Подобные треугольники: коэффициент, признаки и отношение площадей

Что такое подобные треугольники и коэффициент подобия

Подобные треугольники — это треугольники, у которых углы попарно равны, а сходственные стороны пропорциональны; общее отношение сторон называют коэффициентом подобия $k$.

Сходственные стороны — те, что лежат против равных углов. Если $\triangle ABC \sim \triangle A_1B_1C_1$, то

$$\frac{A_1B_1}{AB} = \frac{B_1C_1}{BC} = \frac{A_1C_1}{AC} = k.$$

Классический пример: треугольник со сторонами 3, 4, 5 подобен треугольнику со сторонами 6, 8, 10, коэффициент подобия равен 2. Углы у них одинаковые, а каждая сторона второго вдвое длиннее. При $k = 1$ подобные треугольники просто равны, так что равенство — частный случай подобия.

Подобие треугольников обозначают значком $\sim$, который читается «подобен». Порядок букв в записи важен так же, как в записи равенства: первая вершина соответствует первой, вторая — второй. Перепутанный порядок даёт неверную пропорцию, и это самая частая причина ошибок в задачах на подобные треугольники.

Три признака подобия

Доказать подобие треугольников можно 3 способами, и в отличие от признаков равенства в них участвуют не равные, а пропорциональные стороны.

Первый признак — самый ходовой: третий угол равен автоматически, потому что сумма углов треугольника $180^\circ$. Поэтому в задаче достаточно найти два равных угла — общий угол, вертикальные углы или соответственные углы при параллельных прямых.

Второй признак нужен, когда известны длины. Например, у треугольников со сторонами 4 и 6 и со сторонами 6 и 9 при равном угле между ними отношения $\frac64 = \frac96 = 1{,}5$ совпадают — значит, треугольники подобны, и третьи стороны тоже относятся как 1,5. Третий признак применяют реже: для подобия по трём сторонам нужно проверить, что все три отношения одинаковы. Доказательства признаков есть в учебнике Атанасяна^[1] для 8 класса; там же подобие впервые применяется к пропорциональным отрезкам.

Подобие треугольников при параллельной прямой

Если прямая параллельна стороне треугольника и пересекает две другие стороны, она отсекает треугольник, подобный данному, — это самый частый источник подобия в экзаменационных задачах.

Пусть в треугольнике $ABC$ прямая $DE$ параллельна $AC$, точка $D$ лежит на $AB$, точка $E$ — на $BC$. Угол $B$ общий, а углы $BDE$ и $BAC$ равны как соответственные. По двум углам $\triangle DBE \sim \triangle ABC$, и

$$\frac{BD}{BA} = \frac{BE}{BC} = \frac{DE}{AC}.$$

Пример: $BD = 4$, $DA = 6$, $DE = 5$. Тогда $BA = 10$, коэффициент подобия $k = \frac{4}{10} = 0{,}4$, и $AC = \frac{5}{0{,}4} = 12{,}5$. Главная ловушка — взять в знаменатель $DA$ вместо $BA$: отношение $\frac{BD}{DA}$ описывает деление стороны, а не подобие.

На этом факте держится большинство задач с параллельными отрезками: подобие треугольников возникает всякий раз, когда внутри треугольника проведена прямая, параллельная стороне, — даже если на рисунке она выглядит как часть трапеции. Частный случай — средняя линия: она соединяет середины двух сторон, параллельна третьей и отсекает подобный треугольник с коэффициентом $\frac12$. Отсюда известное свойство: средняя линия равна половине параллельной ей стороны.

Отношение периметров и площадей подобных фигур

Если коэффициент подобия равен $k$, то периметры относятся как $k$, а площади — как $k^2$: при увеличении сторон в 3 раза площадь вырастает в 9 раз.

С коэффициентом $k$ меняются все линейные элементы: стороны, высоты, медианы, биссектрисы, радиусы вписанной и описанной окружностей. Площадь же — произведение двух длин, например $\frac12 a h$, и каждая из них умножается на $k$. Отсюда $\frac{S_1}{S} = k^2$.

Пример со средней линией: площадь треугольника 60, средняя линия отсекает подобный треугольник с $k = \frac12$. Его площадь $60 \cdot \frac14 = 15$, а площадь оставшейся трапеции $60 - 15 = 45$. Обратите внимание: трапеция втрое больше маленького треугольника, а не равна ему, хотя средняя линия делит стороны пополам. Формулы площадей самих фигур собраны в материале площади треугольника, трапеции и других фигур.

Миф: «если стороны треугольника увеличить вдвое, площадь тоже увеличится вдвое». Это неверно: площадь увеличится в 4 раза. Линейной зависимости площади от коэффициента подобия не существует — только квадратичная.

Теорема Фалеса и пропорциональные отрезки

Теорема Фалеса — это утверждение о параллельных прямых: если на одной стороне угла они отсекают равные отрезки, то и на другой стороне отсекают равные отрезки.

Обобщённая теорема о пропорциональных отрезках сильнее: параллельные прямые делят стороны угла в одном и том же отношении. Если на одной стороне $AB : BC = 3 : 5$, а на другой весь отрезок $A_1C_1 = 24$, то на одну часть приходится $24 : 8 = 3$, и $A_1B_1 = 9$, $B_1C_1 = 15$.

Через теорему Фалеса делят отрезок на равные части циркулем и линейкой и доказывают, что средняя линия проходит через середину третьей стороны. Логически она близка к подобию: отрезки на сторонах угла пропорциональны, потому что отсекаемые треугольники подобны. Но для применения Фалеса треугольник не нужен — достаточно угла и параллельных прямых.

Практическое правило выбора такое. Если в условии спрашивают длину отрезка на стороне угла и известно, как делится другая сторона, — это теорема о пропорциональных отрезках, и пропорцию составляют из частей сторон. Если спрашивают длину самого параллельного отрезка, например $DE$, — нужен коэффициент подобия, и в пропорцию входят целые стороны. Смешивать эти две пропорции нельзя: $\frac{BD}{DA}$ и $\frac{DE}{AC}$ — разные отношения, и при $BD = 4$, $DA = 6$ первое равно $\frac23$, а второе — $\frac25$.

Подобие в прямоугольном треугольнике

Высота, проведённая из вершины прямого угла, делит прямоугольный треугольник на 2 треугольника, подобных исходному и друг другу.

Пусть $CH$ — высота к гипотенузе $AB$. Из подобия получаются три формулы:

$$CH^2 = AH \cdot HB, \qquad AC^2 = AB \cdot AH, \qquad BC^2 = AB \cdot HB.$$

Пример: $AH = 9$, $HB = 16$. Тогда $AB = 25$, $CH = \sqrt{9 \cdot 16} = 12$, $AC = \sqrt{25 \cdot 9} = 15$, $BC = \sqrt{25 \cdot 16} = 20$. Проверка: $15^2 + 20^2 = 625 = 25^2$ — сходится с теоремой Пифагора, которая, кстати, доказывается именно через эти формулы. Подробнее о ней — в статье теорема Пифагора и пифагоровы тройки.

Разбор задач

Чтобы применить подобие треугольников в задаче, достаточно 3 шагов: найти пару треугольников с двумя равными углами, правильно сопоставить вершины и составить пропорцию.

Задача 1. Высота фонаря

Человек ростом 1,8 м стоит на расстоянии 6 м от столба с фонарём, длина его тени — 3 м. Найдите высоту фонаря в метрах.

Столб и человек вертикальны, значит, параллельны, а луч от фонаря общий. Маленький треугольник «человек — тень» и большой «фонарь — расстояние до конца тени» имеют общий острый угол и прямые углы. Расстояние от столба до конца тени $6 + 3 = 9$ м, коэффициент $\frac93 = 3$, высота фонаря $1{,}8 \cdot 3 = 5{,}4$ м.

Задача 2. Диагонали трапеции

Основания трапеции $ABCD$ равны $AD = 12$ и $BC = 8$, диагонали пересекаются в точке $O$, $AC = 25$. Найдите $AO$.

Углы $OAD$ и $OCB$ равны как накрест лежащие при $AD \parallel BC$, углы при $O$ — как вертикальные. Значит, $\triangle AOD \sim \triangle COB$ с коэффициентом $\frac{12}{8} = 1{,}5$, и $AO : OC = 3 : 2$. Отсюда $AO = 25 \cdot \frac35 = 15$. Задачи такого типа с полным решением встречаются во второй части — см. разбор задания 23 ОГЭ.

Задачи с проверкой

Тренажёр вверху страницы — это 9 задач с автоматической проверкой: параллельная прямая, площади, периметры, высота к гипотенузе, тени, Фалес и трапеция.

Решайте на бумаге, вводите число и жмите «Проверить». Если ответ не совпал, откройте «Решение» и сравните, какие вершины вы сопоставили, — расхождение почти всегда там. Кнопка «Следующая задача →» листает задачи по кругу, поэтому через несколько дней можно пройти их снова без подсказок.

Когда этот метод не поможет

Не каждую задачу с пропорциями нужно решать через подобные треугольники — вот 4 случая, когда метод не поможет или не применим.

• Если у двух треугольников равен только 1 угол и про стороны ничего не известно, вывода сделать нельзя.
• Если известны 2 стороны и угол не между ними, второй признак не работает.
• Если в задаче нужна площадь произвольного четырёхугольника с 4 разными углами, отношение $k^2$ верно только для подобных фигур, а не для любых двух.
• Если отношение сторон равно 1, треугольники равны, и проще использовать признаки равенства из темы равенство треугольников.

Чего делать нельзя

Нельзя составлять пропорцию «на глаз»: почти все ошибки в этой теме — неверное соответствие сторон.

• Нельзя делить площади в отношении $k$: площади относятся как $k^2$.
• Нельзя брать в пропорцию отрезок $DA$ вместо всей стороны $BA$ при параллельной прямой.
• Не следует сопоставлять стороны по длине: сходственными являются стороны против равных углов.
• Не следует считать треугольники подобными по одному углу.
• Не стоит извлекать корень из отношения периметров: корень нужен только для перехода от площадей к сторонам.

Источники

[1] Атанасян Л. С., Бутузов В. Ф., Кадомцев С. Б. и др. Геометрия. 7–9 классы. — М.: Просвещение.

[2] ФИПИ. Кодификатор проверяемых требований к результатам освоения основной образовательной программы основного общего образования и элементов содержания для проведения ОГЭ по математике (проект, 2027). — М.: ФИПИ, 2026.

[3] Прасолов В. В. Задачи по планиметрии. — М.: МЦНМО.

[4] ФИПИ. Демонстрационный вариант контрольных измерительных материалов основного государственного экзамена 2027 года по математике (проект). — М.: ФИПИ, 2026.

Вопросы и ответы

Где на экзамене встречается подобие треугольников?

В ОГЭ она входит в геометрический раздел кодификатора ФИПИ^[2] и чаще всего встречается в задаче 23 второй части, а также в заданиях 15 и 17. В ЕГЭ — в планиметрии первой части и в задаче с доказательством на 3 балла.

Чем отличаются признаки подобия от признаков равенства?

В признаках равенства стороны равны, а в признаках подобия — пропорциональны. Кроме того, для подобия хватает 2 равных углов без единой стороны.

Как найти коэффициент, если известны только площади?

Нужно извлечь корень из отношения площадей: при площадях 50 и 18 отношение равно $\frac{25}{9}$, и коэффициент — $\frac53$.

Подобны ли любые два равносторонних треугольника?

Да — у них все углы по 60°, а для подобия хватает равенства двух углов. То же верно для двух равнобедренных прямоугольных треугольников.

Где взять сложные задачи на эту тему?

Для ЕГЭ и олимпиадного уровня подходит сборник Прасолова^[3] — в нём есть отдельная глава о подобных треугольниках. Для ОГЭ достаточно учебника и проекта демоверсии ФИПИ^[4].

Нужно ли в ответе писать коэффициент?

В задании с кратким ответом — нет, в бланк идёт только искомое число. В решении второй части коэффициент лучше записать явно: это 1 строка, которая делает пропорцию проверяемой.