Четырёхугольники: что верно для прямоугольника, ромба и квадрата

Какие бывают четырёхугольники

Выпуклый четырёхугольник — это фигура из четырёх сторон, которая лежит по одну сторону от прямой, содержащей любую её сторону; сумма его углов равна $360^\circ$. Диагональ делит его на два треугольника, по $180^\circ$ в каждом, отсюда и сумма.

Школьная классификация строится по параллельности сторон. Если обе пары противоположных сторон параллельны, это параллелограмм. Если параллельна только одна пара, это трапеция. Если параллельных сторон нет, у четырёхугольника нет особого названия, и в задачах ОГЭ он встречается редко — обычно как вписанный или описанный, о чём есть отдельная статья про вписанную и описанную окружность.

Внутри семейства параллелограммов три частных случая. Прямоугольник — параллелограмм с прямым углом. Ромб — параллелограмм с равными соседними сторонами. Квадрат — одновременно прямоугольник и ромб. Эта «родословная» важна для экзамена: всё, что верно для параллелограмма, автоматически верно для ромба, прямоугольника и квадрата, но не наоборот. Поэтому начинать тему стоит со свойств параллелограмма: выучив четыре утверждения про него, вы получаете половину свойств остальных трёх фигур без дополнительной работы.

Миф: «квадрат — это не ромб, потому что у ромба углы не прямые». Это неверно. Ромб по определению требует только равенства сторон, а про углы ничего не говорит. Квадрат — ромб с прямыми углами, и все свойства ромба у него выполняются.

Свойства параллелограмма

У параллелограмма 4 главных свойства: противоположные стороны равны, противоположные углы равны, сумма соседних углов равна $180^\circ$, диагонали точкой пересечения делятся пополам. Все они доказываются через равенство треугольников, на которые параллелограмм делит диагональ.

В учебнике каждое из этих утверждений оформлено как теорема с доказательством, поэтому во второй части ОГЭ на свойства параллелограмма можно ссылаться без вывода — достаточно назвать нужное свойство. Кодификатор ФИПИ^[2] относит параллелограмм и его частные случаи к обязательным элементам содержания курса геометрии.

Свойство углов следует из параллельности: соседние углы — односторонние при параллельных прямых и секущей, поэтому их сумма $180^\circ$. Если один угол параллелограмма равен $47^\circ$, то противоположный тоже $47^\circ$, а два других по $133^\circ$. Подробно эта связь разобрана в материале про углы при параллельных прямых.

Свойство диагоналей работает в обе стороны: точка пересечения $O$ — середина каждой из них, $AO = OC$ и $BO = OD$. Сами диагонали в общем случае не равны и не перпендикулярны — равенство означает прямоугольник, перпендикулярность означает ромб.

Есть ещё два следствия, которые выручают в задачах. Первое: биссектриса угла параллелограмма отсекает от него равнобедренный треугольник, потому что накрест лежащие углы равны. Второе: сумма квадратов диагоналей равна сумме квадратов всех сторон,

$$d_1^2 + d_2^2 = 2(a^2 + b^2).$$

Для параллелограмма со сторонами 7 и 9 сумма квадратов диагоналей равна $2(49 + 81) = 260$; подходят, например, диагонали 8 и 14, потому что $64 + 196 = 260$. Эта формула не входит в обязательный минимум учебника Атанасяна^[1], но выводится из теоремы косинусов в две строки и экономит время во второй части.

Признаки параллелограмма: как доказать, что перед вами он

Признак — это условие, достаточное, чтобы назвать четырёхугольник параллелограммом. В школьном курсе 3 признака, и каждый из них — обращённое свойство. Иначе говоря, свойства параллелограмма и его признаки — взаимно обратные теоремы: одни выводят следствия из того, что параллелограмм дан, другие доказывают, что четырёхугольник им является.

1. Признак 1. Две противоположные стороны равны и параллельны.
2. Признак 2. Противоположные стороны попарно равны.
3. Признак 3. Диагонали пересекаются и точкой пересечения делятся пополам.

Обратите внимание на первый признак: одной пары равных сторон мало, нужна именно пара равных и параллельных. Четырёхугольник, у которого две противоположные стороны равны, а две другие параллельны, может оказаться равнобедренной трапецией. На этой ловушке построены многие утверждения в задании 19 ОГЭ — о нём подробнее в разборе анализа геометрических высказываний.

Признаки нужны прежде всего в задачах на доказательство. Типичный ход: доказать равенство двух треугольников, вывести равенство и параллельность сторон и сослаться на признак. Для этого пригодятся признаки равенства треугольников — без них ни одно свойство параллелограмма строго не доказывается.

Прямоугольник, ромб и квадрат

Прямоугольник, ромб и квадрат — это параллелограммы с дополнительными свойствами, и у каждого есть свой признак, который выделяет его из общего семейства.

У прямоугольника диагонали равны. Признак: если диагонали параллелограмма равны, он прямоугольник. Точка пересечения диагоналей прямоугольника равноудалена от всех вершин, поэтому она — центр описанной окружности. Если диагонали пересекаются под углом $64^\circ$, то треугольник из двух половин диагоналей и длинной стороны равнобедренный с углом $116^\circ$ при вершине, поэтому угол между диагональю и длинной стороной равен $\frac{180 - 116}{2} = 32^\circ$.

У ромба диагонали перпендикулярны и делят его углы пополам. Признак: параллелограмм с перпендикулярными диагоналями или с диагональю-биссектрисой — ромб. Ромб с углом $60^\circ$ состоит из двух равносторонних треугольников, поэтому его короткая диагональ равна стороне.

Квадрат собирает всё сразу: диагонали равны, перпендикулярны, делятся пополам и делят углы на $45^\circ$. Диагональ квадрата со стороной $a$ равна $a\sqrt2$.

Трапеция и её средняя линия

Трапеция — это четырёхугольник, у которого ровно 2 стороны параллельны; их называют основаниями, а две другие — боковыми сторонами. Поскольку пара параллельна только одна, свойства параллелограмма на трапецию не переносятся.

Что остаётся верным: углы, прилежащие к одной боковой стороне, в сумме дают $180^\circ$. Средняя линия соединяет середины боковых сторон, параллельна основаниям и равна их полусумме: при основаниях 6 и 14 она равна 10. Теорема о средней линии трапеции доказывается достраиванием до треугольника, где работает уже знакомая средняя линия треугольника.

Равнобедренная трапеция имеет равные боковые стороны, равные углы при каждом основании и равные диагонали. Высота, опущенная из вершины меньшего основания, делит большее основание на отрезки $\frac{b-a}{2}$ и $\frac{a+b}{2}$. При основаниях 4 и 10 это 3 и 7, а если угол при большем основании $45^\circ$, то высота тоже равна 3. Около трапеции можно описать окружность только если она равнобедренная.

Не путать: средняя линия трапеции — полусумма оснований, а средняя линия треугольника — половина параллельной стороны. Формулы похожи, но в трапеции участвуют оба основания.

Разбор задач на четырёхугольники

Чтобы решить задачу на четырёхугольник, сначала определите его вид, затем выпишите 2–3 свойства, связанные с данными, и только потом считайте. Три задачи ниже — в формате первой части.

Задача 1. Биссектриса угла $A$ параллелограмма $ABCD$ пересекает сторону $BC$ в точке $K$. Найдите периметр параллелограмма, если $AB = 6$, $KC = 4$.

Угол $BAK$ равен углу $KAD$ по условию, а угол $KAD$ равен углу $BKA$ как накрест лежащие при $AD \parallel BC$. Значит, треугольник $ABK$ равнобедренный, $BK = AB = 6$. Тогда $BC = 6 + 4 = 10$, периметр $2(6 + 10) = 32$. Ответ: 32.

Задача 2. Сумма двух углов параллелограмма равна $100^\circ$. Найдите больший угол.

Соседние углы дают $180^\circ$, а не $100^\circ$, значит, речь о противоположных углах — они равны, по $50^\circ$. Больший угол $180 - 50 = 130^\circ$. Ответ: 130.

Задача 3. В равнобедренной трапеции основания равны 5 и 13, а боковая сторона равна 5. Найдите высоту трапеции.

Проекция боковой стороны на большее основание равна $\frac{13 - 5}{2} = 4$. Высота по теореме Пифагора $\sqrt{25 - 16} = 3$. Проверка: треугольник 3, 4, 5 — пифагорова тройка. Ответ: 3.

Если в задаче нужна площадь, а не углы и отрезки, переходите к статье о том, как считать площади фигур по формулам: там собраны формулы для всех четырёхугольников.

Тренажёр № 17 ОГЭ

«Тренажёр · № 17 ОГЭ · бесконечные варианты» в начале страницы — это генератор задач на углы параллелограмма, площади ромба, параллелограмма и трапеции. Числа меняются при каждом нажатии «Следующая задача →».

Решайте на бумаге, вводите число в поле «Ответ» и нажимайте «Проверить». Кнопка «Решение» показывает нужное свойство или формулу. Счётчик «решено X из Y» и полоска последних ответов подскажут, где вы ошибаетесь систематически. Короткие сессии по 10–15 минут через день дают больше, чем одна длинная: обзор Cepeda и соавторов^[4] подтверждает, что распределённое повторение эффективнее занятий подряд. Полный разбор номера — в статье задание 17 ОГЭ по математике.

Когда знание свойств не поможет

Не каждая задача решается одним свойством из таблицы: иногда вид фигуры неизвестен или данных не хватает.

• Если про фигуру известно только 1 равенство сторон, вид фигуры не определён — нужен признак, а не свойство.
• Если трапеция не равнобедренная, равенство 2 диагоналей и углов при основании использовать нельзя.
• Если фигура невыпуклая, сумма углов по-прежнему 360°, но диагональ может лежать вне фигуры, и разбиение на 2 треугольника нужно делать другой диагональю.
• Если до экзамена меньше 2 недель, учить вывод формулы для диагоналей не стоит — достаточно основных свойств из таблицы.

Чего делать нельзя

Нельзя переносить свойства с одного вида на другой без проверки — это главная причина потерянных баллов в теме.

• Нельзя считать диагонали любого параллелограмма равными: это верно только для прямоугольника.
• Нельзя утверждать, что диагонали перпендикулярны, если не доказано, что фигура — ромб.
• Не следует путать признак и свойство: свойство описывает известную фигуру, признак позволяет её распознать.
• Не следует писать, что у трапеции противоположные углы равны: у неё нет пары параллельных боковых сторон.
• Не стоит решать задачу «по рисунку»: если на чертеже угол выглядит прямым, это ещё не прямоугольник.
• Не допускается во второй части ссылаться на свойство без названия: эксперт ждёт фразу вида «по свойству диагоналей ромба».

Миф: «если диагонали перпендикулярны, фигура — ромб». Это неверно: перпендикулярные диагонали бывают у дельтоида и у некоторых трапеций. Ромбом фигура будет, только если её противоположные стороны ещё и попарно параллельны.

Источники

[1] Атанасян Л. С., Бутузов В. Ф., Кадомцев С. Б. и др. Геометрия. 7–9 классы. — М.: Просвещение.

[2] ФИПИ. Кодификатор проверяемых требований к результатам освоения основной образовательной программы основного общего образования и элементов содержания для проведения ОГЭ по математике (проект, 2027). — М.: ФИПИ, 2026.

[3] ФИПИ. Спецификация контрольных измерительных материалов для проведения в 2026 году основного государственного экзамена по математике. — М.: ФИПИ, 2025.

[4] Cepeda N. J., Pashler H., Vul E., Wixted J. T., Rohrer D. Distributed practice in verbal recall tasks: a review and quantitative synthesis // Psychological Bulletin. 2006. Vol. 132, No. 3. P. 354–380.

Вопросы и ответы

Какие свойства параллелограмма спрашивают чаще всего?

Сумму соседних углов $180^\circ$, равенство противоположных сторон и деление диагоналей пополам. Реже — биссектрису, отсекающую равнобедренный треугольник; она часто встречается в задании 17 и во второй части.

В каком задании ОГЭ нужны четырёхугольники?

По спецификации^[3] задание 17 целиком посвящено им, а по кодификатору^[2] эти фигуры также встречаются в задании 19 с высказываниями и в геометрических задачах 23–25.

Чем признак отличается от свойства?

Свойство отвечает на вопрос «что верно для этой фигуры», признак — «как узнать, что фигура именно такая». Например, у ромба диагонали перпендикулярны (свойство), а параллелограмм с перпендикулярными диагоналями — ромб (признак).

Является ли квадрат параллелограммом?

Да. Квадрат — частный случай и прямоугольника, и ромба, а оба они — частные случаи параллелограмма, поэтому у квадрата выполняются все их свойства.

Можно ли описать окружность около ромба?

Только если ромб — квадрат. Окружность описывается около фигуры, только когда сумма противоположных углов равна $180^\circ$, а у ромба противоположные углы равны, значит, каждый по $90^\circ$.

Как запомнить, у кого какие диагонали?

Через «родство»: прямоугольник добавляет равенство диагоналей, ромб — перпендикулярность, квадрат — оба свойства сразу. Общее для всех — деление диагоналей пополам.