Задание 15 ОГЭ по математике: треугольники и углы

Что проверяет задание 15 и сколько оно стоит

Задание 15 — это задача базового уровня с кратким ответом на свойства треугольника: сумму углов, равнобедренный треугольник, теорему Пифагора, тригонометрию острого угла, площадь, медиану и биссектрису. По спецификации ФИПИ за верный ответ ставится 1 первичный балл^[1].

Номер относится к геометрическому блоку варианта вместе с заданиями 16–19 и 23–25. Рекомендуемая шкала ФИПИ требует не менее 2 баллов именно за геометрию для любой отметки выше «2»^[2], поэтому треугольники — самый короткий путь к этому порогу: формул немного, а задачи однотипны. Обычно на задачу хватает 3–5 минут, если правильно выбрать формулу.

Задание не требует оформления: проверяется только число в бланке. Но черновой рисунок с подписанными вершинами решает половину успеха — большинство ошибок связано с тем, что ученик перепутал, против какого угла лежит сторона.

Какие треугольники встречаются на экзамене

Если сгруппировать задачи открытого банка ФИПИ по смыслу, получится 6 типов: углы, равнобедренный треугольник, прямоугольный треугольник с теоремой Пифагора, тригонометрия острого угла, площадь и элементы треугольника (медиана, биссектриса, средняя линия).

Тип задачи	Что дано	Ключевой факт
Углы треугольника	два угла или внешний угол	сумма углов 180°; внешний угол равен сумме двух несмежных
Равнобедренный треугольник	угол при вершине или при основании	углы при основании равны; медиана к основанию — высота и биссектриса
Теорема Пифагора	два катета или катет и гипотенуза	$c^2 = a^2 + b^2$
Тригонометрия	сторона и синус, косинус или тангенс	$\sin A = \frac{a}{c}$ , $\cos A = \frac{b}{c}$ , $\operatorname{tg} A = \frac{a}{b}$
Площадь	основание и высота или две стороны и угол	$S = \frac12 a h$ , $S = \frac12 ab \sin C$
Элементы треугольника	медиана, биссектриса, средняя линия	средняя линия равна половине параллельной стороны

Подробная теория по каждому факту собрана отдельно: теорема Пифагора и пифагоровы тройки, синус, косинус и тангенс острого угла, свойства медианы, биссектрисы и высоты. Здесь — только то, что нужно для уверенного решения на экзамене.

Разбор типовых задач

Чтобы решать такие задачи быстро, полезно держать в голове 3 сценария: найти угол, найти сторону, найти площадь. Ниже по одной задаче на каждый сценарий — с рассуждением, которое стоит проговаривать на экзамене.

Задача 1. Угол равнобедренного треугольника

В треугольнике $ABC$ известно, что $AB = BC$ , а угол $ABC$ равен $48^\circ$ . Найдите угол $BCA$ . Ответ дайте в градусах.

Раз $AB = BC$ , треугольник равнобедренный с основанием $AC$ , и углы при основании равны. На них приходится $180^\circ - 48^\circ = 132^\circ$ , значит, каждый равен $132^\circ : 2 = 66^\circ$ . Ответ: 66. Частая ловушка — решить, что основание $AB$ : по равенству сторон всегда видно, какая сторона «лишняя», это и есть основание.

Задача 2. Катет через синус

В треугольнике $ABC$ угол $C$ прямой, $AB = 25$ , $\sin A = 0{,}28$ . Найдите $BC$ .

Синус острого угла — отношение противолежащего катета к гипотенузе. Против угла $A$ лежит катет $BC$ , гипотенуза — $AB$ . Получаем $BC = AB \cdot \sin A = 25 \cdot 0{,}28 = 7$ . Проверка здравым смыслом: катет меньше гипотенузы, а пара 7 и 25 — из тройки 7, 24, 25. Ответ: 7.

Задача 3. Площадь через две стороны и угол

В треугольнике две стороны равны 12 и 9, а угол между ними равен $30^\circ$ . Найдите площадь треугольника.

Формула $S = \frac12 ab \sin C$ даёт $\frac12 \cdot 12 \cdot 9 \cdot \frac12 = 27$ . Эта формула есть в справочных материалах ОГЭ, но нужно помнить, что $\sin 30^\circ = \frac12$ : значения синусов основных углов на экзамене не всегда под рукой. Ответ: 27.

Задача 4. Внешний угол

В треугольнике $ABC$ угол $A$ равен $37^\circ$ , угол $B$ равен $81^\circ$ . Найдите внешний угол при вершине $C$ . Ответ дайте в градусах.

Внешний угол равен сумме двух внутренних углов, не смежных с ним: $37^\circ + 81^\circ = 118^\circ$ . Тот же ответ даёт и «длинный» путь: внутренний угол $C$ равен $180^\circ - 118^\circ = 62^\circ$ , а внешний — $180^\circ - 62^\circ = 118^\circ$ . Совпадение двух способов — лучшая самопроверка. Ответ: 118.

Миф: «в задании 15 бывают только прямоугольные треугольники, достаточно выучить теорему Пифагора». Это неверно: в демоверсиях и открытом банке встречаются и равнобедренные треугольники, и внешние углы, и площадь через синус. Одной формулы не существует — нужен набор из 6 фактов из таблицы выше.

Генератор задач: тренируем номер до автоматизма

Тренажёр вверху страницы — это бесконечный набор задач в экзаменационном формате: катет через синус, третий угол треугольника и гипотенуза по двум катетам. Числа меняются при каждом нажатии «Следующая задача →», а кнопка «Решение» показывает разбор.

Удобная норма: решить подряд 10 задач и набрать не менее 8 верных. Если ошибки повторяются в одном типе, вернитесь к таблице и разбору выше. История ответов попадает в карту слабых тем, где этот номер подсветится зелёным, когда точность станет выше 80%.

Генератор не заменяет задачи из сборников: в нём нет внешних углов и средних линий. Поэтому после него стоит прорешать 15–20 задач с разными формулировками из учебника Атанасяна^[3] или типовых вариантов.

Типичные ошибки и как их ловить

Ошибки здесь почти всегда одни и те же — их 5, и каждую можно поймать проверкой за 30 секунд до переноса ответа в бланк.

Перепутан катет. Синус — противолежащий катет к гипотенузе, косинус — прилежащий. Подпишите на рисунке, какой катет «напротив» угла.
Гипотенуза меньше катета. Если так вышло, ошибка в формуле: гипотенуза всегда самая длинная сторона прямоугольного треугольника.
Угол больше 180°. Сумма двух найденных углов треугольника не может быть 180° и больше — проверьте вычитание.
Забыта половина. В формулах площади треугольника множитель $\frac12$ теряют чаще всего.
Ответ с единицами. В бланк пишут только число: «66», а не «66°» и не «66 градусов».

Миф: «если ответ получился дробным, задача решена неверно». Не подтверждается: ответ в этом номере может быть десятичной дробью, например 7,5. Неверно только то, что нельзя записать в бланк, — бесконечная дробь или корень. В этом случае перепроверьте вычисления.

Когда этот разбор не поможет

Не каждая трудность с треугольниками решается тренировкой номера — иногда причина глубже, и тогда быстрее вернуться к теме целиком.

Если больше 3 из 10 ошибок — в действиях с дробями, сначала нужна тема действия с дробями, а не треугольники.
Если не получается найти угол даже в 2 шага, стоит повторить углы при параллельных прямых и сумму углов треугольника.
Если до экзамена меньше 2 недель, а геометрия «ноль», разумнее закрыть минимум заданиями 17 и 18, где формулы проще.
Если путаются синус и косинус после 20 задач подряд, поможет не генератор, а таблица и рисунок, построенные вручную 5–6 раз.

Чего делать нельзя

Нельзя терять балл на оформлении: ответ проверяет машина, и любое лишнее слово в клеточках бланка делает его неверным.

Нельзя писать в бланке единицы измерения, знак градуса или слово «см».
Нельзя решать без рисунка: даже схематичный треугольник с подписями снижает число ошибок.
Не следует подставлять значения синуса «по памяти», если не уверены: проще проверить по справочным материалам.
Не стоит мерить углы линейкой на рисунке в задании — чертёж в КИМ не обязан быть точным.
Не допускается записывать ответ в виде обыкновенной дроби или корня: только целое число или десятичная дробь.

Как записать ответ в бланк

Ответ — одно число, которое записывается в бланк ответов № 1 начиная с первой клеточки, по одному символу в клетке. Десятичную дробь пишут через запятую, запятая занимает отдельную клеточку.

Перед переносом сравните ответ с рисунком: угол около 60° на чертеже не может дать ответ 120, а катет не может быть длиннее гипотенузы. Подробнее о правилах — в материале как заполнять бланк ответов. Дальше логично перейти к окружности в соседнем номере — там те же углы, но вписанные и центральные, и половина приёмов уже знакома по треугольникам.

Источники

[1] ФИПИ. Спецификация контрольных измерительных материалов для проведения в 2026 году основного государственного экзамена по математике. — М.: ФИПИ, 2025.

[2] ФИПИ. Рекомендации по использованию и интерпретации результатов выполнения экзаменационных работ для проведения ГИА по образовательным программам основного общего образования в 2026 году (приложение к письму Рособрнадзора от 25.02.2026 № 02-20).

[3] Атанасян Л. С., Бутузов В. Ф., Кадомцев С. Б. и др. Геометрия. 7–9 классы. — М.: Просвещение.

[4] ФИПИ. Демонстрационный вариант контрольных измерительных материалов основного государственного экзамена 2027 года по математике (проект). — М.: ФИПИ, 2026.

Вопросы и ответы

Сколько баллов даёт задание 15 ОГЭ?

Один первичный балл. При этом он засчитывается в геометрию, а без 2 геометрических баллов отметка «2» ставится при любом общем результате.

Какие формулы нужно знать наизусть?

Сумму углов треугольника, свойства равнобедренного треугольника, теорему Пифагора, определения синуса, косинуса и тангенса и значения синусов углов 30°, 45°, 60°. Формулы площади есть в справочных материалах.

Можно ли пользоваться калькулятором?

Нет, калькулятор на ОГЭ по математике запрещён. Числа в задачах подобраны так, чтобы всё считалось в уме или столбиком.

Ответ получился с корнем — что делать?

Корень в бланк записать нельзя, значит, где-то ошибка: чаще всего перепутаны катет и гипотенуза в теореме Пифагора. Пересчитайте, какая сторона лежит против прямого угла.

Чем задание 15 отличается от задания 23?

Задание 23 — задача второй части с полным решением на 2 балла, обычно на подобие или тригонометрию в несколько шагов. Задание 15 — одна-две формулы и краткий ответ, без записи решения.

Сколько задач нужно решить для стабильного результата?

Ориентир — 40–60 задач всех 6 типов с разбором ошибок. Решайте их порциями по 10 с перерывами в несколько дней: такое распределённое повторение запоминается лучше, чем одна длинная тренировка.