Квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов: как применять

Формулировка и формулы для катета и гипотенузы

Теорема Пифагора — это утверждение о прямоугольном треугольнике: квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов. Гипотенуза лежит против прямого угла, катеты образуют прямой угол.

Из одной формулы получаются две рабочие:

$$c = \sqrt{a^2 + b^2}, \qquad a = \sqrt{c^2 - b^2}.$$

Гипотенузу находят через сумму квадратов, катет — через разность. Пример: катеты 9 и 12, тогда гипотенуза $\sqrt{81 + 144} = \sqrt{225} = 15$. Другой пример: гипотенуза 26, один катет 10, тогда второй катет $\sqrt{676 - 100} = \sqrt{576} = 24$.

Без калькулятора удобно раскладывать разность квадратов: $26^2 - 10^2 = (26 - 10)(26 + 10) = 16 \cdot 36$, а корень из произведения двух квадратов считается сразу: $4 \cdot 6 = 24$. Этот приём экономит минуту на каждой задаче и снижает риск ошибки в умножении больших чисел. Таблица квадратов двузначных чисел тоже помогает, но разложение работает быстрее.

Важная проверка: гипотенуза всегда длиннее любого катета. Если у вас катет получился больше гипотенузы или под корнем вышло отрицательное число, значит, катет и гипотенуза перепутаны местами.

Формула верна только при прямом угле, и это не формальность. Для треугольника со сторонами 5 и 6 и углом между ними 60° третья сторона равна $\sqrt{31}$, а не $\sqrt{61}$: разница больше двух единиц. Поэтому перед вычислением стоит задать себе один вопрос — где прямой угол и какая сторона лежит против него. Если ответа нет, применять теорему нельзя.

Почему это верно: доказательство через площади

Самое наглядное доказательство — через площади: квадрат со стороной $a + b$ разрезают двумя способами и сравнивают результаты.

Внутри большого квадрата со стороной $a + b$ расставим четыре одинаковых прямоугольных треугольника с катетами $a$ и $b$ так, чтобы их гипотенузы образовали внутренний квадрат со стороной $c$. Площадь большого квадрата можно записать как $(a + b)^2$ или как сумму площади внутреннего квадрата и четырёх треугольников:

$$(a + b)^2 = c^2 + 4 \cdot \frac{ab}{2}.$$

Раскрываем скобки: $a^2 + 2ab + b^2 = c^2 + 2ab$, и после сокращения $2ab$ остаётся $a^2 + b^2 = c^2$. В учебнике Атанасяна^[1] используется похожее рассуждение через площади, а в теме подобия теорему выводят ещё раз — из пропорций для высоты, проведённой к гипотенузе. Этот второй путь разобран в статье подобные треугольники и их признаки.

Пифагоровы тройки: какие запомнить

Пифагорова тройка — это три натуральных числа $a$, $b$, $c$, для которых $a^2 + b^2 = c^2$; самая известная тройка — 3, 4, 5.

Составители задач любят целые ответы, поэтому длины сторон почти всегда берут из троек. Узнав тройку, ответ можно написать без вычислений, а вычисление оставить для проверки.

Все такие тройки можно получить по формулам $a = m^2 - n^2$, $b = 2mn$, $c = m^2 + n^2$ при натуральных $m > n$. При $m = 2$, $n = 1$ выходит 3, 4, 5; при $m = 3$, $n = 2$ — 5, 12, 13; при $m = 4$, $n = 1$ — 15, 8, 17. Запоминать формулу не обязательно, но она объясняет, почему троек бесконечно много.

Миф: «если две стороны треугольника равны 3 и 4, то третья обязательно 5». Это неверно: 5 получится, только если угол между сторонами 3 и 4 прямой. Если же 4 — гипотенуза, то катет равен $\sqrt{7}$, а при непрямом угле третья сторона может быть любой от 1 до 7, не включая концы.

Обратная теорема: как узнать прямой угол

Обратная теорема — это признак прямоугольного треугольника: если квадрат одной стороны равен сумме квадратов двух других, то угол против этой стороны прямой.

Проверка всегда начинается с наибольшей стороны. Для треугольника 20, 48, 52 получаем $400 + 2304 = 2704 = 52^2$ — угол против стороны 52 прямой. Если равенства нет, сравнение подскажет вид треугольника: при $c^2 > a^2 + b^2$ угол против $c$ тупой, при $c^2 < a^2 + b^2$ — все углы острые.

Примеры: у треугольника 7, 8, 11 сумма $49 + 64 = 113$ меньше $121$, значит, он тупоугольный; у треугольника 9, 10, 13 сумма $81 + 100 = 181$ больше $169$, значит, остроугольный. Это следствие теоремы косинусов, которая обобщает Пифагора на любые треугольники.

Сравнивать нужно только квадрат наибольшей стороны с суммой квадратов двух других. Если взять не ту сторону, неравенство выполнится всегда и ничего не скажет о виде треугольника. И ещё одно ограничение: три числа вообще задают треугольник, только если наибольшее меньше суммы двух других, — для 2, 3, 6 проверять угол не имеет смысла.

Где теорема Пифагора нужна на экзамене

Теорема Пифагора — это инструмент, который прячется в 5–6 разных типах задач: расстояния, диагонали, высоты, стороны ромба и длины векторов.

• Высота равнобедренного треугольника. Высота к основанию делит его пополам, и получается прямоугольный треугольник с половиной основания в роли катета.
• Диагональ прямоугольника и квадрата. Диагональ квадрата со стороной $a$ равна $a\sqrt2$.
• Сторона ромба. Диагонали ромба перпендикулярны и делятся пополам, сторона — гипотенуза с катетами из половин диагоналей.
• Расстояние между точками. $d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$ — та же формула в координатах, подробнее в теме метод координат на плоскости.
• Боковая сторона трапеции. Высота отсекает прямоугольный треугольник, один катет которого — разность оснований или её половина.

В ОГЭ теорема встречается в практическом блоке — расстояния на плане в задании 4 ОГЭ — и в геометрии: в задании 15 о треугольниках, в четырёхугольниках и на клетчатой бумаге. По кодификатору ФИПИ^[2] она относится к обязательным элементам содержания курса геометрии.

Разбор задач

Чтобы применить формулу, нужно сначала увидеть прямой угол: в половине задач его нет в условии, и прямоугольный треугольник приходится строить высотой или диагональю.

Задача 1. Высота равнобедренного треугольника

Основание равнобедренного треугольника равно 16, боковая сторона равна 10. Найдите высоту, проведённую к основанию.

Высота делит основание на два отрезка по 8. В прямоугольном треугольнике гипотенуза 10, известный катет 8, искомый катет $\sqrt{100 - 64} = 6$. Узнаётся тройка 6, 8, 10. Ответ: 6.

Задача 2. Лестница у стены

Лестницу длиной 2,5 м приставили к стене так, что её нижний конец находится в 0,7 м от стены. На какой высоте находится верхний конец? Ответ дайте в метрах.

Перейдём к дециметрам: 25 и 7. Это тройка 7, 24, 25, значит, высота 24 дм, то есть 2,4 м. Проверка: $2{,}4^2 + 0{,}7^2 = 5{,}76 + 0{,}49 = 6{,}25 = 2{,}5^2$. Ответ: 2,4.

Задача 3. Сторона ромба

Диагонали ромба равны 10 и 24. Найдите сторону ромба.

Половины диагоналей — 5 и 12, они перпендикулярны. Сторона $\sqrt{25 + 144} = 13$ — тройка 5, 12, 13. Ответ: 13.

Генератор и задачи с проверкой

Под заголовком страницы — генератор «Тренажёр · № 15 ОГЭ · бесконечные варианты»: он выдаёт три типа задач о треугольниках — гипотенуза по двум катетам, катет через синус и третий угол по двум данным.

Числа меняются при каждом нажатии «Следующая задача →», кнопка «Решение» показывает разбор, а полоска внизу запоминает последние ответы. Ниже, в блоке «Задачи с проверкой», собраны 9 задач именно на применение теоремы: лестница, диагонали, ромб, трапеция, координаты и обратная теорема. Разумный план — 10 задач генератора, затем все 9 задач блока.

Когда эта формула не подходит

Не каждый треугольник решается этой формулой — она верна только для прямоугольного, и вот 4 типичных случая, когда её применять нельзя.

• Если в треугольнике нет угла 90°, сумма квадратов двух сторон не равна квадрату третьей — нужна теорема косинусов.
• Если известна только 1 сторона прямоугольного треугольника и острый угол, понадобятся синус, косинус или тангенс.
• Если прямой угол «виден» на рисунке, но не дан в условии, сначала докажите его: чертёж может быть неточным на 5–10°.
• Если ответ получился с корнем, а в бланк нужно целое число или десятичная дробь, проверьте, не перепутаны ли 2 стороны.

Чего делать нельзя

Нельзя подставлять числа в формулу, не определив, какая сторона — гипотенуза: это главная причина потерянных баллов в теме.

• Нельзя складывать квадраты, если ищется катет: для катета квадраты вычитают.
• Нельзя применять формулу к непрямоугольному треугольнику.
• Не следует извлекать корень из каждого слагаемого: $\sqrt{a^2 + b^2} \ne a + b$.
• Не следует возводить в квадрат большие числа «в лоб», когда есть разность квадратов или узнаваемая тройка.
• Не стоит писать в бланк ответ с корнем: в заданиях с кратким ответом он не засчитывается.

Источники

[1] Атанасян Л. С., Бутузов В. Ф., Кадомцев С. Б. и др. Геометрия. 7–9 классы. — М.: Просвещение.

[2] ФИПИ. Кодификатор проверяемых требований к результатам освоения основной образовательной программы основного общего образования и элементов содержания для проведения ОГЭ по математике (проект, 2027). — М.: ФИПИ, 2026.

[3] Федеральная образовательная программа основного общего образования (утв. приказом Минпросвещения России от 18.05.2023 № 370).

[4] Roediger H. L., Karpicke J. D. Test-enhanced learning: taking memory tests improves long-term retention // Psychological Science. 2006. Vol. 17, No. 3. P. 249–255.

Вопросы и ответы

В каком классе изучают эту теорему?

По федеральной образовательной программе^[3] — в 8 классе, в теме «Площади». Дальше она нужна во всей геометрии 8–11 классов, включая стереометрию.

Работает ли теорема Пифагора для любого треугольника?

Нет — только для прямоугольного. Для остальных используют теорему косинусов, в которой при угле 90° лишнее слагаемое обращается в ноль.

Нужно ли учить пифагоровы тройки наизусть?

Достаточно 4–5 основных: 3, 4, 5; 5, 12, 13; 8, 15, 17; 7, 24, 25 и их кратных. Остальные легко проверить вычислением.

Что делать, если под корнем не полный квадрат?

В задании с кратким ответом это сигнал ошибки — перепроверьте, где гипотенуза. Во второй части ответ вида $2\sqrt{5}$ допустим и оставляется в таком виде.

Как закрепить тему быстрее?

Решать задачи без подсказки полезнее, чем перечитывать формулу: эксперимент Roediger и Karpicke^[4] показал, что проверочное воспроизведение лучше сохраняет материал. Поэтому генератор с проверкой эффективнее конспекта.

Пифагор открыл эту теорему?

Частные случаи соотношения — например, тройка 3, 4, 5 — были известны задолго до Пифагора. Его школе традиционно приписывают общее доказательство, отсюда и название.