Вписанная и описанная окружности треугольника и четырёхугольника

Вписанная окружность треугольника

Вписанная окружность — это окружность, которая касается всех трёх сторон треугольника. Её центр равноудалён от сторон, поэтому лежит на каждой биссектрисе и совпадает с точкой их пересечения.

В учебнике Атанасяна^[1] существование такой окружности доказывается как теорема: биссектрисы любого треугольника пересекаются в одной точке, и эта точка удалена от всех сторон на одно и то же расстояние $r$. Значит, вписанная окружность есть у каждого треугольника, и она единственная. Свойства самих биссектрис разобраны в статье про медиану, биссектрису и высоту.

Радиус вписанной окружности связан с площадью. Соединим центр с вершинами: треугольник распадётся на три треугольника с общей высотой $r$ и основаниями $a$, $b$, $c$. Складывая их площади, получаем $S = \frac12 (a + b + c) r = pr$, откуда

$$r = \frac{S}{p}.$$

Для треугольника со сторонами 5, 5 и 6 площадь равна 12, полупериметр 8, поэтому $r = 12 : 8 = 1{,}5$. Ещё одно полезное следствие: точки касания делят стороны на отрезки, и отрезок от вершины $A$ до точки касания равен $p - a$, где $a$ — сторона, противолежащая $A$. Это прямое следствие равенства отрезков касательных из одной точки.

Описанная окружность треугольника

Описанная окружность — это окружность, проходящая через все 3 вершины треугольника. Её центр равноудалён от вершин и потому лежит на пересечении серединных перпендикуляров к сторонам.

Около любого треугольника можно описать окружность, и только одну. Положение центра зависит от вида треугольника: у остроугольного он внутри, у прямоугольного — в середине гипотенузы, у тупоугольного — снаружи. Это легко проверить по рисунку и полезно для самопроверки.

Почему перпендикуляры сходятся в одной точке? Любая точка серединного перпендикуляра к отрезку $AB$ одинаково удалена от $A$ и $B$. Точка пересечения двух таких перпендикуляров — к $AB$ и к $BC$ — равноудалена от всех трёх вершин, а значит, лежит и на третьем перпендикуляре, к $AC$. Так доказывается теорема о пересечении серединных перпендикуляров, и это же рассуждение объясняет, почему описанная окружность единственна.

Радиус описанной окружности находят двумя способами. Через сторону и противолежащий угол — по теореме синусов: $R = \frac{a}{2\sin A}$. Через три стороны и площадь —

$$R = \frac{abc}{4S}.$$

Для того же треугольника 5, 5, 6 получаем $R = \frac{5 \cdot 5 \cdot 6}{4 \cdot 12} = \frac{150}{48} = 3{,}125$. Первая формула удобнее, когда известен угол: при стороне 10 и противолежащем угле $30^\circ$ описанная окружность имеет радиус $10 : (2 \cdot 0{,}5) = 10$. Вывод формулы — в статье теорема синусов и косинусов.

Миф: «центр описанной окружности всегда лежит внутри треугольника». Это неверно: у тупоугольного треугольника он лежит снаружи, за большей стороной. Внутри треугольника всегда лежит только центр вписанной окружности.

Прямоугольный и равносторонний треугольник

Для 2 частых видов треугольников радиусы находятся без площади: у прямоугольного $R$ — половина гипотенузы, у равностороннего оба радиуса выражаются через сторону.

В прямоугольном треугольнике прямой угол опирается на диаметр описанной окружности, поэтому $R = \frac{c}{2}$. Для вписанной окружности работает формула $r = \frac{a + b - c}{2}$: она получается из равенства отрезков касательных. При катетах 9 и 12 и гипотенузе 15 имеем $R = 7{,}5$ и $r = \frac{9 + 12 - 15}{2} = 3$.

В равностороннем треугольнике центры вписанной и описанной окружностей совпадают с точкой пересечения медиан, которая делит каждую медиану в отношении $2 : 1$. Поэтому $R = 2r$. При стороне 12 высота равна $6\sqrt3$, $r = 2\sqrt3$, $R = 4\sqrt3$. Равносторонний треугольник — простейший правильный многоугольник; общие формулы для них собраны в статье про правильные многоугольники.

Вписанный и описанный четырёхугольник

В отличие от треугольника, не у каждого четырёхугольника есть вписанная и описанная окружности. Для каждой из них есть 1 простое условие, и оба условия — теоремы школьного курса.

Окружность можно описать около выпуклого четырёхугольника тогда и только тогда, когда сумма его противоположных углов равна $180^\circ$. Это следует из свойства вписанных углов, опирающихся на одну хорду с разных сторон, — подробнее в статье про вписанные углы и вписанный четырёхугольник. Если в таком четырёхугольнике $\angle A = 75^\circ$, то $\angle C = 105^\circ$.

Окружность можно вписать в выпуклый четырёхугольник тогда и только тогда, когда суммы его противоположных сторон равны: $a + c = b + d$. Доказательство снова опирается на равные отрезки касательных: каждая сторона складывается из двух таких отрезков, и в обеих суммах участвуют все восемь. Для описанного четырёхугольника, как и для треугольника, верна формула $S = pr$.

Трапеция, ромб, прямоугольник и квадрат

Если применить два условия к частным видам четырёхугольников, получится короткий список: около трапеции окружность описывается, только если она равнобедренная, а в ромб окружность вписывается всегда.

Трапеция с вписанной окружностью имеет сумму оснований, равную сумме боковых сторон. Высота такой трапеции равна диаметру, $h = 2r$, а средняя линия равна полусумме боковых сторон. В ромбе центр вписанной окружности — точка пересечения диагоналей, а $r$ равен половине высоты: у ромба со стороной 10 и углом $30^\circ$ высота 5, радиус 2,5.

Прямоугольник всегда вписан в окружность с центром в точке пересечения диагоналей и радиусом, равным половине диагонали. Вписать окружность в прямоугольник можно, только если он квадрат. Квадрат — единственный четырёхугольник, у которого есть обе окружности с общим центром.

Разбор задач

Чтобы найти радиус, сначала определите вид фигуры — для прямоугольного и равностороннего треугольника есть готовые формулы, для остальных нужны площадь и полупериметр. Ниже 3 типичные задачи.

Задача 1. Гипотенуза прямоугольного треугольника равна 10, радиус вписанной окружности равен 2. Найдите периметр треугольника.

Из формулы $r = \frac{a + b - c}{2}$ получаем $a + b = c + 2r = 10 + 4 = 14$. Периметр $14 + 10 = 24$. Проверка: катеты 6 и 8 дают гипотенузу 10 и $r = \frac{6 + 8 - 10}{2} = 2$. Ответ: 24.

Задача 2. В равнобедренную трапецию с основаниями 2 и 8 вписана окружность. Найдите её радиус.

Сумма боковых сторон равна сумме оснований, 10, значит, каждая боковая сторона 5. Проекция боковой стороны на большее основание $\frac{8 - 2}{2} = 3$, высота $\sqrt{25 - 9} = 4$, радиус $4 : 2 = 2$. Ответ: 2.

Задача 3. Около треугольника $ABC$ описана окружность радиуса 7, угол $C$ равен $30^\circ$. Найдите сторону $AB$.

По теореме синусов $AB = 2R \sin C = 2 \cdot 7 \cdot 0{,}5 = 7$. Ответ: 7.

Для самопроверки пригодится неравенство Эйлера: у любого треугольника $R \ge 2r$, а равенство бывает только у равностороннего. Для треугольника 5, 5, 6 получаем $3{,}125 \ge 3$, для треугольника 9, 12, 15 — $7{,}5 \ge 6$. Если в вашем решении радиус описанной вышел меньше удвоенного радиуса вписанной, где-то перепутаны формулы — чаще всего периметр подставлен вместо полупериметра.

Задачи с проверкой

Блок «Задачи с проверкой» в начале страницы — это 10 задач на радиусы, условия для четырёхугольников и трапецию с вписанной окружностью. Задачи идут по кругу.

Решайте на бумаге, вводите число в поле «Ответ» и нажимайте «Проверить». Кнопка «Решение» покажет разбор, «Следующая задача →» — новую задачу, а счётчик «решено X из Y» и полоска последних ответов — ваш прогресс. По кодификатору ОГЭ^[2] такие задачи входят в тему «Окружность»; в варианте они встречаются в задании 16 ОГЭ и в геометрических задачах второй части.

Когда формула радиуса не подходит

Не каждая формула из таблицы применима к любой фигуре — у части из них есть жёсткие условия.

• Если треугольник не прямоугольный, формулы $R = \frac{c}{2}$ и $r = \frac{a + b - c}{2}$ неверны: нужны площадь и 3 стороны.
• Если у четырёхугольника 2 суммы противоположных сторон различаются хоть на сколько-нибудь, окружность в него не вписывается, и формула $S = pr$ неприменима.
• Если сумма противоположных углов не равна 180°, описанной окружности нет, и искать её радиус бессмысленно.
• Если трапеция не равнобедренная, около неё нельзя описать окружность, даже когда 2 её угла кажутся равными на рисунке.

Чего делать нельзя

Нельзя путать, через какие точки строятся центры: биссектрисы дают одну окружность, серединные перпендикуляры — другую.

• Нельзя искать центр вписанной окружности на пересечении медиан или высот — это верно только для равностороннего треугольника.
• Нельзя подставлять периметр вместо полупериметра в формулу $r = \frac{S}{p}$: ответ уменьшится вдвое.
• Не следует считать, что у любого ромба есть описанная окружность.
• Не следует путать радиус и диаметр в ответе: в прямоугольном треугольнике гипотенуза — диаметр, а не радиус.
• Не стоит записывать в бланк ответ с корнем: если вышло $2\sqrt3$, перечитайте, что именно просят найти.

Миф: «в любой четырёхугольник можно вписать окружность, если он выпуклый». Такого правила не существует: прямоугольник $3 \times 5$ выпуклый, но суммы его противоположных сторон, 6 и 10, не равны, и окружность в него не вписывается.

Источники

[1] Атанасян Л. С., Бутузов В. Ф., Кадомцев С. Б. и др. Геометрия. 7–9 классы. — М.: Просвещение.

[2] ФИПИ. Кодификатор проверяемых требований к результатам освоения основной образовательной программы основного общего образования и элементов содержания для проведения ОГЭ по математике (проект, 2027). — М.: ФИПИ, 2026.

[3] ФИПИ. Спецификация контрольных измерительных материалов для проведения в 2027 году единого государственного экзамена по математике. Профильный уровень (проект). — М.: ФИПИ, 2026.

[4] Прасолов В. В. Задачи по планиметрии. — М.: МЦНМО.

Вопросы и ответы

Всегда ли существует вписанная окружность у треугольника?

Да, у любого треугольника она есть и единственна, как и описанная. Для четырёхугольников это уже не так: нужны условия на стороны или углы.

Как запомнить, где какой центр?

Вписанная окружность касается сторон, значит, центр равноудалён от сторон — это биссектрисы. Описанная проходит через вершины, центр равноудалён от вершин — это серединные перпендикуляры.

Нужны ли эти темы на профильном ЕГЭ?

Да. По проекту спецификации ЕГЭ 2027 года^[3] планиметрия есть в задании 1 первой части и в задании 18 второй части (в 2026 году — № 17), и радиусы окружностей там встречаются постоянно.

Чему равно отношение радиусов в равностороннем треугольнике?

$R : r = 2 : 1$, потому что оба центра совпадают с точкой пересечения медиан, а она делит медиану в отношении $2 : 1$.

Можно ли вписать окружность в параллелограмм?

Только если он ромб: у параллелограмма противоположные стороны равны, и условие $a + c = b + d$ превращается в $2a = 2b$.

Где взять задачи сложнее экзаменационных?

В сборнике Прасолова^[4] есть разделы о вписанных и описанных окружностях, включая задачи на расстояние между их центрами.