Задание 15 ЕГЭ база: проценты, скидки, налог и наценка

Q: Можно ли решать через пропорцию?

Да. Пропорция «2760 рублей — 115%, x рублей — 100%» даёт тот же результат, что и деление на 1,15. Проверяется только число в бланке, поэтому подходит любой верный способ.

Что проверяет задание 15 и сколько оно стоит

Задание 15 — это проверка умения применять проценты в бытовых ситуациях: покупка со скидкой, налог на доходы, наценка магазина, изменение цены или тарифа. По проекту спецификации ФИПИ 2027 года базовый экзамен состоит из 21 задания с кратким ответом, каждое оценивается в 1 первичный балл^[1].

Итог базового экзамена переводится в отметку: «3» начинается с 7 первичных баллов, «4» — с 12, «5» — с 17. Задание 15 относится к тем номерам, где балл можно забрать почти гарантированно: формул всего три, а ловушки повторяются из года в год. Проценты входят в кодификатор ФИПИ как одна из самых практических тем курса. Проект демоверсии ФИПИ^[2] показывает тот же формат, что и в прошлые годы: условие в 2–3 предложения и ответ — целое число или конечная десятичная дробь.

Проценты встречаются и в других номерах — в выборе тарифа, в смесях и растворах, в чтении диаграмм. Но только здесь процент — главный объект задачи, поэтому именно на этом номере удобнее всего довести технику до автоматизма. Чтобы решать уверенно, достаточно понимать, что 1 процент — это сотая часть величины, и не путать базу, от которой процент берётся.

Три формулы, на которых держится номер

Если величина меняется на $p\%$ , её умножают на коэффициент $1 \pm \frac{p}{100}$ — это основа всех задач номера. Вторая формула находит долю: часть делят на целое и умножают на 100. Третья решает обратную задачу: новое значение делят на коэффициент.

Ситуация в условии	Действие	Пример
Скидка, снижение, налог на $p\%$	умножить на $1 - \frac{p}{100}$	$4500 \cdot 0{,}7 = 3150$
Наценка, подорожание, рост на $p\%$	умножить на $1 + \frac{p}{100}$	$2400 \cdot 1{,}15 = 2760$
Сколько процентов составляет часть	$\frac{\text{часть}}{\text{целое}} \cdot 100$	$\frac{18}{75} \cdot 100 = 24$
На сколько процентов изменилась цена	$\frac{\text{новая} - \text{старая}}{\text{старая}} \cdot 100$	$\frac{900 - 750}{750} \cdot 100 = 20$
Какой была величина до изменения	разделить на коэффициент	$2760 : 1{,}15 = 2400$

Коэффициент удобнее, чем «найти процент, потом вычесть»: одно умножение вместо двух действий и меньше шансов ошибиться. Скидка 30% — это умножение на 0,7, налог 13% — на 0,87, наценка 25% — на 1,25. Подробнее о самих процентах, долях и сложных процентах написано в теме проценты: доля, увеличение и уменьшение.

Разбор типовых задач по шагам

Чтобы увидеть, как работают три формулы, разберём 4 задачи в формате экзамена. Числа придуманы для этой статьи, но устройство условий такое же, как в сборниках типовых вариантов под редакцией Ященко^[3].

Цена после скидки

Куртка стоила 4500 рублей. В период распродажи на неё сделали скидку 30%. Сколько рублей стоит куртка во время распродажи?

Скидка уменьшает цену, коэффициент равен $1 - 0{,}3 = 0{,}7$ . Считаем: $4500 \cdot 0{,}7 = 3150$ . Прикидка: 30% — это чуть меньше трети, треть от 4500 равна 1500, значит, цена должна стать немного больше 3000. Ответ 3150 с прикидкой согласуется. Именно такую проверку прикидкой советует Д. Пойа в книге «Как решать задачу»: результат сравнивают с грубой оценкой ещё до записи в бланк.

Зарплата после налога

Начисленная зарплата составляет 52 000 рублей, налог на доходы — 13%. Сколько рублей получит работник после удержания налога?

Налог удерживают из начисленной суммы, поэтому на руки остаётся $100\% - 13\% = 87\%$ : $52\,000 \cdot 0{,}87 = 45\,240$ . Ставку налога в задаче всегда сообщают в условии — придумывать её или брать «из жизни» не нужно. Если спрашивают размер налога, а не сумму на руки, ответ другой: $52\,000 \cdot 0{,}13 = 6760$ .

На сколько процентов подорожал товар

Абонемент в бассейн стоил 750 рублей, а теперь стоит 900 рублей. На сколько процентов подорожал абонемент?

Разница цен — 150 рублей. Процент считаем от старой цены, потому что подорожание измеряется относительно того, что было: $\frac{150}{750} \cdot 100 = 20$ . Ответ: 20. Если бы цена снизилась с 900 до 750, база была бы 900, и снижение составило бы $\frac{150}{900} \cdot 100 \approx 16{,}7\%$ — совсем другое число при той же разнице.

Обратная задача: цена до наценки

После повышения цены на 15% настольная игра стоит 2760 рублей. Сколько рублей стоила игра до повышения?

Новая цена — это 115% старой, то есть старая цена, умноженная на 1,15. Значит, старую находим делением: $2760 : 1{,}15 = 2400$ . Проверка обратным действием: $2400 \cdot 1{,}15 = 2760$ . Отнимать 15% от 2760 нельзя: получится 2346, и проверка не сойдётся.

Миф: «если цену подняли на 15%, а потом снизили на 15%, она вернётся к исходной». Это неверно: второе изменение считается от новой, большей цены. Например, $1000 \cdot 1{,}2 \cdot 0{,}8 = 960$ — после роста на 20% и снижения на 20% товар дешевле исходного на 4%.

Отношения и доли без слова «процент»

Отношение $a : b$ — это деление целого на $a + b$ равных частей, и в номере 15 оно встречается наравне с процентами. Задача может спрашивать, сколько предметов приходится на каждую часть или какую долю составляет одна группа.

В саду растут 40 плодовых деревьев — яблони и груши в отношении 5 : 3. Сколько процентов деревьев составляют яблони?

Всего частей $5 + 3 = 8$ , на одну часть приходится $40 : 8 = 5$ деревьев. Яблонь $5 \cdot 5 = 25$ , груш 15. Доля яблонь: $\frac{25}{40} \cdot 100 = 62{,}5$ . Ответ: 62,5. Можно было сразу посчитать $\frac{5}{8} = 0{,}625$ — отношение уже содержит долю, и знать число деревьев для ответа не обязательно.

Отношения тесно связаны с пропорциями и масштабом; если деление в заданном отношении вызывает трудности, повторите тему отношения и пропорции. В учебнике Макарычева для 8 класса^[4] этот приём объясняется через уравнение $5x + 3x = 40$ , и на экзамене такая запись тоже верна, просто занимает больше места. Федеральная образовательная программа (ФОП) отводит процентам и отношениям место уже в 5–6 классах, так что номер проверяет давно пройденный материал.

Тренажёр: решаем задание 15 до автоматизма

Тренажёр вверху страницы — это бесконечные варианты задачи № 15 в трёх видах: цена после повышения или снижения, зарплата после налога 13% и процент подорожания билета. Числа меняются по кнопке «Следующая задача →».

Введите число в поле «Ответ» и нажмите «Проверить». Если ответ не совпал, кнопка «Решение» покажет вычисление одной строкой — сравните его со своим черновиком и найдите, на каком шаге разошлись. Полоска последних ответов и счётчик «решено X из Y» помогают видеть точность: разумная цель — 10 задач подряд без ошибок.

Генератор не охватывает обратные задачи и отношения, поэтому после него полезно прорешать 10–15 задач из сборника. Исследования о проверочной практике показывают, что решение задач без подсказки закрепляет навык надёжнее, чем перечитывание разборов^[5], — поэтому сначала решайте сами и только потом открывайте решение.

Типичные ошибки и ловушки условия

Не менее половины ошибок в номере 15 связаны не с вычислениями, а с прочтением условия: ученик отвечает не на тот вопрос или берёт процент не от той величины. Ниже — ловушки, которые встречаются чаще всего.

Спросили изменение, а ответили итог. «На сколько рублей подешевел товар» и «сколько стоит товар» — разные вопросы, и ответы в них разные.
Процент от новой цены. Подорожание и снижение всегда считаются от исходной величины, если в условии не сказано иное.
Сложение процентов. Два повышения на 10% и 20% дают не 30%, а 32%: $2000 \cdot 1{,}1 \cdot 1{,}2 = 2640$ .
Обратная задача «вычитанием». Цену до наценки находят делением на коэффициент, а не вычитанием процента из новой цены.
Потерянный ноль. 5% — это 0,05, а не 0,5; ошибка в разряде даёт ответ в 10 раз больше.

Миф: «в задании 15 бывают подвохи с округлением, и ответ надо угадывать». Не подтверждается: числа подобраны так, что ответ получается целым или конечной десятичной дробью. Если вышла бесконечная дробь вроде 16,666…, это сигнал, что процент взят не от той величины.

Как проверить ответ за 30 секунд

Чтобы проверить ответ, достаточно двух приёмов: прикидки порядка величины и обратного действия. Прикидка ловит ошибки в разряде, обратное действие — ошибки в выборе формулы.

Направление. После скидки и налога число должно уменьшиться, после наценки — вырасти. Если направление другое, ошибка в коэффициенте.
Порядок. 10% считается сдвигом запятой, 25% — четверть, 50% — половина. Сравните ответ с такой грубой оценкой.
Обратный ход. Найденную исходную цену умножьте на коэффициент — должно получиться число из условия.
Вопрос. Перечитайте последнее предложение условия: в рублях, в процентах, сколько стало или на сколько изменилось.

Вычисления вроде $52\,000 \cdot 0{,}87$ удобно делать по частям: $52\,000 \cdot 0{,}87 = 52\,000 - 52\,000 \cdot 0{,}13 = 52\,000 - 6760$ . Так проверка встроена прямо в решение, а приёмы быстрых вычислений без лишних записей собраны в материале о действиях с дробями из задания 14 базового уровня.

Когда разбор номера не поможет

Не каждая трудность с номером 15 решается тренировкой именно этого номера — иногда причина глубже.

Если умножение на десятичную дробь вроде $0{,}87$ занимает больше 3 минут, сначала нужно восстановить действия с дробями, а уже потом решать проценты.
Если из 10 задач тренажёра верны меньше 5, разбор поможет мало: вернитесь к определению процента как сотой части и решите 20 задач «найти $p\%$ от числа».
Если до экзамена меньше 2 недель, а проценты не изучались, выгоднее закрепить 3 формулы из таблицы и не трогать отношения.
Если ошибки случаются в задачах на смеси и сплавы, это тема задания 20, и её тренируют отдельно.

Чего делать нельзя

Нельзя терять балл на номере, где решение занимает одну строку, — поэтому запомните 6 запретов.

Нельзя складывать проценты последовательных изменений: каждое следующее изменение считается от нового значения.
Нельзя вычитать процент из конечной цены, чтобы найти исходную, — только деление на коэффициент.
Не следует писать в бланк знак процента или слово «рублей»: допускаются только цифры, запятая и минус.
Не следует округлять промежуточные результаты: в номере 15 ответ получается точным.
Не стоит пропускать последнее предложение условия — вопрос «на сколько» отличается от вопроса «сколько».
Не стоит переносить ставку налога «из жизни»: в расчёт идёт только число из условия.

Как записать ответ в бланк

Ответ на номер 15 — это число без единиц измерения: целое или десятичная дробь через запятую. Каждый символ пишется в отдельную клеточку, начиная с первой, по образцу из бланка.

Если получилось 45 240 рублей, в бланк идёт «45240» без пробела. Если ответ 62,5%, записывают «62,5» без знака процента. Отрицательных ответов в этом номере не бывает: цена и процент изменения в такой задаче положительны, и знак «минус» в ответе — повод перепроверить решение. Общие правила оформления, включая запись десятичных дробей, разобраны в статье как записывать ответы в бланк; ответ, записанный с единицами измерения, не засчитывается автоматической проверкой.

Источники

[1] ФИПИ. Спецификация контрольных измерительных материалов для проведения в 2027 году единого государственного экзамена по математике. Базовый уровень (проект). — М.: ФИПИ, 2026.

[2] ФИПИ. Демонстрационный вариант контрольных измерительных материалов единого государственного экзамена 2027 года по математике. Базовый уровень (проект). — М.: ФИПИ, 2026.

[3] Ященко И. В. (ред.). ЕГЭ. Математика. Базовый уровень. Типовые экзаменационные варианты. — М.: Национальное образование.

[4] Макарычев Ю. Н., Миндюк Н. Г., Нешков К. И., Суворова С. Б. Алгебра. 8 класс. — М.: Просвещение.

[5] Roediger H. L., Karpicke J. D. Test-enhanced learning: taking memory tests improves long-term retention // Psychological Science. 2006. Vol. 17, No. 3. P. 249–255.

Вопросы и ответы

Задание 15 сложнее задания 14?

Обычно нет. В номере 14 нужно аккуратно выполнить цепочку действий с дробями, а в номере 15 — выбрать одну формулу и сделать одно-два вычисления. Основная трудность здесь в прочтении условия, а не в арифметике.

Можно ли решать через пропорцию?

Да. Пропорция «2760 рублей — 115%, $x$ рублей — 100%» даёт тот же результат, что и деление на 1,15. Проверяется только число в бланке, поэтому подходит любой верный способ.

Что делать, если ответ получился дробным?

Конечная десятичная дробь, например 62,5 или 1020,5, — нормальный ответ. Тревожный сигнал — только бесконечная дробь: тогда стоит проверить, от какой величины вы считали.

Нужно ли знать, как устроен налог на доходы?

Нет. Задача сообщает ставку в условии, и считать нужно только по ней. Демоверсия и спецификация ФИПИ не требуют знаний о налоговой системе. Знание реальных правил налогообложения на результат не влияет.

Сколько времени тратить на этот номер?

Ориентир — 2–4 минуты вместе с проверкой. На весь базовый экзамен отводится 3 часа на 21 задание, так что запас времени на перепроверку есть.

Как понять, что я готов к номеру?

Решите 10 задач тренажёра и 5 обратных задач из сборника. Если ошибок не больше одной, номер можно повторять раз в неделю, а основное время отдать другим темам.