Степень числа: правила умножения, деления и возведения в степень

Степень с натуральным показателем — что это

Степень $a^n$ с натуральным показателем $n$ — это произведение $n$ одинаковых множителей, каждый из которых равен $a$: $2^5 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 = 32$. Число $a$ называют основанием, $n$ — показателем степени.

Из определения сразу следует правило знаков. Отрицательное основание в чётной степени даёт положительное число, в нечётной — отрицательное: $(-2)^4 = 16$, $(-3)^3 = -27$. Скобки здесь решают всё: запись $-2^4$ означает «минус два в четвёртой», то есть $-16$, потому что степень выполняется раньше, чем смена знака.

Возведение в степень стоит в порядке действий выше умножения: $3 \cdot 2^3 = 3 \cdot 8 = 24$, а не $6^3$. Это правило кажется очевидным, но в длинных выражениях со степенями именно оно нарушается чаще всего.

Учебник алгебры Макарычева для 8 класса^[1] вводит степень именно так — через повторное умножение, — и все свойства степеней затем выводятся из этого определения подсчётом множителей. Если помнить вывод, ни одно правило не нужно заучивать вслепую.

Пять основных свойств степеней

Все свойства степеней работают при одинаковом основании или одинаковом показателе; их всего 5, и каждое следует из подсчёта множителей.

Почему показатели складываются: в $a^3 \cdot a^4$ три множителя $a$ и ещё четыре, всего семь. Почему при делении вычитаются: общие множители сокращаются. Почему в степени степени перемножаются: $(a^3)^2 = a^3 \cdot a^3$, то есть $3 + 3 = 3 \cdot 2$ множителей.

Последние два правила работают и в обратную сторону, и это самый мощный приём в задачах: $2^3 \cdot 3^3$ удобнее посчитать как $6^3$, а $\frac{15^4}{5^4}$ — как $3^4 = 81$. Разные основания с одинаковым показателем «склеиваются» в одно основание. В учебнике это правило доказывается в одну строку перестановкой множителей.

Миф: «$(a^m)^n$ и $a^{m^n}$ — одно и то же». Это неверно: $(2^3)^2 = 64$, а $2^{3^2} = 2^9 = 512$. Многоэтажный показатель считают сверху вниз, и правила, сводящего его к произведению показателей, не существует.

Нулевой и отрицательный показатель степени

Если $a \ne 0$, то $a^0 = 1$ и $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$. Эти определения выбраны так, чтобы правило деления степеней работало при любых целых показателях.

Действительно, $\frac{a^3}{a^3} = 1$, а по правилу частного это $a^{3-3} = a^0$. Точно так же $\frac{a^2}{a^5} = \frac{1}{a^3}$, а по правилу — $a^{-3}$. Выражение $0^0$ в школьном курсе не определено, а $0^{-2}$ не имеет смысла, потому что делить на ноль нельзя.

Отрицательный показатель «переворачивает» дробь: $\left(\frac{1}{2}\right)^{-3} = 2^3 = 8$, $0{,}2^{-2} = 5^2 = 25$. Десятичную дробь перед этим полезно перевести в обыкновенную: $0{,}2 = \frac{1}{5}$. В заданиях с числом вроде $4 \cdot 5^{-2}$ отрицательная степень даёт десятичный ответ: $4 \cdot \frac{1}{25} = 0{,}16$.

Найдите значение выражения $\frac{5^{-2} \cdot 25^3}{5^3}$.

Приводим к одному основанию: $25^3 = (5^2)^3 = 5^6$. Тогда $5^{-2+6-3} = 5^1 = 5$. Ключевой шаг — заметить, что 25 и 5 — степени одного числа; без этого показатели складывать нельзя.

Свойства степеней с рациональным показателем

Степень с дробным показателем — это корень: $a^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{a^m}$ при $a > 0$. Знаменатель показателя задаёт степень корня, числитель — степень подкоренного выражения.

Удобнее сначала извлечь корень, потом возводить в степень — числа остаются маленькими: $8^{\frac{2}{3}} = (\sqrt[3]{8})^2 = 2^2 = 4$, $16^{0{,}75} = 16^{\frac{3}{4}} = 2^3 = 8$, $27^{-\frac{1}{3}} = \frac{1}{3}$. Все пять свойств степеней сохраняются и для рациональных показателей, поэтому $9^{1{,}5} = 9 \cdot 9^{0{,}5} = 9 \cdot 3 = 27$.

Ограничение $a > 0$ существенно: выражение $(-8)^{\frac{1}{3}}$ в школьном курсе не определено, хотя кубический корень из $-8$ существует и равен $-2$. Причина в том, что $\frac{1}{3} = \frac{2}{6}$, а $\sqrt[6]{(-8)^2} = 2$, и разные записи одного показателя дали бы разные ответы. Поэтому в учебниках для 10–11 классов, например у Колмогорова^[2], степень с рациональным показателем определяют только для положительного основания.

Квадратный корень — частный случай: $\sqrt{a} = a^{\frac{1}{2}}$. Свойства корней (вынесение множителя, избавление от иррациональности) подробно разобраны в статье про арифметический квадратный корень.

Как применять свойства степеней в задачах

Чтобы упростить выражение со степенями, нужны 3 шага: разложить все основания на простые множители, собрать показатели при каждом основании и только в конце вычислить число.

Найдите значение выражения $\frac{12^5}{3^4 \cdot 4^5}$.

По правилу степени произведения $12^5 = 3^5 \cdot 4^5$. Сокращаем $4^5$, а $\frac{3^5}{3^4} = 3$. Ответ: 3. Считать $12^5 = 248\,832$ не нужно — разложение основания делает задачу устной.

Найдите значение выражения $\frac{6^9}{2^8 \cdot 3^9}$.

$6^9 = 2^9 \cdot 3^9$, поэтому дробь равна $\frac{2^9}{2^8} = 2$. Тот же приём: основание 6 раскладывается на 2 и 3, после чего показатели при одинаковых основаниях вычитаются.

Ещё пример с одинаковым основанием: $\frac{2^7 \cdot 2^5}{2^9} = 2^{7+5-9} = 2^3 = 8$, а $\frac{(3^4)^2}{3^6} = 3^{8-6} = 9$. Полезно помнить несколько степеней наизусть: $2^{10} = 1024$, $3^4 = 81$, $5^4 = 625$ — они встречаются в ответах постоянно.

Свойства степеней помогают и сравнивать числа, которые невозможно вычислить вручную. Что больше: $2^{30}$ или $3^{20}$? Оба показателя делятся на 10, поэтому $2^{30} = (2^3)^{10} = 8^{10}$, а $3^{20} = (3^2)^{10} = 9^{10}$. При одинаковом показателе больше та степень, у которой больше основание (если основания положительны), значит, $3^{20}$ больше. Такой приём не требует ни одного умножения, и его стоит держать в голове для заданий на сравнение и оценку чисел.

Если в выражении есть и степени, и корни, корни переписывают как степени с дробным показателем: $\sqrt{2} \cdot 2^{1{,}5} = 2^{0{,}5 + 1{,}5} = 2^2 = 4$. Работать с одним видом записи проще, чем держать в голове две системы правил. По спецификации ФИПИ все 19 заданий первой части ОГЭ относятся к базовому уровню, поэтому в задании 8 подобные выражения короткие — обычно в 2–3 действия.

Степени на экзамене: ОГЭ, база и профиль

Выражения со степенями проверяет задание 8 ОГЭ (степени и корни), задание 16 ЕГЭ базового уровня и задание 8 профильного ЕГЭ по проекту 2027 года (в 2026 году — № 7); каждое оценивается в 1 балл.

По кодификатору ФИПИ^[3] преобразования выражений с целыми степенями входят в обязательный минимум основной школы, а рациональные показатели — в программу старших классов. Разбор номера ОГЭ — в статье про задание 8 ОГЭ со степенями и корнями, для профиля — в материале о преобразованиях выражений в задании 8.

Тренажёр вверху страницы — «Тренажёр · № 8 ОГЭ · бесконечные варианты». Он выдаёт четыре типа задач: дробь из произведения и частного с одним основанием, произведение двух корней, разность квадратов с корнями и число, умноженное на отрицательную степень. Впишите число в поле «Ответ» и нажмите «Проверить»; кнопка «Решение» покажет, какое правило сработало, а «Следующая задача →» даст новые числа. Счётчик «решено X из Y» и полоска последних ответов помогут увидеть, какой тип ещё сбоит.

Решайте без подсказок и только потом открывайте разбор: самостоятельное воспроизведение закрепляет материал лучше, чем перечитывание, — это показало исследование Roediger и Karpicke^[4].

Стандартный вид числа и степени десяти

Стандартный вид — это запись $a \cdot 10^n$, где $1 \le a < 10$; с ним правила умножения и деления работают так же, но только для множителей $10^n$.

Например, $(3 \cdot 10^5) \cdot (4 \cdot 10^{-2}) = 12 \cdot 10^3 = 1{,}2 \cdot 10^4$. Числа 3 и 4 перемножаются обычным образом, а показатели десяток складываются. Запись $3 \cdot 10^{-2}$ означает 0,03 — отрицательный показатель сдвигает запятую влево. Подробнее — в статье о стандартном виде числа.

Когда таблица свойств не работает

Не каждое выражение упрощается по таблице: есть ситуации, где правила просто не применимы, и попытка их применить даёт неверный ответ.

• Сумма не сворачивается: 8 + 16 = 24, хотя «сложение показателей» дало бы 128. Выручает только вынесение общего множителя: $2^3(1 + 2)$.
• Разные основания и разные показатели, например 2 в пятой и 3 в четвёртой, объединить нельзя — каждый множитель считается отдельно.
• Основание 0 при показателе 0 или отрицательном — выражение не определено.
• Отрицательное основание с дробным показателем, например минус 8 в степени одна третья, в школьном курсе не рассматривают.

Чего делать нельзя

Нельзя путать действия над основаниями и над показателями — от этого возникает большинство ошибок в таких задачах.

• Нельзя перемножать показатели при умножении степеней: $a^2 \cdot a^3 = a^5$, а не $a^6$.
• Нельзя делить показатели при делении степеней — их вычитают.
• Не следует терять скобки вокруг отрицательного основания: $(-3)^2 = 9$, а $-3^2 = -9$.
• Не следует считать, что отрицательная степень даёт отрицательное число: $2^{-3} = 0{,}125 > 0$.
• Не стоит вычислять $12^5$ раньше, чем разложить основание: вычисления растягиваются и теряют точность.
• Не допускается записывать ответ в бланк в виде $2^{10}$ — только число.

Источники

[1] Макарычев Ю. Н., Миндюк Н. Г., Нешков К. И., Суворова С. Б. Алгебра. 8 класс. — М.: Просвещение.

[2] Колмогоров А. Н., Абрамов А. М., Дудницын Ю. П. и др. Алгебра и начала математического анализа. 10–11 классы. — М.: Просвещение.

[3] ФИПИ. Кодификатор проверяемых требований к результатам освоения основной образовательной программы основного общего образования и элементов содержания для проведения ОГЭ по математике (проект, 2027). — М.: ФИПИ, 2026.

[4] Roediger H. L., Karpicke J. D. Test-enhanced learning: taking memory tests improves long-term retention // Psychological Science. 2006. Vol. 17, No. 3. P. 249–255.

Вопросы и ответы

Почему любое число в нулевой степени равно единице?

Так определено, чтобы правило деления работало без исключений: $\frac{a^n}{a^n} = 1$ и одновременно $a^{n-n} = a^0$. Для $a = 0$ это определение не действует.

Как быстро понять, что основания можно привести к одному?

Разложите каждое основание на простые множители: 4, 8, 16, 32 — это степени двойки, 9, 27, 81 — тройки, 25 и 125 — пятёрки. Если множители совпали, их можно объединять.

Чему равно 1 в любой степени?

Единице — при любом показателе, в том числе отрицательном и дробном. А вот $(-1)^n$ равно 1 при чётном $n$ и $-1$ при нечётном.

Нужны ли дробные показатели для ОГЭ?

В основной школе достаточно целых показателей и квадратных корней. Дробные показатели нужны в 10–11 классах — для базового и профильного ЕГЭ.

Что делать, если в ответе получилось 2 в десятой?

Вычислить её: $2^{10} = 1024$. В бланк записывается только число цифрами.

Можно ли складывать одинаковые слагаемые вроде 3 в пятой?

Да, как подобные слагаемые: $3^5 + 3^5 + 3^5 = 3 \cdot 3^5 = 3^6$. Но это сложение одинаковых слагаемых, а не правило сложения показателей.