Углы при пересечении прямых: смежные, вертикальные и при секущей

Смежные и вертикальные углы — два факта на всю геометрию

Смежные углы — это два угла с общей стороной, у которых две другие стороны лежат на одной прямой; в сумме они всегда дают $180^\circ$. Вертикальные углы возникают при пересечении двух прямых: стороны одного являются продолжениями сторон другого.

Теорема о вертикальных углах доказывается в одну строку через смежные. Если две прямые пересеклись и образовали углы $\alpha$, $\beta$, $\gamma$, то $\alpha + \beta = 180^\circ$ и $\beta + \gamma = 180^\circ$ как смежные. Вычитаем одно равенство из другого и получаем $\alpha = \gamma$. Отсюда следует, что при пересечении двух прямых возникают только две величины углов: острый $\alpha$ и тупой $180^\circ - \alpha$. Исключение — перпендикулярные прямые, где все четыре угла прямые.

Типичная задача: один из смежных углов в 4 раза больше другого. Обозначаем меньший через $x$ и пишем $x + 4x = 180$, откуда $x = 36^\circ$, а больший угол $144^\circ$. Такие уравнения встречаются в задачах на углы постоянно, поэтому привычка сразу вводить переменную экономит время.

Ещё один полезный факт: биссектрисы двух смежных углов перпендикулярны, а у каждого угла есть ровно два смежных с ним угла. Половины углов складываются в $\frac{180^\circ}{2} = 90^\circ$ при любых величинах исходных углов. А вот биссектрисы вертикальных углов лежат на одной прямой — это следствие того же равенства.

Восемь углов при секущей: как их называть

Секущая — это прямая, которая пересекает две другие прямые в двух разных точках; при этом образуется 8 углов, и пары среди них получили свои названия.

Удобно ориентироваться по рисунку. Углы 3, 4, 5, 6 лежат между прямыми $a$ и $b$ — их называют внутренними, остальные четыре — внешними. Дальше важно, по какую сторону от секущей $c$ лежит угол.

Последние две строки таблицы верны для любых прямых, а первые три пары получают «хорошие» свойства только при параллельности. Это главное, что нужно запомнить: название пары зависит лишь от расположения, а равенство — от того, параллельны ли прямые.

Когда параллельные прямые пересечены секущей: свойства углов

Если параллельные прямые пересечены секущей, то накрест лежащие углы равны, соответственные углы равны, а сумма односторонних углов — $180^\circ$. В учебнике Атанасяна^[1] все три утверждения доказываются как теоремы, обратные признакам параллельности.

На практике достаточно одного вывода: все восемь углов принимают только два значения. Если один из углов равен $47^\circ$, то четыре угла равны $47^\circ$, а четыре других — $133^\circ$. Никаких других величин при параллельных прямых быть не может, и это мгновенная проверка любого ответа.

Свойства связаны между собой через вертикальные и смежные углы. Например, угол 1 равен углу 3 как вертикальный, угол 3 равен углу 5 как накрест лежащий — значит, соответственные углы 1 и 5 тоже равны. А угол 4 смежен с углом 3, то есть $\angle 4 + \angle 5 = \angle 4 + \angle 3 = 180^\circ$: так получается сумма односторонних углов. Выучив одно свойство, остальные легко восстановить за полминуты.

Миф: «если на рисунке в задаче прямые выглядят параллельными, ими можно пользоваться как параллельными». Это неверно: чертёж в варианте не обязан быть точным. Свойства углов применяют только если параллельность сказана в условии или доказана по признаку.

Признаки параллельности: как доказать, что прямые не пересекаются

Признак параллельности — это обратное утверждение: если при пересечении двух прямых секущей накрест лежащие углы равны, или соответственные равны, или сумма односторонних равна $180^\circ$, то прямые параллельны.

Достаточно проверить любое одно условие из трёх — остальные выполнятся автоматически. Частный случай, который часто нужен в задачах: две прямые, перпендикулярные третьей, параллельны, потому что соответственные углы у них по $90^\circ$.

В основе всей темы лежит аксиома параллельных прямых: через точку, не лежащую на данной прямой, проходит только одна прямая, параллельная данной. Из неё выводят, что прямая, пересекающая одну из двух параллельных, пересекает и другую, а две прямые, параллельные третьей, параллельны между собой.

Главная путаница — между свойством и признаком. Свойство отвечает на вопрос «что следует из параллельности», признак — «как доказать параллельность». В задачах на доказательство (задание 24 ОГЭ) за подмену одного другим эксперт снижает балл, потому что логика рассуждения разворачивается в обратную сторону.

Не путать: признаки параллельности прямых и признаки равенства треугольников — разные наборы теорем, хотя в доказательствах они часто работают вместе: равные треугольники дают равные накрест лежащие углы.

Разбор задач на углы при параллельных прямых

Чтобы решить задачу на углы, нужно найти на рисунке секущую и определить, какую пару углов она образует; дальше всё сводится к уравнению в 1–2 действия.

Задача 1. Разность двух углов

Прямые $a$ и $b$ параллельны, $c$ — секущая. Один из восьми углов на $56^\circ$ больше другого. Найдите эти углы.

Раз углы разные, один из них острый $\alpha$, другой тупой $180^\circ - \alpha$. Составляем уравнение $(180 - \alpha) - \alpha = 56$, откуда $\alpha = 62^\circ$, второй угол $118^\circ$. Проверка: $62 + 118 = 180$ и $118 - 62 = 56$.

Задача 2. Угол «в изломе»

Прямые $AB$ и $CD$ параллельны, точки $B$ и $D$ лежат по одну сторону от прямой $AC$. Точка $E$ расположена между прямыми с той же стороны, $\angle BAE = 35^\circ$, $\angle DCE = 50^\circ$. Найдите угол $AEC$.

Ни одна из данных прямых не проходит через $E$, поэтому проводим через $E$ вспомогательную прямую $EF$, параллельную $AB$, с точкой $F$ по другую сторону от $E$, чем $B$. Тогда $EF \parallel CD$ тоже. С секущей $AE$ получаем накрест лежащие углы: $\angle AEF = \angle BAE = 35^\circ$; с прямой $CE$ — $\angle CEF = \angle DCE = 50^\circ$. Искомый угол $\angle AEC = 35^\circ + 50^\circ = 85^\circ$. Дополнительная параллельная прямая — стандартный приём, без неё задачу решить нельзя.

Задача 3. При каком x прямые параллельны

При пересечении прямых $m$ и $n$ секущей односторонние углы равны $(2x + 10)^\circ$ и $(3x + 20)^\circ$. При каком $x$ прямые параллельны?

По признаку параллельности сумма односторонних углов должна быть $180^\circ$: $5x + 30 = 180$, $x = 30$. Углы равны $70^\circ$ и $110^\circ$. При любом другом $x$ сумма не равна $180^\circ$, и прямые пересекаются.

Задачи с проверкой

Блок «Задачи с проверкой» вверху страницы — это 9 задач: смежные и вертикальные углы, все три пары углов при параллельных прямых, вспомогательная прямая и одно утверждение на выбор.

Решите задачу на бумаге, введите число в поле «Ответ» и нажмите «Проверить». Кнопка «Решение» открывает разбор, «Следующая задача →» переходит дальше, а задачи идут по кругу. Полезно сначала нарисовать прямые и пронумеровать углы, как на схеме выше: в половине случаев правильная пара углов видна сразу.

Где эта тема встречается на экзамене

Углы при пересечении прямых — это не отдельный номер, а инструмент, который нужен в 5–6 геометрических заданиях ОГЭ и в планиметрии ЕГЭ: без них не найти угол треугольника, параллелограмма или трапеции.

В ОГЭ по кодификатору ФИПИ^[2] тема входит в раздел геометрии основной школы. Напрямую она проверяется в анализе геометрических высказываний — в задании 19 ОГЭ регулярно встречаются утверждения о вертикальных углах и признаках параллельности. Косвенно — в четырёхугольниках: углы параллелограмма, прилежащие к одной стороне, и углы трапеции при боковой стороне по тому же свойству в сумме дают $180^\circ$. Об этом подробно в материале о свойствах четырёхугольников.

Сумма углов треугольника тоже доказывается через параллельную прямую: через вершину проводят прямую, параллельную противоположной стороне, и два угла треугольника превращаются в накрест лежащие. В итоге три угла при этой вершине складываются в развёрнутый угол $180^\circ$.

Миф: «сумма углов треугольника 180° — это аксиома, её не доказывают». Это неверно: это теорема, и её доказательство опирается как раз на свойства углов при параллельных прямых. Аксиома в этой цепочке одна — о единственности параллельной прямой.

Когда правило равных углов не подходит

Не каждая пара углов на рисунке связана равенством — свойства работают только при определённых условиях, и вот 4 типичных случая, когда их применять не следует.

• Если в условии нет ни слова о параллельности и не найдено ни 1 пары углов для признака, — равенство таких углов использовать нельзя.
• Если углы лежат при 2 разных секущих, у такой пары вообще нет названия: оно определяется только для одной прямой, пересекающей две другие.
• Если сумма двух «односторонних» углов на чертеже не равна 180°, значит, прямые не параллельны, и остальные свойства тоже не действуют.
• Если в задаче участвует 3 и больше прямых без параллельности, работают только смежные и вертикальные углы.

Чего делать нельзя

Нельзя терять баллы на простой теме из-за невнимательности — почти все ошибки здесь связаны с неверно выбранной парой углов.

• Нельзя считать прямые параллельными «по рисунку», если это не дано и не доказано.
• Нельзя приравнивать односторонние углы: их сумма равна $180^\circ$, а равны они только тогда, когда оба прямые.
• Не следует путать свойство и признак в задаче на доказательство: из параллельности выводят равенство углов, а не наоборот.
• Не следует измерять углы транспортиром по чертежу из варианта — на экзамене транспортир не нужен, а рисунок не обязан быть точным.
• Не стоит записывать в бланк ответ со знаком градуса: проверяется только число.
• Не стоит забывать проверку: острый и тупой угол при параллельных прямых в сумме дают ровно $180^\circ$.

Источники

[1] Атанасян Л. С., Бутузов В. Ф., Кадомцев С. Б. и др. Геометрия. 7–9 классы. — М.: Просвещение.

[2] ФИПИ. Кодификатор проверяемых требований к результатам освоения основной образовательной программы основного общего образования и элементов содержания для проведения ОГЭ по математике (проект, 2027). — М.: ФИПИ, 2026.

[3] Федеральная образовательная программа основного общего образования (утв. приказом Минпросвещения России от 18.05.2023 № 370).

[4] Ященко И. В. (ред.). ОГЭ. Математика. Типовые экзаменационные варианты. — М.: Национальное образование.

Вопросы и ответы

Чем накрест лежащие углы отличаются от односторонних?

И те и другие лежат между прямыми, но накрест лежащие — по разные стороны от секущей, а односторонние — по одну. При параллельных прямых первые равны, вторые в сумме дают 180°.

Могут ли параллельные прямые иметь общую точку?

Нет — по определению параллельные прямые на плоскости не пересекаются. Если у двух прямых есть хотя бы одна общая точка, они либо пересекаются, либо совпадают.

Сколько разных величин углов бывает при секущей?

При параллельных прямых — 2: острый угол и тупой, дополняющий его до 180°. Если секущая перпендикулярна прямым, все 8 углов прямые.

Нужно ли в бланке писать, какой это угол?

В заданиях с кратким ответом — нет, пишется только число. В задачах второй части каждое равенство углов нужно обосновать: «как накрест лежащие при $AB \parallel CD$ и секущей $AC$».

Где эта тема в школьной программе?

По федеральной образовательной программе^[3] углы и параллельные прямые изучают в курсе геометрии 7 класса. В 8–9 классах тема используется в четырёхугольниках, подобии и окружности.

Как быстро проверить ответ задачи на углы?

Есть 2 вопроса для самопроверки: острый ли получился угол там, где на рисунке он острый, и дают ли найденные острый и тупой углы в сумме 180°. Если оба ответа «да», ошибка маловероятна.