Площади фигур: формулы треугольника, трапеции и круга

Q: В каких заданиях экзамена встречаются эти формулы?

По кодификатору ОГЭ [2] вычисление площадей входит в геометрический блок: задания 15–18 и задачи второй части 23–25. В ЕГЭ базового уровня по спецификации [3] это задания 9, 10 и 12, в профильном — задание 1.

Q: Почему синус тупого угла можно заменить синусом острого?

Потому что \sin(180^\circ - \alpha) = \sin\alpha. Поэтому у параллелограмма с углами 30^\circ и 150^\circ площадь по любому из углов получается одинаковой.

Что такое площадь и в чём её измеряют

Площадь — это число квадратных единиц, которые помещаются внутри фигуры. Если стороны даны в сантиметрах, площадь получится в квадратных сантиметрах, а в задачах ОГЭ без единиц ответ записывают просто числом.

У площади три свойства, на которых держатся все формулы. Равные фигуры имеют равные площади. Если фигуру разрезать на части, её площадь равна сумме площадей частей. Площадь квадрата со стороной 1 принимается за единицу. В учебнике Атанасяна^[1] из этих свойств сначала выводят площадь прямоугольника, затем параллелограмма, треугольника и трапеции — каждую следующую формулу получают разрезанием или достраиванием предыдущей фигуры.

Отсюда практическое правило: если готовой формулы не видно, фигуру режут на треугольники и прямоугольники или достраивают до удобной фигуры, а потом вычитают лишнее. Этот приём работает в задании 17 ОГЭ и особенно на клетчатой бумаге. Площади фигур на экзамене почти всегда сводятся к этим трём свойствам и паре теорем — Пифагора и о сумме углов треугольника.

Миф: «у фигур с одинаковым периметром одинаковая площадь». Это неверно. Прямоугольники $1 \times 9$ и $5 \times 5$ имеют одинаковый периметр 20, а площади у них 9 и 25. Из всех прямоугольников с данным периметром наибольшую площадь имеет квадрат.

Площадь треугольника: пять рабочих формул

Для треугольника есть 5 формул, и выбор зависит от того, что дано в условии: сторона и высота, две стороны и угол, три стороны или радиус окружности. Основная формула — половина произведения стороны на проведённую к ней высоту:

$S = \frac12 a h_a.$

Высоту берут именно к той стороне, которая стоит в формуле. В тупоугольном треугольнике высота к короткой стороне падает на её продолжение, но формула от этого не меняется. В прямоугольном треугольнике один катет служит высотой к другому, поэтому площадь равна половине произведения катетов: при катетах 9 и 12 получаем $S = 54$ .

Если известны две стороны и угол между ними, высоту не ищут — её заменяет синус:

$S = \frac12 ab \sin\gamma.$

Например, при сторонах 8 и 9 и угле $30^\circ$ между ними $S = \frac12 \cdot 8 \cdot 9 \cdot \frac12 = 18$ . Формула работает только для угла между данными сторонами: угол против одной из них сюда подставлять нельзя.

По трём сторонам площадь даёт формула Герона, где $p$ — полупериметр:

$S = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}.$

Для треугольника со сторонами 5, 5 и 6 полупериметр равен 8, и $S = \sqrt{8 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 2} = \sqrt{144} = 12$ . Ту же площадь проще получить через высоту к основанию: она делит основание пополам, $h = \sqrt{25 - 9} = 4$ , $S = \frac12 \cdot 6 \cdot 4 = 12$ . Совпадение двух способов — лучшая проверка.

Ещё две формулы связывают площадь с окружностями: $S = pr$ , где $r$ — радиус вписанной окружности, и $S = \frac{abc}{4R}$ , где $R$ — радиус описанной. Ими чаще пользуются наоборот — чтобы найти радиус, когда площадь уже известна. Для равностороннего треугольника со стороной $a$ удобно помнить готовый результат $S = \frac{a^2\sqrt3}{4}$ . Формула с синусом и формула $S = \frac{abc}{4R}$ связаны через теорему синусов: $c = 2R\sin\gamma$ , подробнее — в статье про теорему синусов и косинусов.

Параллелограмм, прямоугольник и ромб

Площадь параллелограмма — это произведение стороны на высоту, проведённую к этой стороне: $S = a h_a$ . Прямоугольник — частный случай, у него высота совпадает со второй стороной, и $S = ab$ .

Почему коэффициент здесь 1, а не $\frac12$ : диагональ делит параллелограмм на два равных треугольника, и площадь каждого равна $\frac12 a h_a$ . Та же диагональ даёт формулу через угол: $S = ab\sin\alpha$ . При сторонах 10 и 6 и угле $150^\circ$ получаем $S = 10 \cdot 6 \cdot \frac12 = 30$ — синус тупого угла равен синусу острого, $\sin 150^\circ = \sin 30^\circ$ .

Ромб — параллелограмм с равными сторонами, поэтому для него годятся обе формулы выше. Но удобнее третья: диагонали ромба перпендикулярны, и

$S = \frac{d_1 d_2}{2}.$

При диагоналях 12 и 8 площадь равна 48. Эта формула верна для любого четырёхугольника с перпендикулярными диагоналями, например для «дельтоида». Для произвольного выпуклого четырёхугольника есть общий вариант $S = \frac12 d_1 d_2 \sin\varphi$ , где $\varphi$ — угол между диагоналями. Подробнее о том, по каким признакам узнать ромб или прямоугольник, — в статье про свойства четырёхугольников.

Трапеция: полусумма оснований на высоту

Площадь трапеции — это произведение полусуммы оснований на высоту: $S = \frac{a+b}{2} h$ . Полусумма оснований равна средней линии, поэтому формулу часто пишут короче: $S = m h$ .

Вывод занимает одну строку: диагональ делит трапецию на два треугольника с общей высотой $h$ и основаниями $a$ и $b$ , их площади $\frac12 a h$ и $\frac12 b h$ в сумме дают формулу. В задачах обычно не дана высота — её находят из прямоугольного треугольника, который отсекает высота, опущенная из вершины меньшего основания.

В равнобедренной трапеции такой треугольник имеет катет $\frac{b-a}{2}$ . При основаниях 7 и 17 и боковой стороне 13 этот катет равен 5, высота $\sqrt{169 - 25} = 12$ , площадь $\frac{7 + 17}{2} \cdot 12 = 144$ . Боковые стороны в формулу площади не входят: они нужны лишь для поиска высоты. Такую схему — высота через теорему Пифагора, затем площадь — демоверсия ФИПИ предлагает и в задании 17, и в задачах второй части.

Не путать: у трапеции нельзя перемножать основания или основание на боковую сторону. Высота — это перпендикуляр между основаниями, а не наклонная боковая сторона; они совпадают только в прямоугольной трапеции.

Круг и сектор

Площадь круга радиуса $r$ — это $\pi r^2$ , а площадь сектора с центральным углом $\alpha$ градусов составляет $\frac{\alpha}{360}$ от площади круга: $S = \pi r^2 \cdot \frac{\alpha}{360}$ .

В учебнике формулу площади круга получают как предел площадей вписанных правильных многоугольников, и на экзамене её просто применяют. Сектор с углом $60^\circ$ в круге радиуса 6 занимает шестую часть круга: $36\pi : 6 = 6\pi$ . В заданиях ОГЭ ответ часто просят записать в виде « $S$ , делённое на $\pi$ », и тогда в бланк идёт число 6. Длина окружности, дуги и задачи с числом $\pi$ разобраны отдельно — в материале про площадь круга и сектора.

Все площади фигур в одной таблице

Сводная таблица ниже — это 11 формул, которых хватает на все задания ОГЭ и ЕГЭ базового уровня, где нужны площади фигур. В справочных материалах к варианту ОГЭ часть формул есть, но искать их во время экзамена дольше, чем помнить.

Фигура	Что известно	Формула
Треугольник	сторона и высота к ней	$S = \frac12 a h_a$
Треугольник	две стороны и угол между ними	$S = \frac12 ab\sin\gamma$
Треугольник	три стороны	$S = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$
Треугольник	полупериметр и радиус вписанной окружности	$S = pr$
Прямоугольный треугольник	катеты	$S = \frac12 ab$
Равносторонний треугольник	сторона	$S = \frac{a^2\sqrt3}{4}$
Параллелограмм	сторона и высота или две стороны и угол	$S = a h_a = ab\sin\alpha$
Ромб	диагонали	$S = \frac{d_1 d_2}{2}$
Трапеция	основания и высота	$S = \frac{a+b}{2}h$
Круг	радиус	$S = \pi r^2$
Сектор	радиус и угол в градусах	$S = \frac{\pi r^2 \alpha}{360}$

Кроме формул, полезно помнить несколько соотношений, которые позволяют находить площадь части фигуры без вычислений. Медиана делит треугольник на два равновеликих. Три медианы делят его на 6 треугольников равной площади. Средняя линия отсекает треугольник, площадь которого в 4 раза меньше исходной. У подобных фигур площади относятся как квадрат коэффициента подобия — это свойство разобрано в статье про отношение площадей подобных треугольников.

Разбор задач на площади фигур

Чтобы выбрать формулу, достаточно выписать, что дано: две стороны и угол, основание и высота или диагонали. Три задачи ниже показывают, как это работает в формате первой части экзамена.

Задача 1. В треугольнике $ABC$ стороны $AB = 12$ и $AC = 10$ , угол $A$ равен $150^\circ$ . Найдите площадь треугольника.

Даны две стороны и угол между ними, значит, нужна формула с синусом: $S = \frac12 \cdot 12 \cdot 10 \cdot \sin 150^\circ = 60 \cdot \frac12 = 30$ . Высоту строить не нужно. Ответ: 30.

Задача 2. Периметр ромба равен 40, одна из диагоналей равна 12. Найдите площадь ромба.

Сторона ромба $40 : 4 = 10$ . Диагонали делятся точкой пересечения пополам и перпендикулярны, поэтому половина второй диагонали равна $\sqrt{100 - 36} = 8$ , а вся диагональ — 16. Площадь $\frac{12 \cdot 16}{2} = 96$ . Проверка: прямоугольный треугольник с катетами 6 и 8 и гипотенузой 10 — известная тройка. Ответ: 96.

Задача 3. В треугольнике $ABC$ площадью 48 проведена медиана $BM$ , а в треугольнике $ABM$ — медиана $AK$ . Найдите площадь треугольника $ABK$ .

Медиана $BM$ делит треугольник на две равные по площади части, каждая по 24. Медиана $AK$ треугольника $ABM$ снова делит его пополам: $24 : 2 = 12$ . Ни одна длина здесь не нужна — только свойство медианы. Ответ: 12.

Задачи с клетчатой бумагой решают теми же формулами: длины оснований и высот считают по клеткам, а сложную фигуру достраивают до прямоугольника. Приёмы подсчёта собраны в разборе задания про фигуры на клетчатой бумаге.

Тренажёр задания 17 ОГЭ

Тренажёр в начале страницы — это «Тренажёр · № 17 ОГЭ · бесконечные варианты»: он выдаёт задачи на параллелограмм, ромб и трапецию с новыми числами при каждом нажатии кнопки «Следующая задача →».

Введите число в поле «Ответ» и нажмите «Проверить». Если ответ не сошёлся, кнопка «Решение» покажет формулу и подстановку. Полоска последних ответов и счётчик «решено X из Y» помогают понять, когда тема закреплена: ориентир — 10 верных ответов подряд без подсказок. Решать без кнопки «Решение» полезнее, чем перечитывать формулы: исследование Roediger и Karpicke^[4] показало, что воспроизведение по памяти лучше закрепляет материал, чем повторное чтение. Полный разбор номера с типовыми ловушками — на странице задание 17 ОГЭ.

Когда готовая формула не подходит

Не каждая задача на площадь решается подстановкой в одну формулу — иногда нужен другой путь.

Если у многоугольника больше 4 вершин, готовой формулы нет: его режут на треугольники или достраивают до прямоугольника.
Если известны только 2 стороны треугольника без угла между ними, площадь однозначно не определяется — нужна третья величина.
Если угол дан не между известными сторонами, формулу $\frac12 ab\sin\gamma$ применять нельзя: сначала находят нужный угол через сумму углов 180°.
Если фигура на клетках имеет 3 и более наклонных сторон, проще вычесть из описанного прямоугольника угловые треугольники.
Если в трапеции дана только 1 боковая сторона без угла, высоту не найти — проверьте, не равнобедренная ли трапеция.

Чего делать нельзя

Нельзя терять балл на арифметике и единицах, когда формула выбрана верно, — большинство ошибок здесь именно такие.

Нельзя брать боковую сторону параллелограмма или трапеции вместо высоты: это верно только при прямом угле.
Нельзя забывать множитель $\frac12$ в формулах треугольника и ромба.
Не следует путать радиус и диаметр в формуле круга: при диаметре 10 площадь равна $25\pi$ , а не $100\pi$ .
Не следует умножать стороны на синус угла, лежащего против одной из них.
Не стоит переводить ответ в квадратные метры или сантиметры, если условие этого не требует: в бланк идёт число.
Не стоит записывать в бланк значение с $\pi$ или корнем: ответ должен быть целым числом или конечной десятичной дробью.

Миф: «формулу Герона на ОГЭ использовать запрещено, засчитают только через высоту». Такого правила не существует: критерии оценивания принимают любой верный способ, а в первой части проверяется только число в бланке.

Источники

[1] Атанасян Л. С., Бутузов В. Ф., Кадомцев С. Б. и др. Геометрия. 7–9 классы. — М.: Просвещение.

[2] ФИПИ. Кодификатор проверяемых требований к результатам освоения основной образовательной программы основного общего образования и элементов содержания для проведения ОГЭ по математике (проект, 2027). — М.: ФИПИ, 2026.

[3] ФИПИ. Спецификация контрольных измерительных материалов для проведения в 2027 году единого государственного экзамена по математике. Базовый уровень (проект). — М.: ФИПИ, 2026.

[4] Roediger H. L., Karpicke J. D. Test-enhanced learning: taking memory tests improves long-term retention // Psychological Science. 2006. Vol. 17, No. 3. P. 249–255.

Вопросы и ответы

Какие площади фигур нужно знать наизусть?

Минимум — формулы для треугольника через высоту и через синус, для параллелограмма, ромба, трапеции и круга. Формулу Герона и $S = pr$ полезно знать, но без них можно обойтись почти в любой задаче первой части.

В каких заданиях экзамена встречаются эти формулы?

По кодификатору ОГЭ^[2] вычисление площадей входит в геометрический блок: задания 15–18 и задачи второй части 23–25. В ЕГЭ базового уровня по спецификации^[3] это задания 9, 10 и 12, в профильном — задание 1.

Есть ли формулы в справочных материалах на ОГЭ?

Вместе с вариантом выдают справочные материалы, где часть формул приведена. Но выписывать оттуда каждую формулу долго, а выбирать нужную по условию всё равно придётся самому.

Что делать, если в ответе получился корень?

В первой части ответ — целое число или конечная десятичная дробь. Если вышло $4\sqrt3$ , проверьте, не просят ли найти $\frac{S}{\sqrt3}$ , и перепроверьте вычисления: чаще всего корень означает ошибку в высоте.

Почему синус тупого угла можно заменить синусом острого?

Потому что $\sin(180^\circ - \alpha) = \sin\alpha$ . Поэтому у параллелограмма с углами $30^\circ$ и $150^\circ$ площадь по любому из углов получается одинаковой.

Как проверить найденную площадь?

Посчитайте её вторым способом: через другую сторону и высоту, через диагонали или разрезанием на части. Если два способа дали одно число, ошибки почти наверняка нет.