Как решать квадратное уравнение: формула корней, неполные случаи, Виет

Что такое квадратное уравнение и где оно встречается

Квадратное уравнение — это уравнение вида $ax^2 + bx + c = 0$, где $a \ne 0$. Числа $a$, $b$, $c$ называют коэффициентами: старшим, вторым и свободным членом.

Условие $a \ne 0$ не формальность. Если старший коэффициент равен нулю, квадрат исчезает, и остаётся линейное уравнение $bx + c = 0$ с другим способом решения — его разбирает материал про линейные уравнения и пропорции. По учебнику Макарычева^[1] тема изучается в 8 классе, а по кодификатору ФИПИ входит в обязательный минимум ОГЭ^[3].

На экзаменах квадратное уравнение встречается в трёх ролях. В задании 9 ОГЭ его нужно решить и записать больший или меньший корень. В задании 20 ОГЭ оно появляется после преобразований, замены переменной или освобождения от дробей — с полным оформлением на 2 балла. В ЕГЭ базового уровня оно стоит в задании 17, а в профильном ЕГЭ почти каждое показательное, логарифмическое или тригонометрическое уравнение после замены сводится к квадратному.

Формула корней через дискриминант

Дискриминант — это число $D = b^2 - 4ac$, по знаку которого видно, сколько корней у уравнения: два, один или ни одного. Сами корни находят по формуле

$$x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}.$$

Если $D > 0$, корней два. Если $D = 0$, корень один (его иногда называют двукратным): $x = -\frac{b}{2a}$. Если $D < 0$, действительных корней нет, потому что квадратный корень из отрицательного числа не определён. Эта формула выводится выделением полного квадрата и работает для любого квадратного уравнения без исключений — поэтому её стоит знать наизусть, даже если обычно решаете подбором.

Пример с двумя корнями

Решите уравнение $2x^2 - 7x + 3 = 0$.

Выписываем коэффициенты со знаками: $a = 2$, $b = -7$, $c = 3$. Дискриминант $D = (-7)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 3 = 49 - 24 = 25$, $\sqrt{D} = 5$. Корни: $x_1 = \frac{7 + 5}{4} = 3$ и $x_2 = \frac{7 - 5}{4} = 0{,}5$. Так решаются любые квадратные уравнения со старшим коэффициентом, отличным от единицы. Проверка подстановкой: $2 \cdot 9 - 21 + 3 = 0$ и $2 \cdot 0{,}25 - 3{,}5 + 3 = 0$ — оба верны.

Пример с нулевым и отрицательным дискриминантом

Для $x^2 - 6x + 9 = 0$ получаем $D = 36 - 36 = 0$, единственный корень $x = 3$: левая часть — это $(x - 3)^2$. Для $x^2 + 2x + 5 = 0$ дискриминант равен $4 - 20 = -16$, и уравнение корней не имеет. В задании с кратким ответом такой случай почти не встречается, но во второй части фраза «корней нет» — полноценный ответ, который засчитывается только при верном обосновании.

Миф: «если дискриминант не извлекается нацело, значит, ошибка в вычислениях». Неверно: $D = 52$ или $D = 13$ — нормальный результат, корни просто будут иррациональными, например $3 \pm \sqrt{13}$. Правда, в задании 9 ОГЭ ответ должен помещаться в бланк, поэтому там «некрасивый» дискриминант действительно повод перепроверить знаки.

Неполные квадратные уравнения: три случая

Если $b = 0$ или $c = 0$, уравнение называют неполным, и дискриминант для него не нужен: есть 3 случая, каждый решается в одну-две строки.

1. Нет свободного члена. $5x^2 + 15x = 0$: выносим общий множитель, $5x(x + 3) = 0$. Произведение равно нулю, только если один из множителей равен нулю: $x = 0$ или $x = -3$. Корень $0$ в таком уравнении есть всегда.
2. Нет второго коэффициента, знаки разные. $3x^2 - 12 = 0$: $x^2 = 4$, $x = \pm 2$. Два противоположных корня.
3. Нет второго коэффициента, знаки одинаковые. $x^2 + 16 = 0$: $x^2 = -16$, а квадрат числа не может быть отрицательным. Корней нет.

Самая частая ошибка в первом случае — разделить обе части на $x$ и потерять корень $x = 0$. Делить на выражение с переменной можно только при условии, что оно не равно нулю, а здесь это условие как раз нарушается. Во втором случае теряют знак минус и пишут один корень $2$ вместо пары $\pm 2$.

Теорема Виета: подбор корней за 30 секунд

Теорема Виета связывает корни с коэффициентами: для приведённого уравнения $x^2 + px + q = 0$ сумма корней равна $-p$, а произведение равно $q$. Для общего вида $x_1 + x_2 = -\frac{b}{a}$, $x_1 x_2 = \frac{c}{a}$.

Практический смысл в том, что целые корни приведённого уравнения можно угадать, не считая дискриминант. Для $x^2 - 9x + 20 = 0$ ищем два числа с суммой $9$ и произведением $20$: это $4$ и $5$. Для $x^2 + 3x - 28 = 0$ нужны числа с суммой $-3$ и произведением $-28$: произведение отрицательно, значит, знаки корней разные, а больший по модулю корень отрицателен — получаем $-7$ и $4$.

Решите уравнение $x^2 - 3x - 18 = 0$. Если корней несколько, запишите больший из них.

Сумма корней $3$, произведение $-18$. Перебираем пары множителей числа 18 с разными знаками: $6$ и $-3$ дают сумму $3$. Больший корень $6$. Контроль: $36 - 18 - 18 = 0$. Ответ: 6.

Подбор не заменяет формулу, а дополняет её. Если за 30–40 секунд подходящая пара не находится, корни, скорее всего, дробные или иррациональные — переходите к дискриминанту. Обратная теорема Виета тоже полезна: она позволяет составить уравнение по корням и проверить ответ, не подставляя корни в исходное уравнение.

Приёмы, которые экономят время

Если второй коэффициент чётный или сумма коэффициентов равна нулю, вычисления сокращаются вдвое. Эти 3 приёма не обязательны, но на экзамене без калькулятора они снижают риск арифметической ошибки.

• Формула с половиной дискриминанта. При $b = 2k$ считают $\frac{D}{4} = k^2 - ac$ и $x = \frac{-k \pm \sqrt{D/4}}{a}$. Для $x^2 - 10x + 21 = 0$: $k = -5$, $\frac{D}{4} = 25 - 21 = 4$, корни $5 \pm 2$, то есть $3$ и $7$.
• Сумма коэффициентов равна нулю. Если $a + b + c = 0$, то $x_1 = 1$, $x_2 = \frac{c}{a}$. Для $5x^2 - 8x + 3 = 0$: $5 - 8 + 3 = 0$, корни $1$ и $0{,}6$.
• Знакочередующаяся сумма. Если $a - b + c = 0$, то $x_1 = -1$, $x_2 = -\frac{c}{a}$. Для $2x^2 + 5x + 3 = 0$ это даёт $-1$ и $-1{,}5$.

Ещё одна экономия — сократить уравнение на общий множитель до подсчёта. Уравнение $6x^2 - 18x - 24 = 0$ после деления на 6 превращается в $x^2 - 3x - 4 = 0$ с корнями $4$ и $-1$, которые видны по Виету сразу.

Уравнения, которые сводятся к квадратным

Чтобы применить формулу, уравнение сначала приводят к виду $ax^2 + bx + c = 0$: раскрывают скобки, переносят всё в одну часть и приводят подобные. Пропущенный шаг — главный источник неверных коэффициентов. Многие задачи второй части ОГЭ только выглядят сложными, а внутри них спрятаны обычные квадратные уравнения.

Решите уравнение $(x - 2)^2 = 3x - 8$.

Раскрываем квадрат: $x^2 - 4x + 4 = 3x - 8$. Переносим всё влево: $x^2 - 7x + 12 = 0$. По Виету корни $3$ и $4$. Проверка в исходном уравнении: при $x = 3$ слева $1$, справа $9 - 8 = 1$; при $x = 4$ слева $4$, справа $12 - 8 = 4$. Оба корня подходят.

В уравнениях с дробями после умножения на знаменатель тоже получается квадратное уравнение, но корень, обращающий знаменатель в ноль, становится посторонним — такие случаи разобраны в статье про дробно-рациональные уравнения и ОДЗ. Биквадратные уравнения вида $x^4 - 5x^2 + 4 = 0$ решают заменой $t = x^2$, где $t$ не может быть отрицательным.

Квадратные уравнения в тренажёре

Тренажёр вверху страницы — это «Тренажёр · № 9 ОГЭ · бесконечные варианты»: он чередует линейные уравнения и приведённые уравнения вида $x^2 + bx + c = 0$ с целыми корнями, где нужно записать больший или меньший корень.

Работайте так же, как на экзамене: решите на черновике, введите число в поле «Ответ» и нажмите «Проверить». Кнопка «Решение» покажет подбор по теореме Виета, а «Следующая задача →» сгенерирует новые коэффициенты. Счётчик «решено X из Y» и полоска последних ответов помогают увидеть, стабилен ли результат. Разумная норма — 10 уравнений подряд не менее чем с 9 верными ответами.

Квадратные уравнения с дробными корнями и старшим коэффициентом больше 1 генератор не выдаёт, поэтому после него решите вручную 10–15 уравнений из учебника или сборника типовых вариантов: там чаще нужен именно дискриминант.

Типичные ошибки и самопроверка

Большинство ошибок в этой теме — не в формуле, а в знаках: их 4 вида, и каждый ловится подстановкой корня в уравнение за полминуты.

• Потерянный минус у b. При $b = -7$ в числителе стоит $-b = 7$, а не $-7$.
• Квадрат отрицательного числа. $(-7)^2 = 49$, а не $-49$: скобки вокруг отрицательного коэффициента обязательны.
• Знаменатель 2, а не 2a. При $a = 3$ делить нужно на 6. Ошибка незаметна, когда $a = 1$, и всплывает на первом же уравнении с другим старшим коэффициентом.
• Неприведённый вид. Коэффициенты берут только после того, как справа остался ноль. В уравнении $x^2 = 5x - 6$ второй коэффициент равен $-5$, а свободный член $6$.

Самопроверка не требует подстановки: сумма и произведение найденных корней должны совпасть с $-\frac{b}{a}$ и $\frac{c}{a}$. Для уравнения $2x^2 - 7x + 3 = 0$ это $3 + 0{,}5 = 3{,}5$ и $3 \cdot 0{,}5 = 1{,}5$ — сходится.

Когда этот разбор не поможет

Не всякая трудность с уравнениями лечится повторением формулы корней — иногда проблема в соседних навыках, и тогда быстрее закрыть их.

• Если больше 3 ошибок из 10 связаны с дробями и знаками, сначала стоит отработать вычисления, а не формулу.
• Если уравнение содержит переменную под корнем или в знаменателе, одной формулы мало: на каждом из 2 этапов нужна проверка ОДЗ и посторонних корней.
• Если степень уравнения 3 и выше, формула дискриминанта напрямую не применяется — нужна замена или разложение на множители.
• Если до ОГЭ осталось меньше 2 недель, а линейные уравнения ещё вызывают ошибки, сначала закрепите их: задание 9 часто бывает именно линейным.

Чего делать нельзя

Нельзя терять корни и баллы из-за мелочей оформления — ниже 6 запретов, которые чаще всего нарушают на экзаменах.

• Нельзя делить уравнение на $x$ или на скобку с переменной, не рассмотрев случай, когда она равна нулю.
• Нельзя брать коэффициенты из уравнения, у которого справа не ноль.
• Не следует извлекать корень из отрицательного дискриминанта «с минусом»: при $D < 0$ действительных корней нет.
• Не следует записывать в бланк оба корня, если просят только больший или меньший, — такой ответ не засчитывается.
• Не стоит подбирать корни по теореме Виета дольше минуты: формула надёжнее.
• Не допускается записывать в бланк ответ в виде обыкновенной дроби или с корнем: только целое число или конечная десятичная дробь.

Миф: «теорема Виета работает только для приведённых уравнений». Не подтверждается: для общего вида сумма корней равна $-\frac{b}{a}$, а произведение $\frac{c}{a}$. Неверно другое — применять её, когда дискриминант отрицателен: действительных корней тогда не существует, и сравнивать их сумму не с чем.

Следующий шаг после уравнений — неравенства с тем же квадратным трёхчленом: корни, найденные здесь, становятся границами промежутков в теме квадратные неравенства через параболу, а для отработки экзаменационного формата пригодится разбор задания 9 ОГЭ.

Источники

[1] Макарычев Ю. Н., Миндюк Н. Г., Нешков К. И., Суворова С. Б. Алгебра. 8 класс. — М.: Просвещение.

[2] ФИПИ. Спецификация контрольных измерительных материалов для проведения в 2026 году основного государственного экзамена по математике. — М.: ФИПИ, 2025.

[3] ФИПИ. Кодификатор проверяемых требований к результатам освоения основной образовательной программы основного общего образования и элементов содержания для проведения ОГЭ по математике (проект, 2027). — М.: ФИПИ, 2026.

[4] ФИПИ. Спецификация контрольных измерительных материалов для проведения в 2027 году единого государственного экзамена по математике. Базовый уровень (проект). — М.: ФИПИ, 2026.

Вопросы и ответы

Какой способ решения самый надёжный?

Формула корней: она работает всегда. Подбор быстрее, но годится только для целых корней приведённого уравнения, а разложение на множители — для неполных случаев.

Есть ли формула корней в справочных материалах ОГЭ?

Состав справочных материалов определяет ФИПИ, и формулы алгебры за 8 класс там традиционно приводятся. Но рассчитывать на подсказку не стоит: формулу быстрее помнить, чем искать на листе.

Что писать в ответе, если корень один?

Просто это число. Если задание просит больший корень, а он единственный, записывают его: «больший из корней» в этом случае совпадает с единственным.

Нужно ли делать проверку подстановкой?

Для полного квадратного уравнения проверка не обязательна, но полезна: она занимает полминуты и ловит ошибку в знаке. Для уравнений с дробями и корнями проверка или учёт ОДЗ обязательны.

Чем приведённое уравнение отличается от обычного?

У приведённого старший коэффициент равен 1. Любое уравнение можно сделать приведённым, разделив его на $a$, но тогда коэффициенты часто становятся дробными, и выгоды нет.

Сколько уравнений решить, чтобы тема закрепилась?

Ориентир — 40–50 уравнений разных видов, порциями по 10 с перерывом в 2–3 дня. Решение без подсказки с последующей проверкой запоминается лучше, чем перечитывание готовых разборов.