $a^3 + b^3 = 125 - 90 = 35$ . Проверка: числа 2 и 3 дают $8 + 27 = 35$ . Тот же приём для квадратов: $a^2 + b^2 = (a - b)^2 + 2ab$ .

Разложение на множители: порядок приёмов

Чтобы разложить многочлен на множители, приёмы применяют в определённом порядке: сначала вынести общий множитель, затем поискать формулу, и только потом пробовать группировку.

Общий множитель. $3x^3 - 12x = 3x(x^2 - 4)$ . Без этого шага формулу не видно.
Формула. $x^2 - 4 = (x - 2)(x + 2)$ , итог: $3x(x - 2)(x + 2)$ .
Группировка. $x^3 + 2x^2 - 9x - 18 = x^2(x + 2) - 9(x + 2) = (x + 2)(x^2 - 9)$ , а затем снова разность квадратов: $(x + 2)(x - 3)(x + 3)$ .
Проверка. Раскройте скобки обратно или подставьте число, например $x = 1$ : $1 + 2 - 9 - 18 = -24$ и $3 \cdot (-2) \cdot 4 = -24$ .

Разложение на множители — главный инструмент для решения уравнений высших степеней: произведение равно нулю, когда хотя бы один множитель равен нулю. Уравнение $x^3 + 2x^2 - 9x - 18 = 0$ после разложения даёт три корня: $-2$ , $3$ и $-3$ . Подробнее — в статье про уравнения высших степеней.

Устный счёт с помощью формул

Калькулятор на экзамене запрещён^[2], и формулы сокращённого умножения — один из самых быстрых способов считать квадраты и произведения в уме. Вот 3 приёма, которые окупаются уже на первом варианте.

Квадрат числа рядом с круглым. $51^2 = 2500 + 100 + 1 = 2601$ , $49^2 = 2500 - 100 + 1 = 2401$ , $103^2 = 10\,609$ .
Произведение симметричных чисел. $59 \cdot 61 = 3600 - 1 = 3599$ .
Разность квадратов больших чисел. $1001^2 - 999^2 = 2 \cdot 2000 = 4000$ , $79^2 - 21^2 = 58 \cdot 100 = 5800$ .

Больше приёмов собрано в статье как считать без калькулятора на экзамене.

Где формулы сокращённого умножения нужны на экзамене

На ОГЭ эти тождества нужны в задании 8 (выражения с корнями и степенями) и в задании 20 второй части, где за преобразования и уравнения дают 2 балла; на профильном ЕГЭ — в задании 8 по проекту 2027 года (в 2026 году — № 7) и в уравнениях второй части.

По кодификатору ФИПИ^[3] преобразования целых выражений, включая эти формулы, входят в обязательное содержание курса алгебры основной школы. В части 2 эксперт оценивает каждый переход по критериям оценивания, поэтому ошибка в удвоенном произведении стоит балла даже при верной идее решения. Разбор номера ОГЭ — в статье про задание 20 ОГЭ с преобразованиями.

Блок «Задачи с проверкой» вверху страницы — 8 задач на эти тождества: устный счёт, значения выражений при заданных числах, полный квадрат и сумма кубов через сумму и произведение. Решите задачу, впишите число в поле «Ответ» и нажмите «Проверить»; «Решение» покажет, какое тождество сработало, а «Следующая задача →» откроет новую. Задачи идут по кругу, поэтому через пару дней полезно пройти их снова — интервальное повторение работает лучше, чем решение подряд, это показал метаанализ Cepeda и соавторов^[4].

Когда готовое тождество не поможет

Не каждый многочлен раскладывается по формулам — иногда нужен другой инструмент.

Сумма квадратов вроде икс в квадрате плюс 4 на множители с действительными коэффициентами не раскладывается — готового тождества для неё нет.
Если среднее слагаемое не равно удвоенному произведению, например в трёхчлене икс в квадрате плюс 5x плюс 4, полного квадрата нет — помогают корни квадратного трёхчлена.
Если степень многочлена 4 и выше, а слагаемых больше 3, сначала ищут замену или группировку.
Если в задании уже есть готовые числа, иногда быстрее подставить их сразу, чем преобразовывать выражение, — при 1–2 действиях преобразование не даёт выигрыша.

Чего делать нельзя при раскрытии скобок

Нельзя доверять зрительной памяти в тождествах — проверяйте знаки и коэффициенты подстановкой.

Нельзя терять удвоенное произведение: $(a + b)^2 \ne a^2 + b^2$ .
Нельзя путать куб суммы с суммой кубов.
Не следует возводить в квадрат только переменную без коэффициента: $(3x)^2 = 9x^2$ .
Не следует ставить двойку перед $ab$ в «неполном квадрате» формулы суммы кубов.
Не стоит останавливать разложение, пока в скобках остаётся разность квадратов.

Источники

[1] Макарычев Ю. Н., Миндюк Н. Г., Нешков К. И., Суворова С. Б. Алгебра. 8 класс. — М.: Просвещение.

[2] ФИПИ. Спецификация контрольных измерительных материалов для проведения в 2026 году основного государственного экзамена по математике. — М.: ФИПИ, 2025.

[3] ФИПИ. Кодификатор проверяемых требований к результатам освоения основной образовательной программы основного общего образования и элементов содержания для проведения ОГЭ по математике (проект, 2027). — М.: ФИПИ, 2026.

[4] Cepeda N. J., Pashler H., Vul E., Wixted J. T., Rohrer D. Distributed practice in verbal recall tasks: a review and quantitative synthesis // Psychological Bulletin. 2006. Vol. 132, No. 3. P. 354–380.

[5] Roediger H. L., Karpicke J. D. Test-enhanced learning: taking memory tests improves long-term retention // Psychological Science. 2006. Vol. 17, No. 3. P. 249–255.

Вопросы и ответы

Какие из семи тождеств нужнее всего?

Квадрат суммы, квадрат разности и разность квадратов встречаются в большинстве заданий. Кубические нужны реже — в основном в профильном экзамене и в задачах повышенной сложности.

Как не перепутать знаки в сумме кубов?

Первая скобка повторяет знак исходного выражения, а в «неполном квадрате» перед $ab$ знак противоположный. Проверка на числах $a = 1$ , $b = 1$ : $1 + 1 = 2 \cdot (1 - 1 + 1)$ .

Работают ли формулы с отрицательными числами?

Да, при любых числах. Например, $(-x - 4)^2 = (x + 4)^2$ , так как квадрат противоположного выражения такой же.

Нужно ли выводить тождество в решении второй части?

Нет, это стандартные школьные тождества, на них можно ссылаться без доказательства. Достаточно правильно записать результат преобразования.

Зачем учить куб разности, если можно перемножить скобки?

Перемножение трёх скобок занимает 2–3 минуты и даёт много мест для ошибки. Готовый результат записывается за 20 секунд, а время на экзамене дорого.

Как быстро проверить разложение?

Подставьте одно и то же число в исходный многочлен и в произведение. Если значения совпали при двух разных числах, ошибка крайне маловероятна.