Задачи на движение: навстречу, вдогонку, по реке

Где встречаются задачи на движение на экзамене

Сюжеты про движение есть во всех трёх экзаменах: в ОГЭ это задание 21 с развёрнутым решением на 2 балла, в базовом ЕГЭ — задание 20 на 1 балл, в профильном — задание 11 (в 2026 году оно имело номер 10).

Кодификатор ФИПИ относит такие задачи к умению «решать текстовые задачи разных типов», а спецификация ОГЭ — к части 2, где проверяют не только ответ, но и запись решения^[1]. На базе и профиле в бланк идёт одно число, поэтому оформление там не оценивается, но и права на ошибку в единицах измерения нет. Разборы под конкретные номера вынесены отдельно: текстовая задача ОГЭ с полным решением и задание 20 базового ЕГЭ. Здесь — сама теория движения, общая для всех номеров. Федеральная образовательная программа основного общего образования включает текстовые задачи на движение в курс алгебры, поэтому умение считается обязательным уже к 9 классу.

Тип движения	Ключевая скорость	Формула времени
Навстречу друг другу	скорость сближения $v_1 + v_2$	$t = \frac{s}{v_1 + v_2}$
В противоположные стороны	скорость удаления $v_1 + v_2$	$t = \frac{s_{\text{между}}}{v_1 + v_2}$
Вдогонку (в одну сторону)	скорость сближения $v_1 - v_2$	$t = \frac{s_0}{v_1 - v_2}$
По течению реки	$v + u$	$t = \frac{s}{v + u}$
Против течения	$v - u$	$t = \frac{s}{v - u}$
Средняя скорость	весь путь : всё время	$v_{\text{ср}} = \frac{s_1 + s_2}{t_1 + t_2}$

Главная формула и таблица движения

Любое равномерное движение описывается тремя величинами: путь $s$ , скорость $v$ и время $t$ , связанными равенством $s = v t$ . Зная две из них, третью находят делением или умножением.

Самый надёжный приём — таблица из трёх столбцов. В строку записывают каждого участника или каждый участок пути, неизвестное обозначают $x$ , а остальные клетки заполняют выражениями через $x$ . Учебник алгебры 8 класса предлагает ту же таблицу как стандартный способ записи условия. Одна клетка всегда остаётся «лишней»: именно её связь из условия и превращается в уравнение. Этот способ описан ещё в книге Пойа «Как решать задачу»^[4]: сначала понять, что дано и что требуется, затем найти связь между данными, и только после этого считать.

Перед решением приведите все величины к одинаковым единицам. Если скорость в км/ч, время должно быть в часах: 20 минут — это $\frac13$ часа, а не 0,2. Для перевода между метрами в секунду и километрами в час помните множитель 3,6: $20$ м/с — это $72$ км/ч. Задача, где скорость дана в км/ч, а время в минутах, без перевода даст ответ, ошибочный в 60 раз.

Движение навстречу и вдогонку

Если два объекта движутся навстречу, расстояние между ними сокращается со скоростью $v_1 + v_2$ ; если один догоняет другого — со скоростью $v_1 - v_2$ . Это понятие называют скоростью сближения. По спецификации ФИПИ задание 20 базового ЕГЭ — текстовая задача, и встречное движение для него типичный сюжет^[2].

Из двух сёл, расстояние между которыми 72 км, одновременно навстречу друг другу выехали два велосипедиста со скоростями 14 км/ч и 10 км/ч. Через сколько часов они встретятся?

Каждый час расстояние уменьшается на $14 + 10 = 24$ км, поэтому встреча произойдёт через $72 : 24 = 3$ часа. Проверка: первый проедет $42$ км, второй $30$ км, вместе ровно $72$ . Ответ: 3.

Пешеход вышел из посёлка со скоростью 5 км/ч. Через 1 ч 12 мин по той же дороге выехал велосипедист со скоростью 17 км/ч. Через сколько часов после своего старта велосипедист догонит пешехода?

Переводим время: 1 ч 12 мин $= 1{,}2$ ч. К старту велосипедиста пешеход ушёл на $5 \cdot 1{,}2 = 6$ км. Скорость сближения $17 - 5 = 12$ км/ч, значит, погоня займёт $6 : 12 = 0{,}5$ ч. Ответ: 0,5. Обратите внимание: время отсчитывают от момента старта велосипедиста — это частое место для ошибки, когда в ответ пишут $1{,}7$ ч.

Движение в противоположные стороны устроено так же, как встречное, только расстояние не сокращается, а растёт: два поезда, разъехавшиеся со скоростями 60 и 80 км/ч, через 2 часа окажутся в $280$ км друг от друга.

Задачи на движение по реке

Задачи на движение по реке — это сюжеты, где к собственной скорости лодки $v$ прибавляется или из неё вычитается скорость течения $u$ : по течению лодка идёт со скоростью $v + u$ , против течения — со скоростью $v - u$ .

Плот собственной скорости не имеет и плывёт со скоростью течения. Отсюда полезное следствие: скорость течения равна полуразности скоростей по течению и против него, а собственная скорость лодки — их полусумме. Именно на этом построен тренажёр вверху страницы: «Тренажёр · № 21 ОГЭ» каждый раз предлагает новую задачу про моторную лодку, а кнопка «Решение» показывает расчёт через полуразность.

Моторная лодка прошла против течения 96 км и вернулась обратно, затратив на обратный путь на 4 часа меньше. Скорость течения 2 км/ч. Найдите собственную скорость лодки.

Пусть собственная скорость $x$ км/ч. Против течения лодка шла $\frac{96}{x - 2}$ ч, по течению — $\frac{96}{x + 2}$ ч. Разность времён равна 4:

$\frac{96}{x - 2} - \frac{96}{x + 2} = 4.$

Умножаем на $(x - 2)(x + 2)$ : $96 \cdot 4 = 4(x^2 - 4)$ , откуда $x^2 = 100$ . Отрицательный корень не подходит по смыслу, остаётся $x = 10$ ; по теореме Виета сумма корней уравнения $x^2 - 100 = 0$ равна нулю, так что второй корень действительно $-10$ . Проверка: $96 : 8 = 12$ ч и $96 : 12 = 8$ ч, разница 4 ч. Ответ: 10 км/ч. Если вид дробно-рационального уравнения пугает, повторите решение квадратных уравнений — к нему сводится почти каждая такая задача.

Миф: «скорость течения всегда меньше скорости лодки, поэтому её можно не учитывать при прикидке». Неверно: при течении 3 км/ч и собственной скорости 6 км/ч лодка против течения идёт вдвое медленнее, чем в стоячей воде. Простого правила «течение мало» не существует — его всегда вносят в таблицу.

Средняя скорость на всём пути

Средняя скорость — это весь пройденный путь, делённый на всё затраченное время, а не среднее арифметическое скоростей на участках. Совпадают они только если на каждом участке тратили одинаковое время.

Автомобиль ехал из города в посёлок 60 км со скоростью 60 км/ч, а обратно — со скоростью 40 км/ч. Найдите среднюю скорость на всём пути.

Туда ушёл 1 час, обратно $60 : 40 = 1{,}5$ часа. Весь путь $120$ км, всё время $2{,}5$ ч, средняя скорость $120 : 2{,}5 = 48$ км/ч. Если бы мы взяли среднее арифметическое, получили бы 50 — это неверный ответ, который составители специально включают в варианты.

Для двух равных по длине участков удобна формула среднего гармонического: $v_{\text{ср}} = \frac{2 v_1 v_2}{v_1 + v_2}$ . Например, при скоростях 60 и 90 км/ч получаем $\frac{2 \cdot 60 \cdot 90}{150} = 72$ км/ч. А если известно время на участках — 2 ч со скоростью 50 км/ч и 3 ч со скоростью 80 км/ч, — считают напрямую: $\frac{100 + 240}{5} = 68$ км/ч.

Миф: «средняя скорость всегда лежит ровно посередине между наибольшей и наименьшей». Это не подтверждается даже простым примером выше: между 40 и 60 км/ч середина — 50, а настоящая средняя скорость равна 48, потому что медленный участок длится дольше.

Поезда, круговая трасса и другие особые случаи

Особых сюжетов в задачах на движение 3: протяжённый объект (поезд), движение по замкнутой трассе и движение с остановкой. Формула та же, меняется только то, какой путь считать.

Поезд и платформа

Поезд длиной 300 м проходит мимо столба за 15 с — значит, его скорость $300 : 15 = 20$ м/с, или 72 км/ч. Мимо платформы длиной 500 м он проходит за $(300 + 500) : 20 = 40$ с: путь включает и длину платформы, и длину самого поезда. Если поезд проезжает мимо другого поезда, складывают их длины, а скорость берут как скорость сближения.

Круговая трасса

Два бегуна стартуют из одной точки круга длиной 400 м в одном направлении со скоростями 5 и 3 м/с. Быстрый впервые догонит медленного, когда обгонит его ровно на один круг: $400 : (5 - 3) = 200$ с. На круговой трассе «догнать» всегда означает «пробежать на целое число кругов больше».

Остановка в пути

Если участник стоял 30 минут, это время входит в общее время в пути, но не в расчёт пути. В таблице для остановки заводят отдельную строку со скоростью 0.

Как составить уравнение: 5 шагов

Чтобы не теряться в длинном условии, решайте любую задачу на движение по одной схеме из пяти шагов — она одинаково работает для ОГЭ, базы и профиля.

Шаг 1. Нарисуйте схему: отрезок пути, стрелки направлений, место встречи.
Шаг 2. Выберите неизвестное — обычно то, что спрашивают, или скорость, через которую проще выразить остальное.
Шаг 3. Заполните таблицу $v$ , $t$ , $s$ для каждого участника.
Шаг 4. Найдите в условии фразу-связь («на 2 часа раньше», «встретились», «весь путь») и запишите уравнение.
Шаг 5. Решите уравнение, отбросьте корни, не подходящие по смыслу, и проверьте ответ подстановкой в условие.

По учебнику Макарычева для 8 класса^[3] такие задачи сводятся к дробно-рациональным уравнениям, поэтому шаг 5 почти всегда включает проверку знаменателей. Скорость не может быть отрицательной или равной скорости течения, если лодка движется против него. В профильном ЕГЭ те же приёмы используются в задании 11, разобранном на странице текстовые задачи профильного ЕГЭ; похожая логика с производительностью — в материале про задачи на совместную работу.

Когда табличный метод не подходит

Таблица $v$ , $t$ , $s$ — универсальный инструмент, но есть 4 ситуации, когда она не помогает или отнимает лишнее время.

Если скорость меняется непрерывно (задан закон $s(t) = 2t^2 + 3t$ ), это уже не равномерное движение — нужна производная из курса 10–11 классов, а не таблица.
Если в задаче базового ЕГЭ одно действие вроде $72 : 24$ , рисовать таблицу на 3 строки дольше, чем сразу посчитать.
Если до экзамена меньше 2 недель, а дробно-рациональные уравнения не освоены, разумнее тренировать задачи на движение без уравнений — встречное движение и среднюю скорость.
Если участников больше 3 и условие запутанное, сначала нужен рисунок с моментами времени, иначе таблица превратится в хаос.

Чего делать нельзя

Нельзя терять баллы на мелочах, которые не связаны с пониманием задачи: большинство ошибок здесь — в единицах и в выборе корня.

Нельзя смешивать минуты и часы в одной формуле: 15 минут — это $0{,}25$ ч.
Нельзя находить среднюю скорость как полусумму скоростей, если время на участках разное.
Не следует оставлять в ответе отрицательную скорость или скорость, меньшую скорости течения, при движении против него.
Не следует забывать длину поезда, когда он проходит мимо платформы или моста.
Не стоит записывать единицы измерения в бланк ответов — туда идёт только число.
Не допускается в задании 21 ОГЭ давать ответ без уравнения и пояснений к нему: решение должно быть обоснованным.

Источники

[1] ФИПИ. Спецификация контрольных измерительных материалов для проведения в 2026 году основного государственного экзамена по математике. — М.: ФИПИ, 2025.

[2] ФИПИ. Спецификация контрольных измерительных материалов для проведения в 2027 году единого государственного экзамена по математике. Базовый уровень (проект). — М.: ФИПИ, 2026.

[3] Макарычев Ю. Н., Миндюк Н. Г., Нешков К. И., Суворова С. Б. Алгебра. 8 класс. — М.: Просвещение.

[4] Пойа Д. Как решать задачу. — М.: Учпедгиз, 1959.

Вопросы и ответы

Какие задачи на движение бывают в ОГЭ?

Чаще всего в задании 21 встречаются лодка по реке, два автомобиля с разной скоростью и средняя скорость. Все они решаются через уравнение, а за полное обоснованное решение ставят 2 балла.

Нужно ли писать «Пусть x км/ч — скорость…»?

В развёрнутом решении — да: критерии оценивания ФИПИ требуют обоснованного решения, а без указания, что обозначено буквой, эксперт не может проверить уравнение. В заданиях с кратким ответом запись не проверяется.

Как понять, какой корень лишний?

Подставьте каждый корень в условие: скорость должна быть положительной, а скорость лодки против течения — больше нуля. Корень, при котором время или скорость становятся отрицательными, отбрасывают с пояснением.

Что делать, если ответ получился дробным?

Дробный ответ допустим, если он записывается конечной десятичной дробью, например 0,5 или 2,25. Если получилось $\frac13$ , скорее всего, ответ нужно дать в минутах или вы ошиблись в переводе единиц.

Чем помогает тренажёр на этой странице?

Он выдаёт бесконечные варианты задачи про лодку и течение, проверяет ответ и показывает решение. Счётчик «решено X из Y» помогает понять, насколько стабильно вы решаете этот сюжет.

Сколько времени тратить на одну задачу?

Для базы и первой части профиля ориентир — 4–6 минут. Задание 21 ОГЭ с оформлением занимает 10–15 минут; если за 20 минут уравнение не сложилось, лучше перейти к другим задачам.