Задачи на работу: производительность, трубы, бассейны

Q: Как быстро найти время двух труб вместе?

Используйте формулу \frac{ab}{a + b}: для 6 и 12 часов это \frac{72}{18} = 4. Формулу полезно знать, но вывод через производительности надёжнее, если участников больше двух.

Где встречаются задачи на работу

Задачи на работу — это текстовые задачи о совместном выполнении заказа: в ОГЭ они бывают в задании 21 (2 балла, развёрнутое решение), в базовом ЕГЭ — в задании 20, в профильном — в задании 11 (в 2026 году — № 10).

Спецификация профильного ЕГЭ 2027 года описывает задание 11 как текстовую задачу с кратким ответом, оцениваемую 1 баллом^[1]. Сюжет может быть любым — от труб до операторов колл-центра, но математическая модель одна и та же. Разборы конкретных номеров живут на отдельных страницах: задание 11 профильного ЕГЭ и текстовая задача ОГЭ. Здесь собрана общая теория совместной работы. Демоверсия ФИПИ показывает формат ответа: одно число без единиц измерения.

По Федеральной образовательной программе основного общего образования такие задачи входят в курс алгебры 8–9 классов, поэтому на ОГЭ требуется умение составить и решить дробно-рациональное уравнение, а на ЕГЭ — сделать это быстро и без ошибок в арифметике.

Производительность и формула работы

Производительность — это часть работы, выполненная за единицу времени. Её связывает с объёмом работы $A$ и временем $t$ формула $A = p \cdot t$ , полностью аналогичная формуле пути $s = v \cdot t$ .

Если мастер изготовил 120 деталей за 8 часов, его производительность $120 : 8 = 15$ деталей в час. Если же объём работы не задан числом («заполнить бассейн», «напечатать тираж»), его принимают за 1. Тогда труба, заполняющая бассейн за 6 часов, имеет производительность $\frac16$ бассейна в час. Кодификатор ФИПИ относит такие сюжеты к умению решать текстовые задачи разных типов. Этот приём и составляет суть метода: работа становится единицей, производительность — дробью, а время — обратной величиной.

Ситуация	Производительность	Время на всю работу
Один участник, работа за $a$ ч	$\frac{1}{a}$	$a$
Двое работают вместе	$\frac{1}{a} + \frac{1}{b}$	$\frac{ab}{a + b}$
Труба наполняет, другая сливает	$\frac{1}{a} - \frac{1}{b}$ , если $b > a$	$\frac{ab}{b - a}$
Объём задан числом $A$	$\frac{A}{t}$	$\frac{A}{p}$
Трое вместе	$p_1 + p_2 + p_3$	$\frac{1}{p_1 + p_2 + p_3}$

Трубы и бассейн: вся работа как единица

Если две трубы наполняют бассейн за 6 и 12 часов, их производительности равны $\frac16$ и $\frac1{12}$ бассейна в час, а вместе — $\frac14$ . Значит, вдвоём они наполнят бассейн за 4 часа.

Первая труба наполняет резервуар за 6 часов, вторая — за 12 часов. За сколько часов наполнится резервуар, если открыть обе трубы одновременно?

Складываем производительности: $\frac16 + \frac1{12} = \frac{2 + 1}{12} = \frac14$ . Время — обратная величина: $1 : \frac14 = 4$ часа. Ответ: 4. Проверка здравым смыслом: вместе быстрее, чем самая быстрая труба (6 ч), но не быстрее, чем две трубы по 6 часов (3 ч). Ответ попадает в этот коридор.

Миф: «время совместной работы — это среднее арифметическое времён». Неверно: рабочие, которые справляются с заказом за 3 и 6 часов, вместе управятся не за 4,5 часа, а за 2. Складываются производительности, а не времена, и обратного правила не существует.

Наполнение и слив одновременно

Если одна труба наполняет бак, а другая одновременно сливает воду, производительность сливной трубы берут со знаком минус. Бак наполнится, только если наполняющая труба работает быстрее сливной.

Через первую трубу бак наполняется за 4 часа, через вторую полный бак опорожняется за 6 часов. Открыли обе трубы. За сколько часов наполнится пустой бак?

Производительность системы: $\frac14 - \frac16 = \frac{3 - 2}{12} = \frac1{12}$ бака в час. Время наполнения $12$ часов. Ответ: 12. Заметьте, что результат в 3 раза больше, чем при одной наполняющей трубе: слив «съедает» две трети её производительности. Если бы слив работал быстрее наполнения, бак не наполнился бы никогда, и задача не имела бы решения.

Задачи на работу с уравнением

Чтобы решить задачу, где время участников неизвестно, вводят переменную и составляют уравнение по совместной производительности. Обычно получается дробно-рациональное уравнение, сводящееся к квадратному.

Две бригады, работая вместе, выполняют ремонт за 12 дней. Первая бригада одна справилась бы на 10 дней быстрее второй. За сколько дней выполнит ремонт первая бригада, работая одна?

Пусть первая бригада справляется за $x$ дней, вторая — за $x + 10$ . Их производительности $\frac1x$ и $\frac{1}{x + 10}$ , а вместе они делают $\frac1{12}$ работы в день:

$\frac{1}{x} + \frac{1}{x + 10} = \frac{1}{12}.$

Приводим к общему знаменателю: $12(2x + 10) = x(x + 10)$ , откуда $x^2 - 14x - 120 = 0$ . Корни $20$ и $-6$ легко подобрать по теореме Виета: их сумма 14, произведение $-120$ . Отрицательное время не может быть ответом. Проверка: $\frac1{20} + \frac1{30} = \frac{5}{60} = \frac1{12}$ . Ответ: 20 дней. Технику преобразований можно освежить в материале про дробно-рациональные уравнения.

Первый рабочий за час делает на 3 детали больше второго и выполняет заказ из 180 деталей на 3 часа быстрее. Сколько деталей в час делает второй рабочий?

Здесь объём задан числом, поэтому единица не нужна. Пусть второй делает $x$ деталей в час: $\frac{180}{x} - \frac{180}{x + 3} = 3$ . После упрощения $x^2 + 3x - 180 = 0$ , по теореме Виета корни $12$ и $-15$ , подходит положительный $x = 12$ . Проверка: $180 : 12 = 15$ ч и $180 : 15 = 12$ ч, разница 3 ч. Ответ: 12.

Три участника и работа по частям

Если в условии 3 участника или работа выполняется по этапам, план тот же, что в учебнике для двух участников: записать производительность каждого и сложить те, кто работает одновременно на данном этапе.

Три трубы попарно

Трубы A и B вместе наполняют бассейн за 6 ч, B и C — за 10 ч, A и C — за 7,5 ч. Сложив три равенства, получим удвоенную общую производительность: $\frac16 + \frac1{10} + \frac{2}{15} = \frac25$ . Значит, все три трубы вместе дают $\frac15$ бассейна в час и наполнят его за 5 ч. Ответ: 5.

Сначала один, потом вдвоём

Первый рабочий делает заказ за 10 ч, второй — за 15 ч. Первый проработал один 4 ч, затем к нему присоединился второй. Первый успел сделать $\frac{4}{10} = 0{,}4$ заказа, осталось $0{,}6$ . Вдвоём они делают $\frac1{10} + \frac1{15} = \frac16$ заказа в час, поэтому остаток займёт $0{,}6 : \frac16 = 3{,}6$ ч. Ответ: 3,6.

Миф: «если рабочих двое, работа всегда идёт вдвое быстрее». Это не подтверждается, как только производительности разные: при временах 5 ч и 20 ч вдвоём работа займёт 4 ч, а не 2,5. Вдвое быстрее выходит только у одинаковых участников.

Тренажёр задания 11 на этой странице

«Тренажёр · № 11 ЕГЭ профиль» вверху страницы генерирует бесконечные варианты текстовых задач: примерно половина — про две трубы и бассейн, остальные — про двух велосипедистов, где нужно составить уравнение по разнице во времени.

Введите ответ в поле «Ответ» и нажмите «Проверить»; кнопка «Решение» покажет расчёт, а «Следующая задача →» выдаст новый вариант. Задачи про велосипедистов решаются той же моделью: скорость играет роль производительности, путь — роль работы. Если они вызывают трудности, загляните в разбор задач на движение и скорость сближения. Решайте по 5–10 задач подряд: по исследованию Roediger и Karpicke, проверочное воспроизведение без подсказки лучше перечитывания разборов для долгого запоминания^[3].

Когда метод единицы не подходит

Принять работу за 1 удобно почти всегда, но есть 3 случая, когда это лишний шаг или прямая ошибка.

Если объём задан числом — 180 деталей или 300 страниц, — единица только запутает: работайте с реальными числами.
Если производительность меняется по ходу работы (каждый день на 2 детали больше), это уже арифметическая прогрессия, а не постоянная производительность.
Если в условии проценты от плана (выполнил 120% нормы), удобнее считать в долях плана, а не в единицах заказа.

Чего делать нельзя

Нельзя доверять ответу, который не прошёл проверку подстановкой: в задачах на совместную работу арифметика с дробями даёт много мест для ошибки.

Нельзя складывать времена участников вместо производительностей.
Нельзя брать производительность сливной трубы со знаком плюс.
Не следует оставлять в ответе отрицательный корень квадратного уравнения: время не может быть меньше нуля.
Не следует путать вопрос: «за сколько часов» и «сколько деталей в час» — это разные величины.
Не стоит переходить к десятичным дробям вроде $0{,}33$ вместо $\frac13$ : округление искажает ответ.
Не допускается в задании 21 ОГЭ записывать уравнение без пояснения, что обозначено переменной.

Источники

[1] ФИПИ. Спецификация контрольных измерительных материалов для проведения в 2027 году единого государственного экзамена по математике. Профильный уровень (проект). — М.: ФИПИ, 2026.

[2] Макарычев Ю. Н., Миндюк Н. Г., Нешков К. И., Суворова С. Б. Алгебра. 8 класс. — М.: Просвещение.

[3] Roediger H. L., Karpicke J. D. Test-enhanced learning: taking memory tests improves long-term retention // Psychological Science. 2006. Vol. 17, No. 3. P. 249–255.

[4] ФИПИ. Спецификация контрольных измерительных материалов для проведения в 2026 году основного государственного экзамена по математике. — М.: ФИПИ, 2025.

Вопросы и ответы

Почему работу принимают за единицу?

Потому что в условии обычно не сказано, сколько литров в бассейне или страниц в тираже. Ответ от этого числа не зависит, и единица — самый простой выбор. Можно взять и 12 или 60, если так удобнее делить.

Чем задачи на работу похожи на задачи про движение?

Модель одна: работа равна производительности, умноженной на время, как путь равен скорости, умноженной на время. Совместная работа соответствует движению навстречу, где скорости складываются.

Как быстро найти время двух труб вместе?

Используйте формулу $\frac{ab}{a + b}$ : для 6 и 12 часов это $\frac{72}{18} = 4$ . Формулу полезно знать, но вывод через производительности надёжнее, если участников больше двух.

Что делать, если ответ получился бесконечной дробью?

В бланк можно записать только целое число или конечную десятичную дробь. Если вышло $\frac{20}{3}$ , перечитайте вопрос: возможно, ответ нужен в минутах (400 минут) или в расчёте есть ошибка.

Нужна ли таблица в задачах на работу?

Для задач с уравнением — да, по образцу учебника Макарычева^[2]: столбцы «работа», «производительность», «время». Для двух труб без неизвестных хватает одной строки вычислений.

Сколько баллов дают за такую задачу?

В базовом ЕГЭ и первой части профильного — 1 балл за верный ответ. В ОГЭ текстовая задача 21 оценивается до 2 баллов, причём по спецификации ФИПИ важно обоснованное решение^[4].