Задание 20 ЕГЭ база: текстовые задачи на движение и смеси

Что проверяет задание 20 и сколько оно стоит

Задание 20 — это проверка умения перевести бытовую ситуацию на язык формул: путь, скорость и время; объём работы, производительность и время; масса раствора, доля вещества и его масса. По проекту спецификации ФИПИ 2027 года номер оценивается в 1 первичный балл^[1].

Математика в этом номере несложная: формула $s = vt$ и её аналоги, простое уравнение, иногда пропорция. Трудность в том, чтобы правильно прочитать условие — понять, кто куда едет, сколько часов прошло и какая величина неизвестна. Поэтому на задание 20 стоит закладывать 5–8 минут и обязательно рисовать схему. Проект демоверсии ФИПИ^[2] сохраняет формат прошлых лет: задача в 2–4 предложения с числовым ответом.

Типов задач четыре: движение (навстречу, вдогонку, по реке), средняя скорость, совместная работа и смеси. В варианте попадается один из них. Текстовые задачи входят в кодификатор ФИПИ как отдельное умение — перевести условие на язык математики. Все четыре типа опираются на одну и ту же идею: три величины связаны произведением, и если известны две, третья находится делением.

Одна формула для четырёх типов задач

Если в задаче есть процесс, у него всегда есть «скорость», «время» и «результат», связанные формулой результат = скорость · время. Таблица показывает, как эта формула выглядит в каждом типе.

Тип задачи	«Скорость»	«Время»	«Результат»	Формула
Движение	скорость $v$ , км/ч	время $t$ , ч	путь $s$ , км	$s = vt$
Работа	производительность $p$	время $t$	объём работы $A$	$A = pt$
Смеси	доля вещества $c$	масса раствора $m$	масса вещества	$m_{\text{в}} = cm$
Средняя скорость	средняя скорость	всё время	весь путь	$v_{\text{ср}} = \frac{s_{\text{весь}}}{t_{\text{всё}}}$

Задачи на смеси формально похожи на проценты, но главное в них другое: при доливании воды масса вещества не меняется, а при смешивании двух растворов массы веществ складываются. Именно этот закон сохранения и делает задачу решаемой в два действия. Обычные задачи на скидки и налоги разобраны отдельно — в задании 15 на проценты.

Движение навстречу, вдогонку и по реке

Чтобы решить задачу на движение двух объектов, считают скорость сближения: при движении навстречу скорости складываются, при движении вдогонку — вычитаются. Дальше расстояние делят на скорость сближения.

Расстояние между городами 72 км. Из них одновременно навстречу друг другу выехали два велосипедиста: один со скоростью 14 км/ч, другой — 10 км/ч. Через сколько часов они встретятся?

Скорость сближения $14 + 10 = 24$ км/ч. Время до встречи $72 : 24 = 3$ ч. Проверка: за 3 часа первый проедет 42 км, второй — 30 км, вместе 72 км. Ответ: 3.

Пешеход вышел из посёлка со скоростью 5 км/ч. Через 2 часа вслед за ним выехал велосипедист со скоростью 15 км/ч. Через сколько часов после своего выезда велосипедист догонит пешехода?

За 2 часа пешеход ушёл на $5 \cdot 2 = 10$ км. Скорость сближения при движении вдогонку $15 - 5 = 10$ км/ч. Время $10 : 10 = 1$ ч. Ответ: 1. Обратите внимание на вопрос: спрашивают время после выезда велосипедиста, а не после выхода пешехода — во втором случае ответ был бы 3.

В задачах по реке скорость течения прибавляется к собственной скорости лодки по течению и вычитается против течения. Лодка со скоростью 18 км/ч при течении 2 км/ч пройдёт 80 км по течению за $80 : 20 = 4$ ч, а обратно — за $80 : 16 = 5$ ч. Больше схем движения собрано в теме задачи на движение.

Средняя скорость: главная ловушка номера

Средняя скорость — это весь путь, делённый на всё время движения, а не среднее арифметическое скоростей. На этой подмене теряют балл чаще, чем в любом другом типе задачи. Формула через весь путь и всё время не может дать неверного результата, если оба значения посчитаны правильно.

Автомобиль проехал 120 км со скоростью 60 км/ч, а обратно ехал со скоростью 40 км/ч. Найдите среднюю скорость автомобиля на всём пути. Ответ дайте в км/ч.

Время туда $120 : 60 = 2$ ч, обратно $120 : 40 = 3$ ч. Весь путь 240 км, всё время 5 ч. Средняя скорость $240 : 5 = 48$ км/ч. Ответ: 48. Среднее арифметическое $\frac{60 + 40}{2} = 50$ было бы неверным: с меньшей скоростью автомобиль ехал дольше, и она сильнее влияет на результат.

Миф: «если половину пути ехать 60 км/ч, а половину 40 км/ч, средняя скорость будет 50 км/ч». Это неверно: она равна 48 км/ч, как показывает расчёт выше. Среднее арифметическое скоростей совпадает со средней скоростью только тогда, когда одинаково время на участках, а не их длина.

Совместная работа и смеси

В задаче на работу весь объём принимают за 1, а производительность — за долю работы в час. При совместной работе производительности складываются, и время находится делением 1 на сумму.

Первая труба наполняет бассейн за 6 часов, вторая — за 3 часа. За сколько часов наполнят бассейн обе трубы, работая вместе?

Производительности: $\frac16$ и $\frac13$ бассейна в час. Вместе $\frac16 + \frac13 = \frac12$ бассейна в час, значит, на весь бассейн нужно $1 : \frac12 = 2$ ч. Ответ: 2. Совместное время не может быть больше, чем время самой быстрой трубы. Проверка здравым смыслом: вместе быстрее, чем самая быстрая труба по отдельности, — 2 часа меньше 3. Подробнее — в теме задачи на совместную работу.

К 30 кг 20-процентного раствора соли добавили 10 кг воды. Какова концентрация получившегося раствора? Ответ дайте в процентах.

Соли в растворе $30 \cdot 0{,}2 = 6$ кг, и при доливании воды это количество не меняется. Новая масса раствора $30 + 10 = 40$ кг. Концентрация $\frac{6}{40} \cdot 100 = 15$ . Ответ: 15. При смешивании двух растворов действуют так же: 4 л 15-процентного и 6 л 25-процентного раствора содержат $0{,}6 + 1{,}5 = 2{,}1$ л вещества на 10 л, то есть 21%. Учебник Макарычева^[3] решает такие задачи через уравнение, но для краткого ответа хватает двух действий.

Тренажёр: задачи из номера 20

Генератор вверху страницы — это бесконечные варианты двух видов: встречное движение двух туристов и разбавление раствора соли водой. Числа меняются при каждом нажатии «Следующая задача →».

Решите задачу на бумаге, введите ответ в поле «Ответ» и нажмите «Проверить». Кнопка «Решение» покажет вычисление: скорость сближения и время или массу соли и новую концентрацию. Счётчик «решено X из Y» и полоска последних ответов показывают, насколько стабильно получается.

Средней скорости, работы и движения по реке в генераторе нет, поэтому после 10 задач тренажёра решите по 3–4 задачи этих типов из сборника типовых вариантов под редакцией Ященко^[4]. Исследование Cepeda и соавторов о распределённом повторении подсказывает разносить такие серии по разным дням^[5]. Смешанная тренировка разных типов полезнее, чем двадцать одинаковых задач подряд.

Типичные ошибки и как проверить ответ

Не менее половины ошибок задания 20 — ответ не на тот вопрос: найдено время, а спрашивали расстояние, или найдено время пешехода вместо времени велосипедиста. Остальные связаны с единицами измерения.

Разные единицы. Скорость в км/ч, а время в минутах: 20 минут — это $\frac13$ часа, а не 0,2 часа.
Средняя скорость. Её считают через весь путь и всё время, а не как полусумму скоростей.
Масса после разбавления. Доливание воды меняет массу раствора, но не массу растворённого вещества.
Чья точка отсчёта. «Через сколько часов после выезда» — время второго участника, а не первого.

Лучшая проверка — подставить ответ в условие и пересказать задачу с найденным числом. Если велосипедисты встретятся через 3 часа, сумма их путей должна дать 72 км. Если концентрация стала 15%, то 15% от 40 кг — это 6 кг соли, как и было. Такая проверка занимает полминуты.

Когда этот разбор не поможет

Не каждая трудность с номером 20 решается разбором задач — иногда мешает другое.

Если перевод минут в часы даётся с ошибками в 3 случаях из 10, сначала отработайте единицы измерения, а потом задачи.
Если линейное уравнение с одной неизвестной решается дольше 5 минут, нужна тренировка уравнений, а не новых сюжетов.
Если до экзамена меньше 2 недель, отработайте 2 типа — движение навстречу и смеси — и не распыляйтесь на остальные.
Если условие из 4 предложений приходится перечитывать больше 3 раз, помогает схема: отрезок, стрелки, подписанные скорости.

Чего делать нельзя

Нельзя решать текстовую задачу «в голове», не записав величины, — вот 6 правил, которые сохраняют балл.

Нельзя находить среднюю скорость как среднее арифметическое скоростей на участках.
Нельзя смешивать минуты и часы в одной формуле — переводите всё в одни единицы.
Не следует менять массу вещества при доливании воды: меняется только масса раствора.
Не следует складывать скорости при движении вдогонку — их вычитают.
Не стоит пропускать последнее предложение условия: оно говорит, какую величину записать.
Не стоит записывать в бланк единицы измерения: «км/ч», «ч» и «%» не пишут.

Как записать ответ в бланк

Ответ на номер 20 — это число в тех единицах, которые указаны в вопросе: часы, км/ч, проценты. Цифры и запятая пишутся по одной в клеточку, без единиц измерения.

Если средняя скорость равна 48 км/ч, в бланк идёт «48». Если концентрация 12,5%, записывают «12,5». Ответ, записанный не в тех единицах, не засчитывается. Если вопрос требует ответ в минутах, а вы получили $\frac14$ часа, переведите: в бланк пойдёт «15». Общие требования к записи собраны в статье как записывать ответы в бланк. Задачи, где вместо формул нужна смекалка и перебор вариантов, вынесены в последний номер базового экзамена.

Источники

[1] ФИПИ. Спецификация контрольных измерительных материалов для проведения в 2027 году единого государственного экзамена по математике. Базовый уровень (проект). — М.: ФИПИ, 2026.

[2] ФИПИ. Демонстрационный вариант контрольных измерительных материалов единого государственного экзамена 2027 года по математике. Базовый уровень (проект). — М.: ФИПИ, 2026.

[3] Макарычев Ю. Н., Миндюк Н. Г., Нешков К. И., Суворова С. Б. Алгебра. 8 класс. — М.: Просвещение.

[4] Ященко И. В. (ред.). ЕГЭ. Математика. Базовый уровень. Типовые экзаменационные варианты. — М.: Национальное образование.

[5] Cepeda N. J., Pashler H., Vul E., Wixted J. T., Rohrer D. Distributed practice in verbal recall tasks: a review and quantitative synthesis // Psychological Bulletin. 2006. Vol. 132, No. 3. P. 354–380.

Вопросы и ответы

Какие типы задач бывают в задании 20?

В сборниках встречаются задачи на движение (навстречу, вдогонку, по реке), среднюю скорость, совместную работу и смеси. В одном варианте — одна задача одного типа.

Обязательно ли составлять уравнение?

Нет. Многие задачи базового уровня решаются по действиям: скорость сближения, потом время. Уравнение нужно, когда неизвестная величина входит в условие несколько раз. Оба способа одинаково законны и в учебнике, и на экзамене.

Как не запутаться в единицах?

Перед расчётом переведите все величины в единицы из вопроса: если скорость в км/ч, время — в часах. Минуты делят на 60, метры — на 1000. Складывать величины в разных единицах нельзя.

Может ли ответ быть дробным?

Да, например 1,5 часа или 12,5%. Ответ должен быть конечной десятичной дробью; если вышла бесконечная, проверьте единицы и вопрос.

Сколько времени отводить на номер?

Ориентир — 5–8 минут вместе со схемой и проверкой. На весь экзамен отводится 180 минут, поэтому на внимательное чтение условия время есть.

Где ещё пригодятся такие задачи?

Задачи на движение и смеси есть и в ОГЭ, и в профильном экзамене. Подробная теория по смесям — в теме задачи на смеси и сплавы.