Задание 21 ОГЭ по математике: текстовая задача с решением

Что проверяет задание 21 и как его оценивают

Задание 21 — это задача повышенного уровня, где главное умение — перевести условие на язык уравнения. По спецификации ФИПИ^[1] за неё можно получить до 2 первичных баллов, как и за каждое из заданий 20–25.

Критерии оценивания своими словами выглядят так. 2 балла — модель составлена верно, решение доведено до правильного ответа и обосновано. 1 балл — уравнение составлено верно, но в вычислениях допущена ошибка, и с её учётом решение доведено до конца. 0 баллов — во всех остальных случаях, в том числе когда записан только ответ, даже правильный.

Отсюда следует простое правило: самое ценное в решении — правильно составленное уравнение. Если модель верна, даже при арифметической ошибке остаётся шанс на 1 балл. Если же скорость перепутана со временем, никакие вычисления не спасут. Демоверсия ФИПИ^[2] показывает, что формат задачи устойчив: один сюжет, одна неизвестная величина, ответ — число с единицами измерения.

Четыре сюжета текстовых задач

Почти все задачи этого номера относятся к 4 сюжетам: движение, работа, смеси и проценты. В каждом действует одна формула-связка, а уравнение получается из условия «равно», «больше на», «меньше в».

Сюжет	Формула-связка	Где обычно ловушка
Движение (в том числе по реке)	$s = v t$ ; по течению $v + u$ , против течения $v - u$	время стоянки, разные единицы (минуты и часы)
Совместная работа	работа $=$ производительность $\times$ время; весь объём принимают за 1	складывают время вместо производительностей
Смеси и сплавы	масса вещества $=$ масса смеси $\times$ концентрация	складывают проценты вместо масс вещества
Проценты	увеличение на $p\%$ — умножение на $1 + \frac{p}{100}$	последовательные изменения считают от исходной величины

Подробная теория по каждому сюжету вынесена в отдельные материалы: задачи на движение, задачи на совместную работу и задачи на смеси и сплавы. На этой странице — экзаменационная техника: как составить модель и оформить решение так, чтобы не потерять баллы.

Универсальный приём для всех сюжетов — таблица из трёх столбцов. Для движения это скорость, время и расстояние, для работы — производительность, время и объём, для смеси — масса, концентрация и масса вещества. Одну клетку заполняют переменной, две другие выражают через неё, а уравнение берут из той фразы условия, которая ещё не использована. Этот способ описан ещё у Пойа^[3]: сначала понять, что неизвестно и что дано, и только потом искать связь.

Уравнение в таких задачах почти всегда сводится к квадратному, поэтому пригодятся формула корней и теорема Виета: по ней удобно быстро проверить найденные корни. Учебник алгебры Макарычева для 8 класса вводит задачи на составление дробно-рациональных уравнений сразу после квадратных уравнений, и уровень экзаменационных задач почти такой же. Отличие одно — на экзамене нельзя пропустить отбор корней по смыслу: отрицательная скорость или время не может войти в ответ.

Разбор трёх задач с полным решением

Чтобы увидеть, как таблица превращается в уравнение, разберём 3 задачи: движение по реке, совместную работу и смесь с «сухим веществом». Решения записаны в том объёме, который ожидают эксперты.

Задача 1. Теплоход по реке

Теплоход проходит по течению реки до пункта назначения 216 км и после стоянки возвращается в пункт отправления. Скорость течения равна 3 км/ч, стоянка длится 5 часов, а в пункт отправления теплоход возвращается через 35 часов после отплытия. Найдите скорость теплохода в неподвижной воде.

Пусть $v$ км/ч — скорость теплохода в неподвижной воде, $v > 3$ . Время в пути без стоянки $35 - 5 = 30$ ч. По течению теплоход идёт $\frac{216}{v + 3}$ ч, против — $\frac{216}{v - 3}$ ч. Уравнение: $\frac{216}{v + 3} + \frac{216}{v - 3} = 30$ . Приводим к общему знаменателю: $432v = 30(v^2 - 9)$ , то есть $5v^2 - 72v - 45 = 0$ . $D = 72^2 + 4 \cdot 5 \cdot 45 = 6084 = 78^2$ , $v = \frac{72 + 78}{10} = 15$ ; второй корень отрицателен и не подходит. Ответ: 15 км/ч. Проверка: $216 : 18 + 216 : 12 = 12 + 18 = 30$ — сходится.

Задача 2. Двое рабочих

Двое рабочих, работая вместе, выполняют заказ за 12 дней. Первый рабочий, работая отдельно, выполняет этот заказ на 10 дней быстрее второго. За сколько дней выполнит заказ первый рабочий, работая один?

Весь заказ примем за 1. Пусть первый выполняет его за $t$ дней, тогда второй — за $t + 10$ . Производительности $\frac1t$ и $\frac{1}{t + 10}$ , вместе $\frac{1}{12}$ . Уравнение: $\frac1t + \frac{1}{t + 10} = \frac{1}{12}$ , откуда $12(2t + 10) = t(t + 10)$ , $t^2 - 14t - 120 = 0$ . $D = 196 + 480 = 676 = 26^2$ , $t = 20$ или $t = -6$ . Время не может быть отрицательным. Ответ: 20 дней.

Задача 3. Сушёные фрукты

Свежие фрукты содержат 80% воды, а высушенные — 28%. Сколько килограммов высушенных фруктов получится из 288 кг свежих?

При сушке испаряется только вода, а масса сухого вещества не меняется. В свежих фруктах сухого вещества $20\%$ : $0{,}2 \cdot 288 = 57{,}6$ кг. В высушенных оно составляет $100\% - 28\% = 72\%$ . Пусть масса высушенных фруктов $x$ кг: $0{,}72x = 57{,}6$ , $x = 80$ . Ответ: 80 кг. Ключ к задаче — следить не за водой, а за тем, что сохраняется.

Миф: «средняя скорость — это среднее арифметическое скоростей». Это неверно: средняя скорость равна всему пути, делённому на всё время. При скоростях 60 и 90 км/ч на равных половинах пути средняя скорость равна 72 км/ч, а не 75.

Как оформить решение на 2 балла

Решение задания 21 записывается в бланк ответов № 2 в 4 шага: обозначение, уравнение, решение с отбором корней, ответ с единицами. Обычно хватает 6–10 строк.

Обозначение. «Пусть $v$ км/ч — скорость теплохода в неподвижной воде» — с единицами и ограничением, например $v > 3$ .
Выражения. Время, производительность или масса вещества через переменную — можно таблицей.
Уравнение. Записать его и указать, из какого условия оно следует.
Решение и отбор. Корень, не подходящий по смыслу, отбросить с пояснением: «скорость не может быть отрицательной».
Ответ. Число с единицами измерения: «Ответ: 15 км/ч».

Подробнее о том, как эксперты читают вторую часть, — в материале как оформлять задания с развёрнутым ответом. Если трудности возникают на этапе решения квадратного уравнения, сначала стоит закрепить алгебру из задания 20.

Задачи с проверкой и генератор

Блок «Задачи с проверкой» вверху страницы — 8 авторских задач в формате задания 21 на все 4 сюжета. Ответ вводится числом без единиц, а кнопка «Решение» показывает уравнение и ход вычислений.

Работайте как на экзамене: сначала составьте таблицу и уравнение на бумаге, решите его и только потом нажимайте «Проверить». Ниже, перед списком источников, есть ещё и генератор задач на движение по воде с бесконечными вариантами: на нём удобно отработать сюжет с течением до автоматизма. Решение задач без подсказки закрепляет навык лучше, чем чтение готовых разборов, — это показало исследование Roediger и Karpicke^[4].

Типичные ошибки в текстовых задачах

Ошибки здесь чаще всего связаны с моделью, а не с арифметикой. Вот 5 самых частых.

Разные единицы. Минуты и часы в одном уравнении: 20 минут — это $\frac13$ часа, а не 0,2.
Сложили время. В задачах на работу складывают производительности, а не время выполнения.
Сложили проценты. В смесях складывают массы вещества, а не концентрации.
Не отброшен корень. Отрицательная скорость или время в ответе — потеря балла.
Ответ не на тот вопрос. Нашли время первой трубы, а спрашивали про вторую.

Миф: «задачу можно решить подбором, и это засчитают». Подбор ответа без обоснования единственности не бывает полноценным решением: эксперт не увидит, почему других ответов нет. Безопаснее всегда составлять уравнение.

Когда задание 21 не подходит для старта

Не каждому ученику этот номер даёт баллы быстрее всего: иногда сначала нужно подтянуть базу.

Если квадратное уравнение решается с ошибками чаще 2 раз из 10, начните с задания 9 и задания 20.
Если цель — отметка «3», этот номер не обязателен: 8 баллов набираются в первой части с учётом 2 геометрических.
Если на составление уравнения уходит больше 15 минут, отработайте сначала таблицы на 10–15 простых задачах.
Если путаются проценты в 3 задачах из 5, вернитесь к теме проценты и доли.

Чего делать нельзя

Нельзя терять баллы на оформлении: эксперт оценивает только то, что записано в бланке № 2.

Нельзя записывать один ответ без решения — он не засчитывается.
Нельзя оставлять в ответе корень, не подходящий по смыслу задачи.
Не следует вводить переменную без пояснения, что она означает и в каких единицах.
Не следует смешивать в одном уравнении минуты и часы, метры и километры.
Не стоит решать подбором без доказательства, что других решений нет.
Не допускается использовать калькулятор: все вычисления должны быть видны в бланке.

Загружаем тренажёр…

Источники

[1] ФИПИ. Спецификация контрольных измерительных материалов для проведения в 2026 году основного государственного экзамена по математике. — М.: ФИПИ, 2025.

[2] ФИПИ. Демонстрационный вариант контрольных измерительных материалов основного государственного экзамена 2027 года по математике (проект). — М.: ФИПИ, 2026.

[3] Пойа Д. Как решать задачу. — М.: Учпедгиз, 1959.

[4] Roediger H. L., Karpicke J. D. Test-enhanced learning: taking memory tests improves long-term retention // Psychological Science. 2006. Vol. 17, No. 3. P. 249–255.

[5] Макарычев Ю. Н., Миндюк Н. Г., Нешков К. И., Суворова С. Б. Алгебра. 8 класс. — М.: Просвещение.

Вопросы и ответы

Сколько баллов даёт задание 21 ОГЭ?

До 2 первичных баллов: 2 — за верную модель и верный ответ с обоснованием, 1 — за верную модель с вычислительной ошибкой.

Нужно ли писать единицы измерения в ответе?

Во второй части — да, это часть понятного ответа: «Ответ: 15 км/ч». В первой части единицы, наоборот, не пишут.

Можно ли решать системой, а не одним уравнением?

Да, критерии допускают любой верный способ. Система с двумя переменными иногда даже понятнее, если в условии две неизвестные величины.

Нужно ли делать проверку ответа?

Формально не обязательно, но короткая проверка по условию за 1 минуту часто ловит ошибку в модели, которую не видно в вычислениях.

Где брать задачи для тренировки?

В открытом банке ФИПИ, в сборниках типовых вариантов и в учебнике алгебры Макарычева для 8 класса^[5], где задачи на составление дробно-рациональных уравнений разобраны с нуля.

Сколько времени тратить на этот номер?

Ориентир — 10–15 минут вместе с чистовой записью. Если модель не складывается за 15 минут, переходите к другим заданиям и возвращайтесь в конце.