Арифметический корень: как упрощать, сравнивать и считать устно

Что такое арифметический квадратный корень

Квадратный корень из числа $a \ge 0$ — это такое число $b \ge 0$, что $b^2 = a$; обозначение $\sqrt{a}$. Например, $\sqrt{49} = 7$, потому что $7 \ge 0$ и $7^2 = 49$.

Слово «арифметический» подчёркивает, что результат неотрицателен. У уравнения $x^2 = 49$ два решения, $7$ и $-7$, но $\sqrt{49}$ — только 7. Путать эти две вещи нельзя: знак $\pm$ появляется при решении уравнения, а не при извлечении корня. Из отрицательного числа квадратный корень в школьном курсе не определён: нет действительного числа, квадрат которого отрицателен.

Подкоренное выражение может быть любым неотрицательным числом, но «красивый» результат получается только из точных квадратов: 1, 4, 9, 16, 25… Из остальных чисел корень иррационален: $\sqrt{2} \approx 1{,}414$, и его оставляют в виде корня. Таблица квадратов от 10 до 99 собрана на странице таблица квадратов чисел — её стоит выучить хотя бы до 25.

Корни из десятичных дробей извлекают через квадраты: $\sqrt{0{,}36} = 0{,}6$, $\sqrt{1{,}69} = 1{,}3$. Число знаков после запятой у корня вдвое меньше, чем у подкоренного числа, — если в подкоренном числе нечётное количество знаков, точного десятичного корня нет.

Свойства корней: произведение, дробь, степень

Для неотрицательных $a$ и $b$ действуют 3 основных свойства: корень из произведения равен произведению корней, корень из дроби — дроби из корней, а квадрат корня возвращает подкоренное число.

Эти свойства работают в обе стороны. Произведение $\sqrt{50} \cdot \sqrt{2}$ удобно собрать под один корень, а $\sqrt{72}$, наоборот, разбить на множители. Корень из суммы при этом не раскладывается: $\sqrt{9 + 16} = 5$, а $\sqrt{9} + \sqrt{16} = 7$.

Квадратный корень можно записать и как степень: $\sqrt{a} = a^{\frac{1}{2}}$. Тогда все свойства корней становятся частными случаями свойств степеней с рациональным показателем, и запоминать отдельную систему правил не нужно.

Чаще всего иррациональные числа появляются в геометрии. По теореме Пифагора гипотенуза прямоугольного треугольника с катетами 5 и 10 равна $\sqrt{25 + 100} = \sqrt{125} = 5\sqrt{5}$: здесь сразу работают и сложение под знаком радикала, и вынесение множителя. Складывать катеты до извлечения нельзя, а вот сумму их квадратов — обязательно. По ФОП основного общего образования^[4] действия с иррациональными выражениями изучают в курсе алгебры, а применяют затем во всех разделах геометрии, поэтому тема служит мостом между двумя предметами.

Миф: «корень из суммы равен сумме корней, если числа положительные». Это неверно при любых положительных числах: $\sqrt{a + b} < \sqrt{a} + \sqrt{b}$, так как $(\sqrt{a} + \sqrt{b})^2 = a + b + 2\sqrt{ab}$. Положительных исключений из этого неравенства не существует.

Квадратный корень из квадрата и модуль

Если под корнем стоит квадрат выражения, ответ — модуль этого выражения: $\sqrt{a^2} = |a|$. Это правило — главная ловушка темы, потому что «сократить» корень и квадрат хочется сразу.

При $a = -3$ получаем $\sqrt{(-3)^2} = \sqrt{9} = 3 = |-3|$, а не $-3$. Особенно важно правило для выражений с корнями внутри: $\sqrt{(2 - \sqrt{5})^2} = |2 - \sqrt{5}| = \sqrt{5} - 2$, потому что $\sqrt{5} > 2$ и разность $2 - \sqrt{5}$ отрицательна.

Найдите значение выражения $\sqrt{(a - 6)^2} + \sqrt{(a - 1)^2}$ при $a = 3{,}7$.

По правилу модуля это $|a - 6| + |a - 1|$. При $a = 3{,}7$: $|-2{,}3| + |2{,}7| = 2{,}3 + 2{,}7 = 5$. Интересно, что при любом $a$ из отрезка $[1; 6]$ ответ тот же: $6 - a + a - 1 = 5$. Если «сократить» корни с квадратами без модулей, получится $2a - 7 = 0{,}4$ — неверно. Подробнее о модуле — в статье модуль числа и его свойства.

Вынесение множителя из-под корня

Чтобы вынести множитель из-под корня, подкоренное число раскладывают на произведение точного квадрата и остатка: $\sqrt{72} = \sqrt{36 \cdot 2} = 6\sqrt{2}$. Выбирать нужно наибольший квадрат-делитель.

Если взять не наибольший квадрат, работа растянется на несколько шагов: $\sqrt{72} = \sqrt{4 \cdot 18} = 2\sqrt{18} = 2\sqrt{9 \cdot 2} = 6\sqrt{2}$. Ответ тот же, но шагов втрое больше. Удобно проверять делимость на 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64 и 81 по порядку, начиная с крупных.

Вынесение нужно, чтобы складывать корни: $\sqrt{28} + \sqrt{63} = 2\sqrt{7} + 3\sqrt{7} = 5\sqrt{7}$. Складываются только «подобные» корни с одинаковым подкоренным числом — как подобные слагаемые в алгебре. Обратная операция — внесение множителя под корень: $3\sqrt{5} = \sqrt{9 \cdot 5} = \sqrt{45}$. Она помогает сравнивать числа вида $a\sqrt{b}$.

Внести под корень можно только неотрицательный множитель. Запись $-2\sqrt{3}$ равна $-\sqrt{12}$: минус остаётся снаружи, под корень уходит только 2. Учебник Макарычева для 8 класса^[1] отрабатывает эти преобразования в отдельном параграфе, и на них держатся все дальнейшие вычисления с иррациональными числами.

Избавление от иррациональности в знаменателе

Избавиться от иррациональности в знаменателе — это умножить числитель и знаменатель на такое выражение, чтобы корень в знаменателе исчез. Для одного корня множитель — сам корень, для суммы или разности — сопряжённое выражение.

Простой случай: $\frac{12}{\sqrt{3}} = \frac{12\sqrt{3}}{3} = 4\sqrt{3}$. Случай с суммой: в $\frac{10}{\sqrt{7} - \sqrt{2}}$ умножаем на $\sqrt{7} + \sqrt{2}$, и по формуле разности квадратов знаменатель становится $7 - 2 = 5$. Получаем $2(\sqrt{7} + \sqrt{2})$. Сама формула подробно разобрана в статье про формулы сокращённого умножения.

Найдите значение выражения $(\sqrt{13} - \sqrt{7})(\sqrt{13} + \sqrt{7})$.

По формуле разности квадратов: $(\sqrt{13})^2 - (\sqrt{7})^2 = 13 - 7 = 6$. Перемножать скобки почленно не нужно — средние слагаемые всё равно взаимно уничтожатся.

Сравнение и оценка корней без калькулятора

Чтобы сравнить два положительных числа с корнями, достаточно сравнить их квадраты: из двух неотрицательных чисел больше то, у которого больше квадрат.

Сравним $\sqrt{2} + \sqrt{3}$ и $\sqrt{10}$. Квадраты: $5 + 2\sqrt{6}$ и $10$. Осталось сравнить $2\sqrt{6}$ и 5, то есть $\sqrt{24}$ и $\sqrt{25}$: первое меньше. Значит, $\sqrt{10}$ больше. Для оценки одного корня ищут соседние точные квадраты: $49 < 50 < 64$, поэтому $7 < \sqrt{50} < 8$, причём ближе к 7. Такие оценки нужны в заданиях про числа на координатной прямой — см. статью числа на координатной прямой.

Уточнить оценку помогает простая прикидка: 50 отстоит от 49 на 1, а весь промежуток до 64 равен 15, поэтому значение примерно равно $7 + \frac{1}{15} \approx 7{,}07$. Проверка возведением в квадрат: $7{,}07^2 = 49{,}9849$, очень близко к 50. На экзамене такая точность нужна редко, но она позволяет за полминуты отбросить неверные варианты ответа и не тратить время на вычисления в столбик.

Задачи с проверкой и где тема встречается на экзамене

Корни проверяет задание 8 ОГЭ (степени и корни), задание 16 ЕГЭ базового уровня и задание 8 профильного ЕГЭ по проекту ФИПИ 2027 года (в 2026 году — № 7); за каждое — 1 балл.

По кодификатору ФИПИ^[2] свойства арифметического квадратного корня входят в обязательное содержание основной школы, а калькулятор на экзамене запрещён^[3]. Блок «Задачи с проверкой» вверху страницы содержит 9 задач в формате кратких ответов: свойства произведения и дроби, разность квадратов, вынесение множителя, корень из квадрата и избавление от иррациональности. Решите задачу, введите число в поле «Ответ» и нажмите «Проверить». Кнопка «Решение» откроет разбор, «Следующая задача →» перейдёт к следующей, а задачи идут по кругу.

Квадратный корень встречается и в других номерах: в теореме Пифагора, при решении квадратных уравнений через дискриминант, в оценке иррациональных чисел. Поэтому уверенная работа с корнями окупается сразу в нескольких заданиях.

Когда упрощение не нужно

Не всегда стоит выносить множители и избавляться от иррациональности — иногда это лишняя работа.

• Если выражение сразу сворачивается в точный квадрат, например произведение под одним знаком даёт 100, выносить множители по отдельности не нужно.
• Если в ответе задания с кратким ответом получилось число вроде 4 корня из 3, где-то ошибка: ответ в бланк записывается целым числом или конечной десятичной дробью.
• Если знаменатель исчезает после сокращения через 1–2 шага, домножать на сопряжённое выражение рано.
• Если нужно лишь сравнить 2 числа, достаточно сравнить квадраты — точное упрощение каждого числа лишнее.

Чего делать нельзя

Нельзя переносить правила умножения на сложение — это источник почти всех ошибок в преобразованиях.

• Нельзя раскладывать корень из суммы на сумму корней.
• Нельзя «сокращать» корень с квадратом без модуля, если знак выражения неизвестен.
• Не следует извлекать корень из отрицательного числа: он не определён.
• Не следует вносить под корень минус: $-2\sqrt{3} \ne \sqrt{12}$.
• Не стоит заменять корень приближённым значением, если ответ должен быть точным.
• Не допускается записывать в бланк ответ со знаком корня.

Источники

[1] Макарычев Ю. Н., Миндюк Н. Г., Нешков К. И., Суворова С. Б. Алгебра. 8 класс. — М.: Просвещение.

[2] ФИПИ. Кодификатор проверяемых требований к результатам освоения основной образовательной программы основного общего образования и элементов содержания для проведения ОГЭ по математике (проект, 2027). — М.: ФИПИ, 2026.

[3] ФИПИ. Спецификация контрольных измерительных материалов для проведения в 2026 году основного государственного экзамена по математике. — М.: ФИПИ, 2025.

[4] Федеральная образовательная программа основного общего образования (утв. приказом Минпросвещения России от 18.05.2023 № 370).

Вопросы и ответы

Почему у корня из 49 одно значение, а у уравнения два решения?

Знак корня по определению обозначает только неотрицательное число. Уравнение $x^2 = 49$ спрашивает о всех числах с таким квадратом, поэтому ответ $\pm 7$.

Как быстро найти наибольший квадрат-делитель?

Разложите число на простые множители и соберите пары: $180 = 2^2 \cdot 3^2 \cdot 5$, значит, наибольший квадрат-делитель — 36, и $\sqrt{180} = 6\sqrt{5}$.

Обязательно ли избавляться от иррациональности в ответе?

В заданиях с кратким ответом ответ — число, так что вопрос отпадает. В развёрнутых решениях это не требование, но так результат удобнее сравнивать и проверять.

Можно ли извлечь корень из десятичной дроби в уме?

Да, если после запятой чётное число знаков и без запятой число — точный квадрат: $\sqrt{2{,}25} = 1{,}5$, потому что $225 = 15^2$.

Что делать, если под корнем буквенное выражение?

Сначала выпишите ограничение: подкоренное выражение неотрицательно. Затем применяйте свойства и не забывайте про модуль при извлечении из квадрата.

Сколько знаков иррациональных чисел нужно помнить?

Для оценок хватает двух знаков: $\sqrt{2} \approx 1{,}41$, $\sqrt{3} \approx 1{,}73$. В точных ответах приближения не используются.