Уравнения высших степеней: биквадратные, кубические, с заменой

Уравнение высшей степени — что это

Уравнение высшей степени — это целое алгебраическое уравнение, в котором старшая степень переменной больше 2: кубическое $x^3 - 6x^2 + 11x - 6 = 0$, уравнение четвёртой степени $x^4 - 13x^2 + 36 = 0$ и так далее.

Общей школьной формулы для корней таких уравнений нет, поэтому каждое приходится сводить к уравнениям степени 1 и 2. Полезно помнить теорему о числе корней: уравнение степени $n$ имеет не более $n$ действительных корней. Кубическое уравнение даёт от 1 до 3 корней, уравнение четвёртой степени — от 0 до 4. Если вы нашли пять корней у уравнения четвёртой степени, где-то ошибка.

По учебнику Макарычева для 9 класса^[1] уравнения высших степеней изучают после квадратных: биквадратные уравнения, уравнения, решаемые разложением на множители, и уравнения с заменой. Квадратное уравнение здесь остаётся главным инструментом — степень снижают именно до него, поэтому формула корней через дискриминант должна быть отработана: см. квадратные уравнения: дискриминант и Виет.

Биквадратные уравнения: замена t = x²

Биквадратные уравнения — это уравнения вида $ax^4 + bx^2 + c = 0$, где $a \ne 0$: переменная входит только в чётных степенях 4 и 2. Замена $t = x^2$ превращает их в квадратные.

Решите уравнение $x^4 - 13x^2 + 36 = 0$.

Замена $t = x^2$, где $t \ge 0$: $t^2 - 13t + 36 = 0$. По теореме Виета $t = 4$ или $t = 9$. Оба значения положительны. Возвращаемся: $x^2 = 4$ даёт $x = \pm 2$, $x^2 = 9$ даёт $x = \pm 3$. Ответ: $-3$; $-2$; $2$; $3$. Корни биквадратного уравнения всегда симметричны относительно нуля: вместе с $x$ корнем будет и $-x$.

Отрицательное значение $t$ корней не даёт, потому что квадрат не может быть отрицательным. Пример: $x^4 + 3x^2 - 4 = 0$. Получаем $t = 1$ или $t = -4$. Второе отбрасываем, из первого $x = \pm 1$. У уравнения 2 корня, а не 4.

Неполные биквадратные уравнения решают ещё быстрее, без замены. Если свободный член равен нулю, как в $x^4 - 9x^2 = 0$, выносят $x^2$: $x^2(x^2 - 9) = 0$, корни $0$, $3$, $-3$. Если отсутствует слагаемое с $x^2$, как в $x^4 - 16 = 0$, раскладывают по формуле разности квадратов: $(x^2 - 4)(x^2 + 4) = 0$, и второй множитель корней не даёт. Корень $x = 0$ в первом примере — один, хотя множитель $x^2$ стоит во второй степени: в ответе каждое число записывают один раз. Перед заменой стоит проверить ещё одно: старший коэффициент $a$ не равен нулю. Если $a = 0$, уравнение уже не биквадратное, а неполное квадратное $bx^2 + c = 0$, и в нём не может быть больше 2 корней.

Миф: «у биквадратного уравнения всегда 4 корня — на то оно и четвёртой степени». Это неверно: 4 — только наибольшее возможное число. Таблица выше показывает все варианты от 0 до 4, и в заданиях с кратким ответом чаще всего встречается именно случай с двумя корнями, где одно значение $t$ отрицательно.

Разложение на множители: общий множитель и группировка

Если многочлен удаётся разложить на множители, уравнение распадается на несколько более простых: произведение равно нулю, когда хотя бы один множитель равен нулю, а остальные имеют смысл.

Первый приём — вынесение общего множителя. Уравнение $x^3 - 4x = 0$ записываем как $x(x^2 - 4) = 0$, то есть $x(x - 2)(x + 2) = 0$: корни $0$, $2$, $-2$. Делить обе части на $x$ нельзя — так теряется корень $x = 0$.

Второй приём — группировка. В уравнении $x^3 + 2x^2 - 9x - 18 = 0$ группируем первые два и последние два слагаемых: $x^2(x + 2) - 9(x + 2) = (x + 2)(x^2 - 9)$. Корни $-2$, $3$, $-3$. Группировка срабатывает, когда коэффициенты пропорциональны: здесь $1 : 2 = -9 : (-18)$.

Третий приём — формулы сокращённого умножения. Уравнение $x^3 - 8 = 0$ раскладывается по формуле разности кубов: $(x - 2)(x^2 + 2x + 4) = 0$. Квадратный трёхчлен имеет отрицательный дискриминант $4 - 16 = -12$, поэтому единственный корень $x = 2$. Нужные формулы собраны в статье формулы сокращённого умножения и разложение на множители.

Подбор корня и деление многочлена

Если очевидной группировки нет, пробуют подобрать целый корень. По теореме о целых корнях многочлена с целыми коэффициентами целый корень — делитель свободного члена.

Решите уравнение $x^3 - 6x^2 + 11x - 6 = 0$.

Делители свободного члена $-6$: $\pm 1$, $\pm 2$, $\pm 3$, $\pm 6$. Проверяем $x = 1$: $1 - 6 + 11 - 6 = 0$ — корень найден. По теореме Безу многочлен делится на $x - 1$ без остатка: $x^3 - 6x^2 + 11x - 6 = (x - 1)(x^2 - 5x + 6)$. Квадратный трёхчлен даёт корни $2$ и $3$. Ответ: $1$; $2$; $3$.

Деление выполняют «уголком» или по схеме Горнера, а можно обойтись без деления: записать $(x - 1)(x^2 + px + q)$, раскрыть скобки и сравнить коэффициенты. Быстрая проверка: сумма коэффициентов многочлена равна нулю тогда и только тогда, когда $x = 1$ — корень. Здесь $1 - 6 + 11 - 6 = 0$. Подбор не гарантирует успеха: у многочлена может не быть целых корней, и тогда нужен другой приём.

Замена переменной в сложных уравнениях

Если в уравнении повторяется одно и то же выражение, например $x^2 + x$, его заменяют новой переменной — это снижает степень с 4 до 2.

Пример: $(x^2 + x)^2 - 8(x^2 + x) + 12 = 0$. При $t = x^2 + x$ получаем $t^2 - 8t + 12 = 0$, $t = 2$ или $t = 6$. Возврат даёт два квадратных уравнения: $x^2 + x - 2 = 0$ с корнями $1$ и $-2$, $x^2 + x - 6 = 0$ с корнями $2$ и $-3$. Итого 4 корня. Раскрывать скобки здесь не нужно — получилось бы уравнение четвёртой степени без видимой структуры.

Повторяющееся выражение иногда приходится создать. В уравнении $(x - 1)(x - 2)(x - 3)(x - 4) = 24$ перемножают первую скобку с четвёртой и вторую с третьей: $(x^2 - 5x + 4)(x^2 - 5x + 6) = 24$. Теперь $t = x^2 - 5x$, $(t + 4)(t + 6) = 24$, $t^2 + 10t = 0$, $t = 0$ или $t = -10$. Первое даёт $x = 0$ и $x = 5$, второе — уравнение без действительных корней. Проверка: $(-1)(-2)(-3)(-4) = 24$ и $4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 = 24$.

Биквадратные уравнения на ОГЭ и ЕГЭ

Биквадратные уравнения и уравнения, решаемые разложением на множители, — типичное содержание задания 20 ОГЭ: по кодификатору ФИПИ^[2] это проверка умения решать целые уравнения с полным оформлением на 2 балла.

Критерии оценивания задания 20 требуют, чтобы все шаги были обоснованы: замена записана явно, отрицательное значение $t$ отброшено с пояснением «$x^2 \ge 0$», ответ содержит все корни. Если потерян хотя бы один корень, полного балла не будет. Разбор номера — в материале задание 20 ОГЭ: уравнения и системы. В профильном ЕГЭ кубические уравнения появляются как этап решения — например, после замены в задании 14 (в 2026 году — № 13) или при поиске нулей производной; см. экстремумы и наибольшее значение функции.

Миф: «для кубических уравнений есть школьная формула корней, просто её не дают на экзамене». Это не подтверждается: формула Кардано существует, но в школьную программу не входит и на экзамене не нужна. Все задачи ОГЭ и ЕГЭ подобраны так, чтобы степень снижалась заменой, группировкой или подбором корня.

Задачи с проверкой

Блок «Задачи с проверкой» вверху страницы — 8 уравнений третьей и четвёртой степени на все приёмы статьи. Ответ — одно число: наибольший корень, сумма или произведение корней.

Кнопка «Проверить» сразу оценивает ответ, «Решение» показывает разбор, «Следующая задача →» переключает на новую задачу. Если ответ — сумма корней, особенно легко ошибиться, потеряв один корень; проверяйте число найденных корней по таблице выше.

Когда этот набор приёмов не работает

Не каждое уравнение высшей степени поддаётся школьным методам, и в 4 случаях стоит остановиться и перепроверить условие.

• Если среди всех делителей свободного члена (у числа 6 их 8: $\pm 1$, $\pm 2$, $\pm 3$, $\pm 6$) ни один не является корнем, целых корней нет, и подбор бесполезен.
• Если в уравнении 4-й степени есть нечётные степени $x^3$ или $x$, замена $t = x^2$ не подходит.
• Если коэффициенты не пропорциональны, группировка по 2 слагаемых не даёт общего множителя.
• Если степень 5 и выше и нет общего множителя, такое уравнение в задании с кратким ответом почти наверняка списано с ошибкой.

Чего делать нельзя

Нельзя терять корни: большинство ошибок здесь — не лишние, а пропущенные решения.

• Нельзя делить обе части уравнения на $x$ или на скобку с $x$ — теряется корень, при котором делитель равен нулю.
• Нельзя оставлять отрицательное значение $t = x^2$ и извлекать из него корень.
• Не следует забывать знак «минус»: из $x^2 = 9$ следует $x = \pm 3$, а не только $3$.
• Не следует останавливаться на значениях $t$: ответ записывают через исходную переменную.
• Не стоит раскрывать скобки, если в уравнении есть повторяющееся выражение для замены.
• Не стоит подбирать корень среди чисел, которые не делят свободный член, — это пустая трата времени.

Источники

[1] Макарычев Ю. Н., Миндюк Н. Г., Нешков К. И., Суворова С. Б. Алгебра. 9 класс. — М.: Просвещение.

[2] ФИПИ. Кодификатор проверяемых требований к результатам освоения основной образовательной программы основного общего образования и элементов содержания для проведения ОГЭ по математике (проект, 2027). — М.: ФИПИ, 2026.

[3] Ященко И. В. (ред.). ОГЭ. Математика. Типовые экзаменационные варианты. — М.: Национальное образование.

Вопросы и ответы

Чем биквадратные уравнения отличаются от квадратных?

Переменная в них стоит в четвёртой и второй степенях. После замены $t = x^2$ получается квадратное уравнение, но из каждого положительного $t$ выходят два корня $x$.

Нужно ли писать ограничение t ≥ 0?

Да, в развёрнутом решении это обязательная строка: она объясняет, почему отрицательное значение отброшено. В задании с кратким ответом его достаточно держать в уме.

Что такое теорема Безу простыми словами?

Если число $a$ — корень многочлена, то многочлен делится на $x - a$ без остатка. Поэтому, найдя один корень кубического уравнения, его сводят к квадратному.

Как понять, какой приём выбрать?

Смотрите на структуру: только чётные степени — замена $t = x^2$; общий множитель или пропорциональные коэффициенты — разложение; повторяющееся выражение — замена; ничего из этого — подбор корня.

Сколько корней может быть у кубического уравнения?

От 1 до 3 действительных корней. Хотя бы один корень у кубического уравнения есть всегда, потому что график кубического многочлена пересекает ось абсцисс.

Где тренироваться, кроме этой страницы?

В сборниках типовых вариантов ОГЭ^[3] такие уравнения встречаются во второй части. Решайте их с полным оформлением, как на экзамене.