Задание 23 ОГЭ по математике: геометрия на вычисление

Что проверяет задание 23 и как оценивается

Задание 23 — первая геометрическая задача второй части, повышенного уровня: ответ нужно не просто получить, а вывести из известных теорем. По спецификации ФИПИ за неё дают 2 первичных балла^[1].

Критерии оценивания устроены так. Ход решения верный, все шаги выполнены правильно, ответ верный — 2 балла. Ход решения верный, но допущена одна вычислительная ошибка или часть переходов не обоснована — 1 балл. Все остальные случаи — 0, в том числе верный ответ без решения: он не засчитывается.

Для итоговой отметки этот номер особенно ценен. Рекомендуемая шкала ФИПИ требует не менее 2 баллов за геометрию^[2], и полностью решённая задача 23 закрывает это условие сама. Для профильных классов ориентиры ещё выше — от 5 до 7 баллов по геометрии, и без второй части их не набрать.

Идея	Где встречается	Ключевой факт
Подобие треугольников	прямая, параллельная стороне; диагонали трапеции; высота к гипотенузе	отношение сходственных сторон равно $k$ , площадей — $k^2$
Тригонометрия	известен угол или его косинус, синус, тангенс	$\cos A = \frac{\text{прилежащий катет}}{\text{гипотенуза}}$
Площади	ромб, параллелограмм, трапеция, треугольник	$S = ah$ , $S = \frac{a + b}{2} h$ , $S = \frac12 ab \sin C$
Окружность	касательная и секущая, вписанный угол	$AB^2 = AC \cdot AD$ ; вписанный угол — половина центрального
Биссектрисы в трапеции и параллелограмме	углы при боковой стороне	угол между биссектрисами равен $90^\circ$

По содержанию задание 23 продолжает первую часть: те же треугольники, окружности и четырёхугольники, что в номерах 15–17, только шагов не один, а три-четыре. Поэтому хорошая подготовка к первой части — уже половина подготовки ко второй. Разница в другом: в первой части проверяется лишь число в бланке, а здесь каждое утверждение должно опираться на теорему, свойство или признак. Удобно заранее составить себе список из 15–20 фактов, на которые чаще всего приходится ссылаться, и проговаривать их название при решении каждой тренировочной задачи.

Ещё одна особенность — чертёж. В условии задания 23 его обычно нет, и рисовать приходится самому. Крупный рисунок на треть листа с подписанными вершинами экономит больше времени, чем кажется: на маленьком чертеже легко перепутать накрест лежащие и соответственные углы.

Разбор 1: подобие в трапеции

Подобие — это главный инструмент номера: треугольники с параллельными сторонами подобны по двум углам, а коэффициент подобия переносит известные длины на неизвестные.

Прямая, параллельная основаниям трапеции $ABCD$ , проходит через точку пересечения диагоналей $O$ и пересекает боковые стороны $AB$ и $CD$ в точках $E$ и $F$ . Найдите $EF$ , если $AD = 15$ , $BC = 10$ .

Треугольники $AOD$ и $COB$ подобны по двум углам: $\angle OAD = \angle OCB$ и $\angle ODA = \angle OBC$ как накрест лежащие при $AD \parallel BC$ . Поэтому $\frac{AO}{OC} = \frac{AD}{BC} = \frac{15}{10} = \frac32$ , откуда $\frac{AO}{AC} = \frac35$ .

Треугольники $AEO$ и $ABC$ подобны: угол $A$ общий, $EO \parallel BC$ . Значит, $EO = BC \cdot \frac{AO}{AC} = 10 \cdot \frac35 = 6$ . Так же из подобия треугольников $DOF$ и $DBC$ получаем $OF = 6$ . Итого $EF = 12$ .

Ответ: 12. Заметим общее правило: такой отрезок равен $\frac{2ab}{a + b}$ , где $a$ и $b$ — основания. Но на экзамене формулу без вывода использовать не следует — эксперт может снизить балл за «неизвестный факт». Признаки подобия подробно разобраны в материале подобие треугольников и теорема Фалеса.

Разбор 2: площадь ромба через высоту

Если в условии есть высота, делящая сторону на части, решение почти всегда идёт через теорему Пифагора — она даёт недостающий отрезок за один шаг.

Высота $BH$ ромба $ABCD$ делит сторону $AD$ на отрезки $AH = 5$ и $HD = 8$ . Найдите площадь ромба.

Сторона ромба $AD = AH + HD = 13$ , а все стороны ромба равны, поэтому $AB = 13$ . Треугольник $ABH$ прямоугольный, по теореме Пифагора $BH = \sqrt{AB^2 - AH^2} = \sqrt{169 - 25} = 12$ .

Площадь ромба как параллелограмма равна произведению стороны на высоту: $S = AD \cdot BH = 13 \cdot 12 = 156$ . Ответ: 156.

Типичная ловушка — принять $HD = 8$ за сторону или взять $AB = 5$ . Подпишите на чертеже все данные, и такая ошибка не случится. Полезная самопроверка: катет $BH = 12$ меньше гипотенузы $AB = 13$ , а тройка 5, 12, 13 — пифагорова.

Миф: «если ответ совпал с ответом в сборнике, 2 балла гарантированы». Это неверно: критерии оценивания проверяют обоснование. Переход «треугольники подобны» без указания признака — уже повод снять балл, а ответа без решения не существует как засчитываемого результата.

Разбор 3: вписанная окружность в трапеции

Чтобы решить задачу о вписанной окружности, достаточно двух фактов: суммы противоположных сторон описанного четырёхугольника равны, а диаметр вписанной окружности равен высоте трапеции.

В равнобедренную трапецию с основаниями 4 и 16 вписана окружность. Найдите её радиус.

По свойству описанного четырёхугольника сумма оснований равна сумме боковых сторон: $4 + 16 = 2c$ , откуда боковая сторона $c = 10$ . Опустим высоту из вершины меньшего основания: она отсекает от большего основания отрезок $\frac{16 - 4}{2} = 6$ .

По теореме Пифагора высота $h = \sqrt{10^2 - 6^2} = 8$ . Окружность касается обоих оснований, поэтому её диаметр равен высоте, а радиус $r = 4$ . Ответ: 4.

Такие факты входят в программу учебника Атанасяна для 7–9 классов^[3], и ссылаться на них в решении можно без доказательства. Повторить их удобно по теме вписанная и описанная окружности.

Как оформить решение на 2 балла

Решение записывают в бланк ответов № 2: чертёж, затем цепочка равенств, где у каждого шага — ссылка на теорему или свойство, и в конце строка «Ответ:». Объём — 6–12 строк.

Чертёж. Подпишите вершины так же, как в условии, отметьте равные элементы и данные длины.
Ключевое утверждение. Например: « $\triangle AOD \sim \triangle COB$ по двум углам, так как…» — признак указывают явно.
Вычисления. Каждое равенство — с пояснением, откуда оно: «по теореме Пифагора», «как накрест лежащие».
Ответ. Одно число или выражение; единицы измерения не обязательны.

Подробные требования ко всей второй части разобраны в материале оформление заданий с развёрнутым ответом. Если не хватает уверенности в тригонометрии, повторите синус, косинус и тангенс острого угла — на них держится заметная часть задач номера.

Задачи с проверкой

Блок «Задачи с проверкой» вверху страницы — это 8 собственных задач в формате номера: подобие, высота к гипотенузе, диагонали трапеции, касательная и секущая, биссектрисы, вписанные углы.

Работайте так же, как на экзамене: сначала чертёж и решение на бумаге с обоснованием, затем ввод числа в поле «Ответ» и кнопка «Проверить». Кнопка «Решение» показывает краткий разбор; если ваш путь другой, но обоснован, — он тоже засчитывается по критериям. Задачи идут по кругу, поэтому через несколько дней их полезно прорешать повторно: решение по памяти без подсказки закрепляет материал прочнее, чем перечитывание готовых разборов.

Миф: «в этом номере бывают только задачи на подобие». Не подтверждается: в типовых вариантах под редакцией Ященко^[4] встречаются и площади, и окружности, и тригонометрия. Одного универсального приёма не бывает, нужен набор из пяти идей, собранных в таблице выше.

Типичные ошибки и проверка ответа

Если ответ получился «некрасивым» — длинной дробью или корнем из большого числа, — это повод перепроверить решение: в задачах ОГЭ числа обычно подобраны удобными.

Перепутаны сходственные стороны. В подобных треугольниках сравнивают стороны, лежащие против равных углов, а не стороны с одинаковыми буквами.
Отношение площадей как отношение сторон. Площади подобных фигур относятся как $k^2$ , а не как $k$ .
Признак не назван. «Треугольники подобны» без «по двум углам» — неполное обоснование.
Чертёж как доказательство. «Видно, что угол прямой» — не аргумент, нужно доказать.

Как проверить ответ: сравните его с чертежом и неравенством треугольника. Отрезок внутри трапеции, параллельный основаниям, не может быть больше большего основания, катет не может быть длиннее гипотенузы. В первом разборе $EF = 12$ лежит между основаниями 10 и 15 — правдоподобно.

Когда этот номер не подходит для старта

Не всегда задача 23 — лучший способ добрать баллы: иногда выгоднее сначала закрыть первую часть.

Если в геометрии первой части (задания 15–19) решено меньше 3 из 5, сначала закройте их: каждое даёт 1 балл быстрее.
Если признаки подобия и теорема Пифагора не уверенные, за 2 недели до экзамена их не выучить до уровня обоснования.
Если решение одной задачи занимает больше 25 минут, лучше перейти к заданию 24 или вернуться к первой части.
Если цель — «3», для неё достаточно 8 баллов, из них 2 по геометрии из первой части.

Чего делать нельзя

Нельзя терять балл из-за формальностей: эксперт оценивает текст решения, а не ход мыслей в голове.

Нельзя писать ответ без решения — он не засчитывается даже при верном числе.
Нельзя измерять отрезки линейкой на чертеже из условия: рисунок в КИМ не обязан быть точным.
Не следует использовать формулы, которых нет в школьном учебнике, без вывода.
Не следует оставлять в бланке зачёркнутые черновые попытки рядом с чистовым решением.
Не стоит пропускать чертёж: без него эксперту сложно понять обозначения.
Не допускается пользоваться калькулятором — все вычисления ведутся вручную.

Источники

[1] ФИПИ. Спецификация контрольных измерительных материалов для проведения в 2026 году основного государственного экзамена по математике. — М.: ФИПИ, 2025.

[2] ФИПИ. Рекомендации по использованию и интерпретации результатов выполнения экзаменационных работ для проведения ГИА по образовательным программам основного общего образования в 2026 году (приложение к письму Рособрнадзора от 25.02.2026 № 02-20).

[3] Атанасян Л. С., Бутузов В. Ф., Кадомцев С. Б. и др. Геометрия. 7–9 классы. — М.: Просвещение.

[4] Ященко И. В. (ред.). ОГЭ. Математика. Типовые экзаменационные варианты. — М.: Национальное образование.

Вопросы и ответы

Сколько баллов даёт задание 23 ОГЭ?

До 2 первичных баллов. Один балл ставят при верном ходе решения с одной вычислительной ошибкой или неполным обоснованием.

Можно ли решать координатным методом?

Да, критерии допускают любой верный и обоснованный способ. Но в большинстве задач номера подобие или теорема Пифагора дают решение в 3–4 строки, а координаты — в 10.

Нужно ли доказывать теорему о касательной и секущей?

Нет, если она есть в школьном учебнике: на неё достаточно сослаться по названию. Доказывать нужно только факты, которых в учебнике нет.

Какие справочные материалы выдают на экзамене?

Вместе с вариантом выдают справочные материалы с основными формулами, в том числе площадей. Признаки подобия и свойства фигур в них не входят — их нужно знать самому.

Что делать, если чертёж в условии не дан?

Нарисовать его самостоятельно, крупно и с подписями. Чертёж не обязан быть точным, но должен соответствовать условию: параллельные стороны — параллельны, прямой угол — похож на прямой.

Сколько времени отводить на геометрию второй части?

Ориентир — 15–20 минут на эту задачу вместе с оформлением. Всего на экзамен даётся 3 часа 55 минут, так что время на неё найдётся после первой части.