Соответствие неравенств и решений в задании 18 базового ЕГЭ

Что проверяет задание 18 и как его оценивают

Задание 18 — это проверка двух связанных умений: сравнивать действительные числа и решать линейные, квадратные, показательные и логарифмические неравенства. По проекту спецификации ФИПИ 2027 года номер оценивается в 1 первичный балл^[1], и балл ставится только за полностью верную последовательность.

Номер встречается в двух вариантах. В первом на прямой отмечены четыре точки, а рядом — четыре числа вроде $\sqrt{7}$, $\frac73$ или $\log_2 10$; каждой точке нужно найти её число. Во втором даны четыре неравенства и четыре промежутка, и нужно указать, какой промежуток является решением каждого неравенства. Проект демоверсии ФИПИ^[2] сохраняет этот формат. Действительные числа и неравенства входят и в кодификатор, и в ФОП среднего общего образования.

Ошибка в одной паре почти всегда ломает и вторую: если две буквы получили неправильные номера, они просто поменялись местами. Поэтому одна неточная оценка стоит всего балла. Хорошая новость в том, что соответствие можно проверить «с двух сторон»: каждый номер справа используется ровно один раз, и последняя пара определяется исключением.

Как оценить число без калькулятора

Чтобы поставить число на прямую, достаточно найти два соседних целых, между которыми оно лежит. Для корня это делают через квадраты, для логарифма — через степени основания, для дроби — делением с остатком.

Последняя строка таблицы — самая полезная. Когда два числа попадают в один и тот же промежуток между целыми, оценивают точнее: сравнивают с серединой, то есть с 2,5, 3,5 и так далее. Для корня середину возводят в квадрат, для логарифма — сравнивают число со степенью основания с дробным показателем или переходят к соседним степеням. Учебник Макарычева для 8 класса вводит эти оценки ещё при знакомстве с арифметическим корнем. Подробнее о расположении чисел на прямой — в теме числа на координатной прямой.

Разбор: точки на прямой и числа

Разберём задачу первого вида, где два числа лежат в одном промежутке и без сравнения с серединой не обойтись. Числа подобраны так, чтобы показать приём; в реальном варианте рисунок будет другим.

Точка A лежит между 2 и 2,5, точка B — между 2,5 и 3, точка C — между 3 и 3,5, точка D — между 5 и 6. Каждой точке соответствует одно из чисел: 1) $\log_2 10$; 2) $\sqrt{30}$; 3) $\frac73$; 4) $\sqrt7$. Установите соответствие.

Начинаем с очевидного: $25 < 30 < 36$, значит $5 < \sqrt{30} < 6$ — это точка D. Далее $8 < 10 < 16$, поэтому $3 < \log_2 10 < 4$; точнее, $2^{3{,}5} = 8\sqrt2 \approx 11{,}3 > 10$, значит логарифм меньше 3,5 — точка C. Остались $\frac73 \approx 2{,}33$ и $\sqrt7$. Так как $2{,}5^2 = 6{,}25 < 7$, корень больше 2,5 — точка B, а дробь — точка A.

Ответ: A — 3, B — 4, C — 1, D — 2, в бланк идёт «3412». Обратите внимание: последняя пара определилась сама, но проверить её всё равно стоит, потому что ошибка в предыдущей оценке передалась бы и ей.

Миф: «в задании 18 точки на рисунке нарисованы без масштаба, поэтому их положение не важно». Это неверно: деления на прямой задают точные промежутки, и именно по ним определяется, какое число какой точке соответствует. Нарисованы точки схематично, но порядок и промежутки соблюдены.

Разбор: неравенства и промежутки

Во втором виде задачи каждое неравенство решают отдельно, а затем ищут его ответ среди промежутков. Если промежутки похожи, важно не потерять граничную точку и не перепутать направление.

Установите соответствие между неравенствами и их решениями. А) $x^2 - 4x \le 0$; Б) $x^2 - 4x \ge 0$; В) $2^x \le 16$; Г) $\log_{0{,}5} x \le -2$. Решения: 1) $[0; 4]$; 2) $[4; +\infty)$; 3) $(-\infty; 0] \cup [4; +\infty)$; 4) $(-\infty; 4]$.

А) $x(x - 4) \le 0$: корни 0 и 4, ветви параболы вверх, значит, решение между корнями — 1. Б) то же выражение $\ge 0$ — снаружи корней, номер 3. В) $2^x \le 2^4$, основание больше 1, знак сохраняется: $x \le 4$ — 4. Г) основание 0,5 меньше 1, поэтому при переходе к аргументам знак меняется: $x \ge 0{,}5^{-2} = 4$ — 2.

Ответ: «1342». Логарифмическое неравенство с основанием меньше единицы — самая коварная пара в этом номере, на ней теряют балл чаще всего. Учебник Колмогорова^[3] объясняет правило через монотонность: при основании от 0 до 1 функция убывает, и большему аргументу соответствует меньшее значение. Подробнее — в темах квадратные неравенства через параболу и логарифмические неравенства.

Задачи с проверкой

Блок «Задачи с проверкой» вверху страницы — это 9 задач: 4 на соответствие в формате экзамена и 5 коротких задач с числовым ответом на оценку чисел и решение неравенств. Задачи идут по кругу.

В задачах на соответствие вводите четыре цифры подряд без пробелов и запятых — так же, как в бланке. Нажмите «Проверить», а если ответ не совпал, откройте «Решение» и найдите пару, на которой ошиблись. Кнопка «Следующая задача →» переходит к следующей задаче. Числовые задачи — например, сколько целых чисел удовлетворяет неравенству — тренируют те же навыки, но ошибку в них легче найти. Исследование Roediger и Karpicke^[4] показало, что самостоятельное решение без подсказки закрепляет материал лучше перечитывания, поэтому открывайте разбор только после своей попытки.

Типичные ошибки и проверка ответа

Не более пяти ошибок покрывают почти все неверные ответы в этом номере. Если знать их заранее, проверка занимает меньше минуты.

• Знак при делении на отрицательное. $9 - 3x \ge 0$ даёт $x \le 3$, а не $x \ge 3$.
• Основание меньше 1. В показательных и логарифмических неравенствах с основанием 0,5 или $\frac13$ знак меняется.
• Область определения логарифма. Решение $\log_3 x < 1$ — это $0 < x < 3$, а не $x < 3$.
• Между корнями или снаружи. Для параболы с ветвями вверх «$\le 0$» — между корнями, «$\ge 0$» — снаружи.
• Перепутанный порядок. Ответ записывают в порядке букв А, Б, В, Г, а не в порядке номеров.

Проверка простая: в правильном ответе каждая цифра от 1 до 4 встречается ровно один раз. Если цифра повторилась, ошибка точно есть. Второй приём — подставить в неравенство одно число из выбранного промежутка и одно число вне его: первое должно подойти, второе — нет.

Когда тренировка номера не поможет

Не всегда тренировка соответствий — лучший способ поднять результат: иногда мешают пробелы в соседних темах.

• Если таблица квадратов от 1 до 20 не помнится, оценка корней будет занимать по 2–3 минуты, и сначала нужно выучить её.
• Если логарифмы ещё не изучались, задачи с ними из 4 пар будут угадыванием — начните с показательных и квадратных неравенств.
• Если линейное неравенство решается с ошибкой в 3 случаях из 10, сначала повторите правило деления на отрицательное число.
• Если до экзамена меньше 5 дней, отработайте только оценку корней: она встречается почти в каждой задаче первого вида.

Чего делать нельзя

Нельзя терять балл на номере, где каждая пара проверяется за секунды, — вот 6 правил.

• Нельзя определять пары «на глаз» по рисунку, не оценив числа через квадраты или степени.
• Нельзя забывать менять знак при делении на отрицательное число и при основании меньше 1.
• Не следует записывать ответ с пробелами, запятыми или буквами: в бланк идут только 4 цифры.
• Не следует оставлять последнюю пару без проверки, даже если она определилась исключением.
• Не стоит решать логарифмическое неравенство, не выписав условие положительности аргумента.
• Не стоит начинать с самой трудной пары: очевидные пары сокращают перебор.

Как записать ответ в бланк

Ответ на номер 18 — это последовательность из 4 цифр, записанных в порядке букв или точек из условия. Каждая цифра занимает отдельную клеточку, без пробелов, запятых и скобок.

Если получилось А — 1, Б — 3, В — 4, Г — 2, в бланк записывают «1342». Порядок цифр задаётся левым столбцом, а не правым. Записанная с пробелом или с буквами последовательность не засчитывается. Общие требования к бланку собраны в статье как записывать ответы в бланк, а простые уравнения, решение которых часто нужно для неравенств, разобраны в задании 17 базового уровня.

Источники

[1] ФИПИ. Спецификация контрольных измерительных материалов для проведения в 2027 году единого государственного экзамена по математике. Базовый уровень (проект). — М.: ФИПИ, 2026.

[2] ФИПИ. Демонстрационный вариант контрольных измерительных материалов единого государственного экзамена 2027 года по математике. Базовый уровень (проект). — М.: ФИПИ, 2026.

[3] Колмогоров А. Н., Абрамов А. М., Дудницын Ю. П. и др. Алгебра и начала математического анализа. 10–11 классы. — М.: Просвещение.

[4] Roediger H. L., Karpicke J. D. Test-enhanced learning: taking memory tests improves long-term retention // Psychological Science. 2006. Vol. 17, No. 3. P. 249–255.

Вопросы и ответы

Дают ли балл за частично верное соответствие в задании 18?

Нет. Номер оценивается в 1 балл только при полностью верной последовательности из четырёх цифр. Поэтому проверять стоит каждую пару, а не только сомнительные.

Может ли одна цифра повториться в ответе?

В этом номере каждому элементу слева соответствует ровно один элемент справа, и все номера разные. Повтор цифры означает ошибку в одной из пар.

Что делать, если два числа лежат в одном промежутке?

Сравнить их между собой или с серединой промежутка. Для корня середину возводят в квадрат, для дроби — переводят в десятичную запись.

Нужно ли рисовать параболу для квадратного неравенства?

Схематичный рисунок с двумя корнями и направлением ветвей занимает 10 секунд и надёжно показывает, где выражение положительно. Без рисунка легко перепутать «между корнями» и «снаружи».

Какие неравенства встречаются чаще?

В сборниках встречаются линейные, квадратные, показательные и логарифмические неравенства, часто все четыре вида в одной задаче. Готовиться стоит ко всем.

Сколько времени отводить на номер?

Обычно 3–5 минут. Если одна пара не определяется, решите остальные три — последняя найдётся исключением, после чего её стоит проверить подстановкой.