Линейные уравнения: решение по шагам и пропорция

Линейное уравнение — что это

Линейное уравнение с одной переменной — это уравнение, которое после упрощения принимает вид $ax = b$ , где $a$ и $b$ — числа. Переменная входит в него только в первой степени: без квадратов, без деления на $x$ , без корней.

Линейные уравнения редко даются в готовом виде $ax = b$ : обычно их маскируют скобками, дробями и переменной в обеих частях. Поэтому первый шаг — не решать, а распознать тип. Если после раскрытия скобок и приведения подобных старшая степень переменной равна единице, перед вами линейное уравнение, и дальше всё решается по одной схеме. Если остался квадрат, нужны другие методы — они разобраны в статье про квадратные уравнения. Линейные уравнения с параметром, где коэффициент зависит от буквы, требуют разбора случаев.

Уравнения $3x + 7 = 22$ или $5(x - 2) = 2x + 1$ — линейные. Уравнение $x^2 = 9$ — уже квадратное, а $\frac{6}{x} = 2$ — дробно-рациональное, хотя и сводится к линейному. Принцип решения всех линейных уравнений одинаков: равносильные преобразования, которые не меняют множество корней.

Равносильных преобразований два. Первое — перенос слагаемого из одной части уравнения в другую с противоположным знаком (это то же самое, что прибавить одно и то же число к обеим частям). Второе — умножение или деление обеих частей на одно и то же число, не равное нулю. Делить обе части уравнения на ноль нельзя: при этом теряется смысл записи.

В учебнике Макарычева^[1] линейное уравнение служит отправной точкой всего курса алгебры: к нему сводятся текстовые задачи, системы уравнений способом подстановки и многие дробные уравнения. Поэтому навык нужен не только в одном задании экзамена.

Три исхода: один корень, нет корней, бесконечно много

Уравнение $ax = b$ имеет ровно 3 возможных исхода, и какой из них получится, зависит от коэффициента $a$ и свободного члена $b$ .

Условие	Сколько корней	Пример
$a \ne 0$	один корень $x = \frac{b}{a}$	$2x = -3$ , $x = -1{,}5$
$a = 0$ , $b \ne 0$	корней нет	$2(x + 3) = 2x + 1$ даёт $0 \cdot x = -5$
$a = 0$ , $b = 0$	любое число — корень	$3(x - 1) = 3x - 3$ даёт $0 \cdot x = 0$

Случаи без корней и с бесконечным множеством корней возникают, когда иксы взаимно уничтожаются. Запись « $0 \cdot x = -5$ » не означает, что ответ — ноль: ни одно число, умноженное на ноль, не даёт $-5$ . Ответ здесь — «корней нет». А при $0 \cdot x = 0$ подходит любое число, и ответ — « $x$ — любое число». Этот разбор трёх случаев в учебнике алгебры оформлен как общее правило для уравнения $ax = b$ , и его полезно помнить готовым.

Миф: «у любого уравнения есть хотя бы один корень, просто его надо найти». Это неверно: у уравнения $2(x + 3) = 2x + 1$ корней не существует, и это полноценный ответ, а не ошибка решения.

Решение по шагам: скобки, перенос, деление

Чтобы решить линейное уравнение со скобками, действуют в одном и том же порядке: раскрыть скобки, привести подобные слагаемые в каждой части, перенести иксы влево, числа вправо и разделить на коэффициент при $x$ .

Решите уравнение $5(x - 2) - 3(2x + 1) = 4$ .

Скобки. $5x - 10 - 6x - 3 = 4$ . Минус перед второй скобкой меняет знаки обоих слагаемых внутри: $-3 \cdot 2x = -6x$ , $-3 \cdot 1 = -3$ .
Подобные. $-x - 13 = 4$ .
Перенос. $-x = 4 + 13 = 17$ .
Деление. $x = -17$ .

Проверка подстановкой: $5 \cdot (-19) - 3 \cdot (-33) = -95 + 99 = 4$ . Правая часть совпала, корень найден верно. Проверка занимает минуту, но ловит ошибку в знаке — главную причину неверных ответов в линейных уравнениях.

Удобно переносить слагаемые так, чтобы коэффициент при $x$ получился положительным: в уравнении $2x + 5 = 7x - 10$ соберите иксы справа, где их больше, — $15 = 5x$ , $x = 3$ . Ответ тот же, но без лишнего деления на отрицательное число.

Линейные уравнения с дробными коэффициентами

Если в уравнении есть дроби с числами в знаменателях, обе части умножают на наименьшее общее кратное знаменателей — после этого коэффициенты становятся целыми.

Решите уравнение $\frac{x}{3} + \frac{x - 1}{4} = 5$ .

Умножаем обе части на 12: $4x + 3(x - 1) = 60$ . Скобка здесь обязательна: числитель $x - 1$ умножается на 3 целиком. Дальше $4x + 3x - 3 = 60$ , $7x = 63$ , $x = 9$ . Проверка: $3 + 2 = 5$ . Если забыть скобку и написать $3x - 1$ , получится $7x = 61$ — корень, который в бланк не запишешь.

С десятичными коэффициентами помогает умножение на 10 или 100: $0{,}4x - 1{,}2 = 0{,}1x + 0{,}6$ после умножения на 10 даёт $4x - 12 = x + 6$ , $3x = 18$ , $x = 6$ . Подробнее о вычислениях с дробями — в статье действия с обыкновенными и десятичными дробями.

Пропорция и её основное свойство

Пропорция — это равенство двух отношений $\frac{a}{b} = \frac{c}{d}$ ; её основное свойство: произведение крайних членов равно произведению средних, $ad = bc$ . Уравнение-пропорция решается «умножением крест-накрест».

Пример: $\frac{x + 1}{3} = \frac{x - 2}{2}$ . По свойству пропорции $2(x + 1) = 3(x - 2)$ , то есть $2x + 2 = 3x - 6$ , $x = 8$ . Проверка: $\frac{9}{3} = 3$ и $\frac{6}{2} = 3$ . Если переменная стоит в знаменателе, сначала нужно выписать ограничение: в $\frac{x}{x - 2} = 3$ значение $x = 2$ недопустимо. Решаем: $x = 3(x - 2)$ , $x = 3$ — подходит.

Пропорции применяют и в практических задачах: масштаб, рецепты, прямая и обратная пропорциональность. Им посвящена отдельная статья отношения и пропорции.

Уравнения, которые сводятся к линейным

Если после раскрытия скобок квадраты взаимно уничтожаются или после умножения на знаменатель остаётся первая степень, уравнение сводится к линейному — но с дополнительной проверкой.

Пример с квадратами: $(x + 2)^2 - x^2 = 12$ . Раскрываем по формуле квадрата суммы: $x^2 + 4x + 4 - x^2 = 12$ , откуда $4x = 8$ , $x = 2$ . Пример с дробью: $\frac{x^2 - 4}{x - 2} = 4$ . При $x \ne 2$ дробь сокращается до $x + 2$ , и $x + 2 = 4$ даёт $x = 2$ — но это значение запрещено. Ответ: корней нет. Найденный $x = 2$ — посторонний корень, и записать его в ответ — значит потерять балл.

Для текстовых задач линейное уравнение — основная модель. Ручка дороже карандаша на 25 рублей, а 3 ручки и 2 карандаша стоят 175 рублей. Пусть карандаш стоит $k$ рублей: $3(k + 25) + 2k = 175$ , $5k = 100$ , $k = 20$ , ручка — 45 рублей. Дробные уравнения подробнее разобраны в статье про дробно-рациональные уравнения.

Линейные уравнения на экзамене

Линейные уравнения проверяет задание 9 ОГЭ (уравнения) — по спецификации ФИПИ^[2] оно стоит 1 балл; кроме того, они нужны в задании 20 второй части и в текстовой задаче 21, где за каждое ставят до 2 баллов.

По кодификатору ФИПИ^[3] решение линейных уравнений входит в базовые требования основной школы. На профильном ЕГЭ отдельного задания на них нет, но текстовая задача (№ 11 по проекту 2027 года, в 2026 году — № 10) почти всегда сводится к модели первой или второй степени. Разбор номера ОГЭ — в статье о задании 9 ОГЭ.

Тренажёр вверху страницы — «Тренажёр · № 9 ОГЭ · бесконечные варианты». Примерно половина задач в нём — линейные вида $ax + b = cx + d$ , остальные — квадратные с записью большего или меньшего корня, как в реальном номере. Введите ответ в поле «Ответ», нажмите «Проверить», при ошибке откройте «Решение», затем «Следующая задача →». Счётчик «решено X из Y» показывает, держится ли точность на серии.

Делите тренировку на короткие подходы в разные дни: распределённое повторение эффективнее занятий подряд, это показал метаанализ Cepeda и соавторов^[4].

Когда схема «перенеси и раздели» не подходит

Схема не годится, если задача на самом деле другого типа.

Если после раскрытия скобок остался $x^2$ с ненулевым коэффициентом, например 2, задача уже квадратная — нужен дискриминант или теорема Виета.
Если переменная стоит в знаменателе, сначала выписывают ограничения; иначе в ответ попадёт посторонний корень, как значение 2 в примере выше.
Если в уравнении есть модуль, его раскрывают по 2 случаям, и каждый случай решают отдельно.
Если коэффициент при $x$ содержит параметр, деление на него допустимо только при значении параметра, не равном 0.

Чего делать нельзя

Нельзя менять порядок шагов «по ощущению»: ошибки почти всегда связаны со знаками и скобками.

Нельзя переносить слагаемое, не меняя его знак.
Нельзя делить обе части на выражение с $x$ : так теряются корни.
Не следует раскрывать скобку после минуса, меняя знак только у первого слагаемого.
Не следует умножать на общий знаменатель только одну часть равенства или только дробные слагаемые.
Не стоит записывать « $x = 0$ » вместо «корней нет», когда получилось $0 \cdot x = 5$ .
Не допускается записывать в ответ значение, при котором исходный знаменатель обращается в ноль.

Источники

[1] Макарычев Ю. Н., Миндюк Н. Г., Нешков К. И., Суворова С. Б. Алгебра. 8 класс. — М.: Просвещение.

[2] ФИПИ. Спецификация контрольных измерительных материалов для проведения в 2026 году основного государственного экзамена по математике. — М.: ФИПИ, 2025.

[3] ФИПИ. Кодификатор проверяемых требований к результатам освоения основной образовательной программы основного общего образования и элементов содержания для проведения ОГЭ по математике (проект, 2027). — М.: ФИПИ, 2026.

[4] Cepeda N. J., Pashler H., Vul E., Wixted J. T., Rohrer D. Distributed practice in verbal recall tasks: a review and quantitative synthesis // Psychological Bulletin. 2006. Vol. 132, No. 3. P. 354–380.

Вопросы и ответы

Как записать в бланк ответ «корней нет»?

В задании с кратким ответом такая ситуация не предусмотрена: задания подобраны так, что корень есть и записывается числом. Если у вас корней не получилось, перепроверьте раскрытие скобок.

Что делать, если корень — дробь вроде 7/4?

Перевести в десятичную запись: 1,75. Если дробь бесконечная, например 2/3, где-то ошибка — в бланк такой ответ не записать.

Обязательно ли делать проверку?

В заданиях с кратким ответом — настоятельно рекомендуется, она занимает минуту. Когда переменная стоит в знаменателе, проверка ограничений обязательна.

Можно ли переносить числа вправо, а иксы влево одновременно?

Да, это один шаг: каждое перенесённое слагаемое меняет знак. Главное — не пропустить ни одного слагаемого при переписывании.

Чем пропорция отличается от других задач на поиск x?

Ничем принципиальным: это равенство двух дробей с неизвестным. Свойство крест-накрест — просто быстрый способ избавиться от знаменателей.

Почему корней может быть бесконечно много?

Потому что обе части — одно и то же выражение, записанное по-разному. Такое равенство называют тождеством: оно верно при любом значении переменной.