Синус, косинус и тангенс острого угла: определения и задачи

Q: Нужна ли эта тема в профильном ЕГЭ?

Да — по проекту спецификации ФИПИ [3] 2027 года планиметрия остаётся в задании 1 и в задаче с доказательством на 3 балла, и отношения сторон там постоянно нужны.

Определения: какой катет куда

Синус острого угла — это отношение противолежащего катета к гипотенузе; косинус — прилежащего катета к гипотенузе; тангенс — противолежащего катета к прилежащему.

Пусть в треугольнике $ABC$ угол $C$ прямой. Для угла $A$ противолежащий катет — $BC$ (он напротив вершины $A$ ), прилежащий — $AC$ (он является стороной угла $A$ ), гипотенуза — $AB$ :

$\sin A = \frac{BC}{AB}, \quad \cos A = \frac{AC}{AB}, \quad \operatorname{tg} A = \frac{BC}{AC}, \quad \operatorname{ctg} A = \frac{AC}{BC}.$

Запомнить помогает сами слова: прилежащий катет «лежит при» угле, то есть выходит из его вершины, а противолежащий лежит напротив. Котангенс — перевёрнутый тангенс: прилежащий катет к противолежащему. В школьных задачах он встречается реже, но в справочных материалах обычно стоит рядом с тангенсом.

Принципиальный момент: эти отношения зависят только от величины угла, а не от размеров треугольника. Два прямоугольных треугольника с одинаковым острым углом подобны, и отношения их сторон совпадают — подробнее в материале о подобии треугольников. Именно поэтому синус угла $30^\circ$ один и тот же и в школьной тетради, и в чертеже моста.

Из определений сразу следует ограничение: синус и косинус острого угла лежат строго между 0 и 1, потому что катет короче гипотенузы. Тангенс может быть любым положительным числом: при угле меньше $45^\circ$ он меньше 1, при угле больше $45^\circ$ — больше 1.

Значения для углов 30°, 45° и 60°

Для трёх углов — 30°, 45° и 60° — значения нужно знать наизусть, потому что на них построена половина экзаменационных задач.

Угол	$\sin$	$\cos$	$\operatorname{tg}$
$30^\circ$	$\frac12$	$\frac{\sqrt3}{2}$	$\frac{\sqrt3}{3}$
$45^\circ$	$\frac{\sqrt2}{2}$	$\frac{\sqrt2}{2}$	$1$
$60^\circ$	$\frac{\sqrt3}{2}$	$\frac12$	$\sqrt3$

Таблицу не обязательно зубрить — её можно вывести за минуту. Угол $45^\circ$ даёт равнобедренный прямоугольный треугольник с катетами 1 и гипотенузой $\sqrt2$ , откуда тангенс равен 1, а синус и косинус — $\frac{1}{\sqrt2} = \frac{\sqrt2}{2}$ . Для $30^\circ$ и $60^\circ$ берём половину равностороннего треугольника со стороной 2: гипотенуза 2, катет против $30^\circ$ равен 1, второй катет $\sqrt3$ . Более подробная таблица с другими углами — в справочнике значения тригонометрических функций.

Миф: «если гипотенуза короткая, синус может оказаться больше 1». Это неверно: синус острого угла — отношение катета к гипотенузе, а катет всегда короче. Значений синуса больше 1 не бывает, и такой результат означает ошибку в выборе сторон.

Связь синуса, косинуса и тангенса

Между функциями одного угла есть 3 главные связи, и любая из них позволяет по одному значению найти два других.

Основное тождество. $\sin^2 A + \cos^2 A = 1$ — это теорема Пифагора, делённая на квадрат гипотенузы.
Тангенс через синус и косинус. $\operatorname{tg} A = \frac{\sin A}{\cos A}$ — гипотенуза в отношении сокращается.
Дополнительные углы. Острые углы $A$ и $B$ в сумме дают $90^\circ$ , поэтому $\sin A = \cos B$ и $\operatorname{tg} A = \operatorname{ctg} B$ : противолежащий катет одного угла — прилежащий для другого.

Пример: $\cos A = 0{,}8$ . Тогда $\sin^2 A = 1 - 0{,}64 = 0{,}36$ и $\sin A = 0{,}6$ (угол острый, корень берём положительный). Тангенс $\operatorname{tg} A = \frac{0{,}6}{0{,}8} = 0{,}75$ . Получилась тройка 3, 4, 5, уменьшенная в 5 раз. Ещё одна формула пригодится, когда известен только тангенс: $1 + \operatorname{tg}^2 A = \frac{1}{\cos^2 A}$ .

Как найти сторону по углу и стороне

Чтобы найти неизвестную сторону, выберите то отношение, в котором участвуют одна известная сторона и одна искомая, — третья сторона в нём не нужна.

Известно	Ищем	Формула
гипотенуза $c$	противолежащий катет	$a = c \sin A$
гипотенуза $c$	прилежащий катет	$b = c \cos A$
прилежащий катет $b$	противолежащий катет	$a = b \operatorname{tg} A$
противолежащий катет $a$	гипотенуза	$c = \frac{a}{\sin A}$

Пример: $AB = 20$ , $\sin A = 0{,}35$ , угол $C$ прямой. Ищем $BC$ — противолежащий катет, значит, $BC = 20 \cdot 0{,}35 = 7$ . Если бы искали $AC$ , понадобился бы косинус или теорема Пифагора: $\sqrt{400 - 49} = \sqrt{351}$ — это не целое число, и такой вопрос в задании с кратким ответом не задали бы.

У тангенса есть бытовой смысл — это уклон. Дорожный знак «уклон 10%» означает, что на 100 м по горизонтали дорога поднимается на 10 м, то есть тангенс угла подъёма равен 0,1. Пандус с уклоном 1 : 12 поднимается на 1 см на каждые 12 см по горизонтали: его тангенс $\frac{1}{12}$ . Такие сюжеты встречаются в практических задачах, и решаются они той же формулой $a = b \operatorname{tg} A$ : высота подъёма равна горизонтальному расстоянию, умноженному на тангенс. Если же дана длина самого пандуса, а не его проекция, это уже гипотенуза, и нужен синус. Перепутать проекцию с наклонной длиной — частая ошибка: при малых углах разница невелика, но ответ в бланке не совпадёт.

Разбор задач

Если в задаче дан угол в градусах, а не значение функции, сначала проверьте, не 30°, 45° или 60° ли это: почти всегда дело сводится к таблице.

Задача 1. Гипотенуза через косинус

В треугольнике $ABC$ угол $C$ прямой, $AC = 8$ , $\cos A = 0{,}4$ . Найдите $AB$ .

Косинус — прилежащий катет к гипотенузе: $\cos A = \frac{AC}{AB}$ . Отсюда $AB = \frac{8}{0{,}4} = 20$ . Проверка: гипотенуза больше катета, всё в порядке. Ответ: 20.

Задача 2. Равнобедренный треугольник

Основание равнобедренного треугольника равно 16, боковая сторона равна 10. Найдите тангенс угла при основании.

Проводим высоту к основанию: она делит основание на отрезки по 8 и равна $\sqrt{100 - 64} = 6$ . Для угла при основании противолежащий катет — высота 6, прилежащий — половина основания 8: $\operatorname{tg} = \frac68 = 0{,}75$ . Ответ: 0,75.

Задача 3. Угол наклона

Лестница длиной 4 м приставлена к стене под углом $60^\circ$ к земле. На каком расстоянии от стены стоит её нижний конец?

Расстояние до стены прилежит к углу $60^\circ$ , лестница — гипотенуза: $4 \cdot \cos 60^\circ = 4 \cdot \frac12 = 2$ м. Ответ: 2.

Тренажёр и задачи с проверкой

Под заголовком страницы — «Тренажёр · № 1 ЕГЭ профиль · бесконечные варианты»: он чередует 3 типа задач первой части — катет через косинус, угол равнобедренного треугольника и угол вписанного четырёхугольника.

Нажимайте «Проверить» после ввода ответа, «Решение» — чтобы увидеть разбор, и «Следующая задача →» для новых чисел. Ниже, в блоке «Задачи с проверкой», 9 задач именно на эту тему: катет через синус и тангенс, гипотенуза, основное тождество, лестница и равнобедренный треугольник.

Загружаем тренажёр…

Где эта тема встречается на экзамене

Тригонометрия прямоугольного треугольника — это обязательный элемент кодификатора ФИПИ^[2] для ОГЭ и базовая часть планиметрии ЕГЭ.

В ОГЭ она чаще всего встречается в задании 15 о треугольниках и в геометрической задаче на вычисление второй части. В ЕГЭ — в планиметрии базового уровня и в задании 1 профильного ЕГЭ. Для непрямоугольных треугольников те же функции работают через теоремы синусов и косинусов — это следующий шаг, разобранный в статье теорема синусов и теорема косинусов.

Когда определение через катеты не подходит

Не любой угол и не любой треугольник описываются отношениями катетов — вот 4 случая, когда определения через прямоугольный треугольник не работают.

Если угол больше 90°, катетов для него нет: синус и косинус тупого угла определяют через единичную окружность.
Если в треугольнике нет угла 90°, отношение двух его сторон не равно синусу — нужна теорема синусов.
Если угол равен 0° или 90°, прямоугольного треугольника с таким острым углом не существует.
Если известны только 2 угла и ни одной стороны, можно найти отношения сторон, но не их длины.

Чего делать нельзя

Нельзя начинать вычисления, не подписав на рисунке, какой катет противолежащий, а какой прилежащий: большинство ошибок именно здесь.

Нельзя путать синус и косинус: синус — противолежащий катет, косинус — прилежащий.
Нельзя делить гипотенузу на синус, когда ищется катет: катет равен гипотенузе, умноженной на синус.
Не следует брать отрицательный корень из основного тождества для острого угла.
Не следует применять определения через катеты к тупоугольному треугольнику.
Не стоит мерить углы на чертеже транспортиром: рисунок в варианте не обязан быть точным.

Источники

[1] Атанасян Л. С., Бутузов В. Ф., Кадомцев С. Б. и др. Геометрия. 7–9 классы. — М.: Просвещение.

[2] ФИПИ. Кодификатор проверяемых требований к результатам освоения основной образовательной программы основного общего образования и элементов содержания для проведения ОГЭ по математике (проект, 2027). — М.: ФИПИ, 2026.

[3] ФИПИ. Спецификация контрольных измерительных материалов для проведения в 2027 году единого государственного экзамена по математике. Профильный уровень (проект). — М.: ФИПИ, 2026.

[4] Cepeda N. J., Pashler H., Vul E., Wixted J. T., Rohrer D. Distributed practice in verbal recall tasks: a review and quantitative synthesis // Psychological Bulletin. 2006. Vol. 132, No. 3. P. 354–380.

Вопросы и ответы

В каком классе проходят синус, косинус и тангенс?

Для острого угла прямоугольного треугольника — в 8 классе, по учебнику Атанасяна^[1] сразу после подобия. В 9 классе определения расширяют на углы до 180°.

Что больше — синус или косинус?

Зависит от угла: при угле меньше 45° косинус больше синуса, при угле больше 45° — наоборот, а при 45° они равны.

Можно ли найти угол по значению синуса без таблиц?

Только для табличных значений — 1/2, √2/2, √3/2. В остальных случаях в школьных задачах угол не ищут, а работают со значением функции.

Нужна ли эта тема в профильном ЕГЭ?

Да — по проекту спецификации ФИПИ^[3] 2027 года планиметрия остаётся в задании 1 и в задаче с доказательством на 3 балла, и отношения сторон там постоянно нужны.

Почему в ответе получилась бесконечная дробь?

В задании с кратким ответом это почти всегда ошибка — чаще всего синус перепутан с косинусом или катет поделён вместо умножения. Пересчитайте, подписав стороны на рисунке.

Как запомнить определения надолго?

Повторять их порциями с перерывами в несколько дней: обзор Cepeda и соавторов^[4] показывает, что распределённое повторение эффективнее занятий подряд. 10 задач раз в 3 дня полезнее 30 задач за один вечер.