Правильные многоугольники: от треугольника до шестиугольника

Что такое правильный многоугольник

Правильный многоугольник — это выпуклый многоугольник, у которого все стороны равны и все углы равны. Нужны оба условия сразу: одного равенства сторон или одного равенства углов недостаточно.

Проще всего увидеть это на четырёхугольниках. У ромба все стороны равны, но углы в общем случае разные — он не правильный. У прямоугольника все углы по $90^\circ$, но стороны бывают разной длины — тоже не правильный. И только квадрат удовлетворяет обоим условиям. Среди треугольников правильным является равносторонний: у него равенство сторон автоматически влечёт равенство углов, по $60^\circ$.

В учебнике Атанасяна^[1] правильные многоугольники изучают в 9 классе вместе с длиной окружности и площадью круга. Там доказывается ключевая теорема: около любого правильного многоугольника можно описать окружность, и в любой правильный многоугольник можно вписать окружность, причём центры этих окружностей совпадают. Эту общую точку называют центром правильного многоугольника.

Миф: «многоугольник с равными сторонами всегда правильный». Это неверно уже для четырёх сторон: ромб с углом $60^\circ$ имеет четыре равные стороны, но его углы $60^\circ$ и $120^\circ$. Правильными бывают только фигуры, где равны и стороны, и углы.

Углы правильного многоугольника

Сумма внутренних углов любого выпуклого $n$-угольника равна $180^\circ(n - 2)$: из одной вершины диагонали делят его на $n - 2$ треугольника. У правильного многоугольника все углы равны, поэтому каждый из них равен

$$\alpha = \frac{180^\circ(n - 2)}{n}.$$

Внешний угол — смежный с внутренним — считается ещё проще. Сумма внешних углов любого выпуклого многоугольника, взятых по одному при каждой вершине, равна $360^\circ$, поэтому у правильного $n$-угольника внешний угол равен $\frac{360^\circ}{n}$. Центральный угол — между радиусами, проведёнными к соседним вершинам, — тоже равен $\frac{360^\circ}{n}$.

Из таблицы видно: чем больше сторон, тем ближе внутренний угол к $180^\circ$, но равным $180^\circ$ он не может стать никогда. Поэтому правильный многоугольник с углом $180^\circ$ или больше не существует.

Как найти число сторон по углу

Если дан внутренний угол $\alpha$, число сторон находят через внешний угол: $n = \frac{360^\circ}{180^\circ - \alpha}$. Это быстрее, чем решать уравнение с суммой углов.

Например, у многоугольника с углом $140^\circ$ внешний угол равен $40^\circ$, и сторон $360 : 40 = 9$. Если деление не получается нацело, такого правильного многоугольника нет. Так, угол $130^\circ$ даёт $360 : 50 = 7{,}2$ — значит, правильный многоугольник с таким углом построить нельзя. Этот приём полезен для утверждений в задании 19 ОГЭ, где нужно проверить, существует ли фигура, — подробнее о таких задачах в разборе геометрических высказываний.

Ещё одна формула пригодится в задачах на подсчёт: число диагоналей $n$-угольника равно $\frac{n(n - 3)}{2}$. Из каждой вершины выходит $n - 3$ диагонали, а каждая диагональ при таком подсчёте учтена дважды.

Радиусы вписанной и описанной окружностей

Радиус описанной окружности $R$ — это расстояние от центра до вершины, радиус вписанной $r$ — расстояние от центра до стороны. Оба выражаются через сторону $a$ и число сторон $n$.

Соединим центр с концами одной стороны: получится равнобедренный треугольник с боковыми сторонами $R$, основанием $a$ и углом при вершине $\frac{360^\circ}{n}$. Его высота равна $r$ и делит угол пополам. Из прямоугольного треугольника с острым углом $\frac{180^\circ}{n}$ получаем

$$R = \frac{a}{2\sin\frac{180^\circ}{n}}, \qquad r = \frac{a}{2\operatorname{tg}\frac{180^\circ}{n}}.$$

Вывод опирается только на определения синуса и тангенса острого угла — их можно повторить в статье про синус и тангенс в прямоугольном треугольнике. На экзамене общую формулу почти не применяют: чаще нужны три частных случая.

Общие свойства вписанных и описанных окружностей, в том числе для неправильных треугольников и четырёхугольников, разобраны в отдельной статье про вписанную и описанную окружности.

Правильный шестиугольник

Правильный шестиугольник — это 6 равносторонних треугольников с общей вершиной в центре. Отсюда сразу следуют все его свойства: радиус описанной окружности равен стороне, а внутренний угол равен $2 \cdot 60^\circ = 120^\circ$.

Площадь шестиугольника — шесть площадей равностороннего треугольника со стороной $a$:

$$S = 6 \cdot \frac{a^2\sqrt3}{4} = \frac{3\sqrt3}{2} a^2.$$

При стороне 4 площадь равна $\frac{3\sqrt3}{2} \cdot 16 = 24\sqrt3$. Диагонали у шестиугольника двух видов. Большая проходит через центр и равна $2a$, то есть диаметру описанной окружности. Меньшая соединяет вершины через одну и равна $a\sqrt3$: при $a = 4$ это $4\sqrt3$. Расстояние между параллельными сторонами равно $2r = a\sqrt3$ — оно совпадает с меньшей диагональю.

Не путать: у шестиугольника радиус описанной окружности равен стороне, а у квадрата и треугольника — нет. Переносить равенство $R = a$ на другие фигуры нельзя.

Площадь через периметр и радиус

Площадь правильного $n$-угольника равна половине произведения периметра на радиус вписанной окружности: $S = \frac12 P r$. Формула работает при любом числе сторон.

Её вывод повторяет идею с шестиугольником: центр соединяют со всеми вершинами, получается $n$ равных треугольников с основанием $a$ и высотой $r$. Их общая площадь $n \cdot \frac12 a r = \frac12 P r$. Проверим на шестиугольнике со стороной 4: $P = 24$, $r = 2\sqrt3$, $S = \frac12 \cdot 24 \cdot 2\sqrt3 = 24\sqrt3$ — совпадает с формулой выше. Формулы для остальных фигур собраны в статье про формулы площадей фигур.

Разбор задач

Чтобы решить такую задачу, сначала определите $n$, затем выберите нужную величину: угол, радиус или площадь. Три задачи ниже — в формате первой части ОГЭ и ЕГЭ.

Задача 1. Каждый угол правильного многоугольника равен $140^\circ$. Сколько у него сторон?

Внешний угол $180 - 140 = 40^\circ$, сумма внешних углов $360^\circ$, значит, $n = 360 : 40 = 9$. Проверка: $\frac{180 \cdot 7}{9} = 140$. Ответ: 9.

Задача 2. Радиус окружности, вписанной в правильный шестиугольник, равен $3\sqrt3$. Найдите сторону шестиугольника.

Для шестиугольника $r = \frac{a\sqrt3}{2}$, откуда $a = \frac{2r}{\sqrt3} = \frac{6\sqrt3}{\sqrt3} = 6$. Ответ: 6.

Задача 3. Квадрат вписан в окружность радиуса 5. Найдите площадь квадрата.

Диагональ квадрата — диаметр окружности, она равна 10. Площадь квадрата через диагональ $\frac{d^2}{2} = \frac{100}{2} = 50$. Сторону при этом искать не нужно. Ответ: 50.

Похожие задачи встречаются в планиметрии ЕГЭ: по проекту спецификации 2027 года^[3] это задание 1 первой части; подробный разбор — на странице задание 1 профильного ЕГЭ.

Задачи с проверкой

Блок «Задачи с проверкой» в начале страницы — это 10 задач на углы, число сторон и диагоналей, радиусы и площадь шестиугольника. Задачи идут по кругу.

Введите ответ в поле «Ответ» и нажмите «Проверить». Кнопка «Решение» откроет разбор, «Следующая задача →» — новую задачу. Если в ответе получается корень, перечитайте условие: в таких задачах просят найти величину, делённую на $\sqrt3$. Счётчик «решено X из Y» и полоска последних ответов покажут прогресс. По кодификатору ОГЭ^[2] эта тема входит в раздел курса геометрии о выпуклых фигурах.

Когда формула не подходит

Не все формулы из этой статьи работают для любой фигуры — у каждой есть условие применимости.

• Если у фигуры равны только стороны или только углы, как у ромба с 4 равными сторонами, формулы $R$, $r$ и площади $\frac12 P r$ неприменимы: фигура не правильная.
• Если деление 360 на внешний угол не даёт целого числа, такого правильного многоугольника не существует.
• Если до экзамена меньше 2 недель, выводить общие формулы $R$ и $r$ через синус не стоит — хватит трёх частных случаев из таблицы.
• Если сторон больше 6, ответ обычно содержит синус нетабличного угла, и в первой части такие задачи сводят к углам, а не к длинам.

Чего делать нельзя

Нельзя смешивать внутренний, внешний и центральный углы — у шестиугольника это $120^\circ$, $60^\circ$ и $60^\circ$, и ошибка сразу меняет ответ.

• Нельзя считать ромб или прямоугольник правильными: правильный четырёхугольник только один — квадрат.
• Нельзя делить $360^\circ$ на число сторон, чтобы найти внутренний угол: так получается внешний.
• Не следует переносить равенство $R = a$ с шестиугольника на другие фигуры.
• Не следует путать большую диагональ шестиугольника $2a$ с меньшей $a\sqrt3$.
• Не стоит вычислять площадь шестиугольника через приближённое $\sqrt3 \approx 1{,}7$, если ответ просят дать в виде $\frac{S}{\sqrt3}$.

Источники

[1] Атанасян Л. С., Бутузов В. Ф., Кадомцев С. Б. и др. Геометрия. 7–9 классы. — М.: Просвещение.

[2] ФИПИ. Кодификатор проверяемых требований к результатам освоения основной образовательной программы основного общего образования и элементов содержания для проведения ОГЭ по математике (проект, 2027). — М.: ФИПИ, 2026.

[3] ФИПИ. Спецификация контрольных измерительных материалов для проведения в 2027 году единого государственного экзамена по математике. Профильный уровень (проект). — М.: ФИПИ, 2026.

[4] Прасолов В. В. Задачи по планиметрии. — М.: МЦНМО.

Вопросы и ответы

Является ли равносторонний треугольник правильным?

Да. У него равны все стороны, а значит, и все углы по $60^\circ$. Это правильный многоугольник с наименьшим числом сторон.

Почему у шестиугольника радиус равен стороне?

Центральный угол равен $60^\circ$, поэтому треугольник из двух радиусов и стороны равнобедренный с углом $60^\circ$ при вершине, то есть равносторонний.

Можно ли построить правильный многоугольник циркулем и линейкой?

Не любой. Треугольник, квадрат, пятиугольник и шестиугольник строятся, а правильный семиугольник циркулем и линейкой построить нельзя — это доказанная теорема, известная со времён Гаусса.

Как связаны правильные фигуры и число π?

Периметр правильного $n$-угольника, вписанного в окружность, при росте $n$ приближается к её длине. Так в учебнике вводят формулу длины окружности, разобранную в статье про длину окружности и площадь круга.

Какой угол у правильного восьмиугольника?

$\frac{180 \cdot 6}{8} = 135^\circ$, а внешний и центральный углы равны $45^\circ$.

Где найти задачи сложнее экзаменационных?

В сборнике Прасолова^[4] есть раздел о правильных фигурах с задачами на доказательство и вычисление.