Пропорция, масштаб и деление в отношении: правила и задачи

Отношения и пропорции: что такое отношение двух чисел

Отношение — это частное двух чисел или величин, записанное через двоеточие или дробью: $18 : 24 = \frac{18}{24} = \frac34$. Оно показывает, во сколько раз одно больше другого или какую долю одно составляет от другого.

Отношения и пропорции подчиняются тем же правилам, что и дроби, поэтому отношение можно сокращать: обе части делят на общий делитель. Нельзя только делить или умножать на ноль. $18 : 24$ после деления на 6 становится $3 : 4$. Можно и умножать обе части на одно число — так избавляются от дробей: $0{,}5 : 1{,}5 = 5 : 15 = 1 : 3$, а $\frac23 : \frac34$ после умножения на 12 превращается в $8 : 9$.

Если сравнивают именованные величины, их сначала переводят в одни единицы. Отношение 2 м к 50 см — это не $2 : 50$, а $200 : 50 = 4$: метр в 4 раза длиннее полуметра. Отношение величин одного рода — отвлечённое число без единиц. Отношение величин разного рода, например километров к часам, уже имеет смысл скорости и единицы измерения сохраняет.

Отношение можно выразить и в процентах: если в классе 12 девочек из 30 учеников, их доля $\frac{12}{30} = 0{,}4$, то есть 40 %. Проценты разобраны отдельно в статье проценты: доля, увеличение и уменьшение, а здесь важно другое — отношение частей между собой: девочек и мальчиков $12 : 18 = 2 : 3$.

Пропорция и её основное свойство

Пропорция — это верное равенство двух отношений: $\frac{a}{b} = \frac{c}{d}$, где $b \ne 0$ и $d \ne 0$. Числа $a$ и $d$ называют крайними членами пропорции, $b$ и $c$ — средними.

В школьном курсе отношения и пропорции изучают в 6 классе, а основное свойство потом используют до 11 класса. Свойство звучит так: в пропорции произведение крайних членов равно произведению средних, $ad = bc$. Это свойство работает в обе стороны: если $ad = bc$ и все числа отличны от нуля, то отношения $\frac{a}{b}$ и $\frac{c}{d}$ равны. По сути, это умножение обеих частей равенства на $bd$, которое учебник алгебры обосновывает как следствие свойств равенств.

Найдите $x$ из пропорции $\dfrac{x}{12} = \dfrac{5}{8}$.

По основному свойству $8x = 12 \cdot 5$, $8x = 60$, $x = 7{,}5$. Проверка: $\frac{7{,}5}{12} = 0{,}625$ и $\frac58 = 0{,}625$ — равенство верное. Если неизвестное стоит в знаменателе, например $\frac{3}{x - 2} = \frac{6}{11}$, действуем так же: $6(x - 2) = 33$, $x = 7{,}5$. Но здесь нужно добавить условие $x \ne 2$, иначе знаменатель обращается в ноль и пропорция не определена. Подробнее приём «перекрёстного умножения» в уравнениях — в статье линейные уравнения и пропорция.

Из основного свойства следует, что в пропорции можно менять местами средние или крайние члены: из $\frac{a}{b} = \frac{c}{d}$ получаются верные пропорции $\frac{a}{c} = \frac{b}{d}$ и $\frac{d}{b} = \frac{c}{a}$. Этим удобно пользоваться, чтобы неизвестное оказалось в числителе.

Деление числа в данном отношении

Чтобы разделить число в отношении $a : b : c$, его делят на сумму $a + b + c$ — так находят одну долю, — а затем умножают долю на каждое из чисел отношения.

Число 840 разделите на три части в отношении $3 : 4 : 5$.

Долей всего $3 + 4 + 5 = 12$, одна доля $840 : 12 = 70$. Первая часть $3 \cdot 70 = 210$, вторая часть $4 \cdot 70 = 280$, третья часть $5 \cdot 70 = 350$. Каждая часть кратна 70 — это хороший признак, что доля найдена верно. Проверка: $210 + 280 + 350 = 840$, а $210 : 280 : 350 = 3 : 4 : 5$ после деления на 70.

Углы треугольника относятся как $2 : 3 : 4$. Найдите углы.

Сумма углов треугольника по теореме о сумме углов равна $180^\circ$. Долей $2 + 3 + 4 = 9$, одна доля $20^\circ$, углы $40^\circ$, $60^\circ$ и $80^\circ$. Ни одна часть здесь не может быть больше половины суммы, если наибольшее число отношения меньше суммы остальных: $4 < 2 + 3$. Та же схема работает для смесей и сплавов: если медь и цинк взяты в отношении $7 : 3$, то в 450 г сплава 10 долей по 45 г, цинка 135 г.

Миф: «разделить в отношении $2 : 3$ — значит одна часть равна $\frac23$ числа». Это неверно: долей всего 5, и части равны $\frac25$ и $\frac35$ числа. Отношение частей между собой и доля части от целого — разные вещи, и путать их на экзамене не стоит.

Масштаб карты и плана

Масштаб — это отношение длины на карте или плане к реальной длине: запись $1 : 25\,000$ значит, что 1 см на карте соответствует 25 000 см, то есть 250 м на местности.

Расстояние 4,6 см на такой карте соответствует $4{,}6 \cdot 250 = 1150$ м. Отношения и пропорции на карте удобнее сразу переводить в «именованный» масштаб: «в 1 см — 250 м». Обратная задача: если реальные 3 км на карте занимают 6 см, масштаб $6 : 300\,000 = 1 : 50\,000$.

С площадями масштаб работает иначе: при масштабе $1 : k$ все длины увеличиваются в $k$ раз, а площади — в $k^2$ раз. На плане квартиры с масштабом $1 : 100$ один квадратный сантиметр соответствует $100^2 = 10\,000$ см², то есть ровно 1 м². Комната площадью 12 см² на таком плане имеет площадь 12 м². Это то же свойство, что и у подобных фигур, — его доказывают в курсе геометрии через подобие треугольников и отношение площадей.

Прямая и обратная пропорциональность

Две величины прямо пропорциональны, если при увеличении одной в несколько раз другая увеличивается во столько же раз: $y = kx$. Обратно пропорциональны — если при увеличении одной в несколько раз другая во столько же раз уменьшается: $y = \frac{k}{x}$.

Прямая зависимость: стоимость и масса товара при постоянной цене, путь и время при постоянной скорости. Если 3 кг стоят 270 рублей, то 5 кг стоят $\frac{270}{3} \cdot 5 = 450$ рублей. Обратная зависимость: время и скорость на одном пути, число рабочих и срок работы. Если 6 рабочих выполняют заказ за 10 дней, то 4 рабочих при той же производительности — за $\frac{6 \cdot 10}{4} = 15$ дней: произведение «рабочие × дни» постоянно.

Не всякая возрастающая зависимость — прямая пропорциональность. Стоимость такси «посадка 100 рублей плюс 30 рублей за километр» растёт с расстоянием, но при удвоении пути не удваивается: 5 км стоят 250 рублей, 10 км — 400. Формула $y = 30x + 100$ — линейная функция, а не пропорциональность. Свойства функции $y = \frac{k}{x}$ и её графика разобраны в статье гипербола и обратная пропорциональность.

Где встречаются отношения и пропорции на экзамене

Отдельного номера на эту тему нет, но рассуждения «во сколько раз» нужны в 5–6 заданиях ОГЭ и базового ЕГЭ: от плана местности до текстовых задач.

• ОГЭ, задания 1–5. Практический блок с планом квартиры, участка или местности: перевод сантиметров плана в метры, длины и площади.
• ОГЭ, задание 21. Текстовая задача с развёрнутым ответом: смеси, работа и движение часто сводятся к равенству двух частных.
• ЕГЭ, база, задание 15. По спецификации ФИПИ^[1] это задание на проценты и отношения. Разбор — на странице задание 15 базового ЕГЭ.
• ЕГЭ, база, задание 1. Практические расчёты: сколько упаковок хватит, если известен расход на одну единицу, — прямая пропорциональность.

Сборники типовых вариантов под редакцией Ященко^[2] показывают, что задачи на карты и деление на доли почти всегда решаются в 2–3 действия. Если решение растянулось на полстраницы, стоит проверить, не потерян ли короткий путь.

Задачи с проверкой

В блоке «Задачи с проверкой» вверху страницы 8 задач: деление на доли, равенство дробей с неизвестным, карта и план, прямая и обратная зависимость, сплав.

Вводите ответ так, как в бланк: десятичную дробь — через запятую, например 7,5, без единиц измерения. После «Проверить» можно открыть «Решение» и сравнить ход рассуждений, а «Следующая задача →» переключит задание. Возвращайтесь к блоку через несколько дней: интервальное повторение работает лучше, чем решение всего подряд за один раз^[3].

Когда «перекрёстное умножение» не работает

Этот приём верен только для пропорциональных величин, и в 4 типичных случаях механическое «перекрёстное умножение» даёт неверный ответ.

• Если есть постоянная добавка: тариф «100 рублей плюс 30 за километр» не пропорционален расстоянию, 10 км стоят 400, а не 500 рублей.
• Если речь о площади по плану $1 : 100$: площадь растёт в 10 000 раз, а не в 100.
• Если работники мешают друг другу или есть ограничение: 2 рабочих красят забор за 6 часов, но 12 рабочих не справятся за 1 час, если на заборе помещаются только 4 человека.
• Если величины связаны квадратом: при увеличении стороны квадрата в 3 раза его площадь растёт в 9 раз.

Чего делать нельзя

Нельзя умножать «крест-накрест» на автомате, не проверив тип зависимости: прямую и обратную путают чаще всего.

• Нельзя сравнивать величины в разных единицах: 2 м и 50 см сначала переводят в сантиметры.
• Нельзя решать обратную зависимость как прямую: 4 насоса работают дольше 6, а не быстрее.
• Не следует делить число на одно из чисел вместо их суммы: при делении на доли $3 : 4 : 5$ делят на 12.
• Не следует переносить коэффициент увеличения длин на площади без возведения в квадрат.
• Не стоит забывать условие «знаменатель не равен нулю», если неизвестное стоит в знаменателе дроби.
• Не допускается записывать в бланк ответ с единицами измерения: только число, например 1,7.

Источники

[1] ФИПИ. Спецификация контрольных измерительных материалов для проведения в 2027 году единого государственного экзамена по математике. Базовый уровень (проект). — М.: ФИПИ, 2026.

[2] Ященко И. В. (ред.). ЕГЭ. Математика. Базовый уровень. Типовые экзаменационные варианты. — М.: Национальное образование.

[3] Cepeda N. J., Pashler H., Vul E., Wixted J. T., Rohrer D. Distributed practice in verbal recall tasks: a review and quantitative synthesis // Psychological Bulletin. 2006. Vol. 132, No. 3. P. 354–380.

[4] Макарычев Ю. Н., Миндюк Н. Г., Нешков К. И., Суворова С. Б. Алгебра. 8 класс. — М.: Просвещение.

Вопросы и ответы

Чем частное двух чисел отличается от равенства частных?

Частное — одно число, например $3 : 4 = 0{,}75$. Равенство $3 : 4 = 9 : 12$ уже утверждение: его можно проверить или решить относительно неизвестного, если одно из чисел не дано.

Как понять, прямая зависимость или обратная?

Мысленно увеличьте одну величину вдвое. Если вторая тоже выросла вдвое — прямая, если уменьшилась вдвое — обратная. Если изменилась иначе, это не пропорциональность, и умножать крест-накрест нельзя.

Что означает запись 1 : 100 000 на карте?

1 см на карте соответствует 100 000 см на местности, то есть 1 км. Поэтому такая карта удобна: сантиметры на карте сразу равны километрам.

Можно ли сокращать запись с десятичными дробями?

Да, но сначала удобно умножить обе части на 10 или 100: $1{,}2 : 0{,}8 = 12 : 8 = 3 : 2$. Значение частного при умножении обеих частей на одно число не меняется, а дробная часть исчезает.

Почему на плане площадь меняется в квадрате?

Площадь — произведение двух длин, и каждая из них умножается на $k$. Поэтому площадь умножается на $k \cdot k = k^2$. Для объёма множитель уже $k^3$.

Где в учебнике искать обратную пропорциональность?

Функцию $y = \frac{k}{x}$ и её график изучают в 8 классе; в учебнике Макарычева^[4] она идёт в главе о рациональных дробях. Задачи на обратную зависимость решают и раньше — без формулы, через постоянное произведение.