Решение произвольного треугольника по теоремам синусов и косинусов

Теорема косинусов: формула и смысл

Теорема косинусов — это обобщение теоремы Пифагора: квадрат стороны равен сумме квадратов двух других сторон минус их удвоенное произведение на косинус угла между ними.

$$c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos C.$$

Если угол $C$ прямой, $\cos 90^\circ = 0$, последнее слагаемое исчезает, и остаётся теорема Пифагора. Если угол острый, косинус положителен, и сторона $c$ короче, чем была бы при прямом угле. Если угол тупой, косинус отрицателен, минус превращается в плюс, и сторона длиннее.

Пример с тупым углом: стороны 7 и 8, угол между ними $120^\circ$. Косинус $120^\circ$ равен $-\frac12$, поэтому $c^2 = 49 + 64 - 2 \cdot 7 \cdot 8 \cdot \left(-\frac12\right) = 49 + 64 + 56 = 169$, и $c = 13$. Если ошибочно взять $\cos 120^\circ = \frac12$, получится $c^2 = 57$ — ответ, который в бланк не запишешь, и это хороший сигнал ошибки знака.

Доказывается теорема через высоту: она делит треугольник на два прямоугольных, к каждому применяют теорему Пифагора, а проекцию стороны выражают через косинус. Так доказательство изложено в учебнике Атанасяна^[1] для 9 класса, а сама формула — частный случай скалярного произведения векторов.

Как найти угол по трём сторонам

Если известны все 3 стороны, теорема косинусов даёт косинус любого угла — достаточно выразить его из формулы.

$$\cos C = \frac{a^2 + b^2 - c^2}{2ab}.$$

Пример: стороны 5, 7 и 8. Найдём угол против стороны 7: $\cos \alpha = \frac{25 + 64 - 49}{2 \cdot 5 \cdot 8} = \frac{40}{80} = \frac12$, значит, угол равен $60^\circ$. Числа в задачах подбирают так, чтобы косинус вышел табличным или «красивой» десятичной дробью.

Отсюда же быстрый способ узнать вид треугольника: знак косинуса совпадает со знаком числителя $a^2 + b^2 - c^2$. Для наибольшей стороны $c$ положительный числитель означает остроугольный треугольник, ноль — прямоугольный, отрицательный — тупоугольный. Вычислять сам угол для этого не нужно.

Теорема синусов и радиус описанной окружности

Теорема синусов — это равенство отношений: стороны треугольника пропорциональны синусам противолежащих углов, а общее отношение равно диаметру описанной окружности.

$$\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} = 2R.$$

Последнее звено делает теорему особенно полезной: по одной стороне и противолежащему углу сразу находится радиус описанной окружности. Пример: $BC = 9$, $\angle A = 30^\circ$. Тогда $2R = \frac{9}{\sin 30^\circ} = 18$, и $R = 9$. Отсюда запоминающийся факт: сторона, лежащая против угла $30^\circ$, равна радиусу описанной окружности.

Для тупого угла пользуются формулой $\sin(180^\circ - \alpha) = \sin \alpha$: синус $150^\circ$ равен синусу $30^\circ$, синус $120^\circ$ — синусу $60^\circ$. Поэтому против угла $150^\circ$ лежит сторона, равная $R$ — так же, как против угла $30^\circ$. Свойства самой окружности разобраны в материале про вписанную и описанную окружности.

Миф: «теорема косинусов работает только для острых углов». Это неверно: формула одна для любых углов, просто у тупого угла косинус отрицательный. Отдельной формулы для тупоугольного треугольника не существует.

Какую теорему выбрать

Выбор зависит от того, что дано: если есть угол между двумя известными сторонами или известны все 3 стороны — нужна теорема косинусов, если есть пара «сторона — противолежащий угол» — теорема синусов.

«Решить треугольник» значит найти все его шесть элементов. Удобный порядок действий такой:

1. Шаг 1. Выпишите три известных элемента и отметьте на рисунке, какой угол лежит против какой стороны.
2. Шаг 2. Если даны два угла, сразу найдите третий: $180^\circ$ минус сумма известных.
3. Шаг 3. Если есть угол между двумя известными сторонами, найдите третью сторону по формуле с косинусом; если есть пара «сторона — противолежащий угол», переходите к отношению сторон и синусов.
4. Шаг 4. Оставшиеся углы находите через косинус, а не через синус: так не придётся гадать, острый угол или тупой.
5. Шаг 5. Проверьте результат: против большей стороны должен лежать больший угол, а сумма углов — равняться $180^\circ$.

Пятый шаг кажется лишним, но он ловит почти все ошибки знака. Если против стороны 13 получился угол меньше, чем против стороны 7, где-то потерян минус перед косинусом. Проверка занимает полминуты и не требует новых вычислений — только сравнения уже найденных чисел.

Последняя строка таблицы — ловушка. Данные «две стороны и угол против одной из них» могут задавать два разных треугольника: синус острого и тупого угла совпадает, и теорема синусов не различает их. Об этом случае подробнее в разборе ниже.

Разбор задач

Чтобы не ошибиться, перед вычислением выпишите, какие элементы даны и какой угол лежит против какой стороны, — после этого выбор теоремы занимает 5 секунд.

Задача 1. Диагональ параллелограмма

Стороны параллелограмма равны 3 и 5, один из его углов равен $120^\circ$. Найдите большую диагональ.

Большая диагональ лежит против тупого угла. По теореме косинусов $d^2 = 9 + 25 - 2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot \left(-\frac12\right) = 34 + 15 = 49$, $d = 7$. Меньшая диагональ лежит против угла $60^\circ$: $d^2 = 34 - 15 = 19$. Ответ: 7.

Задача 2. Радиус по синусу

В треугольнике $ABC$ сторона $BC = 10$, $\sin A = 0{,}4$. Найдите радиус описанной окружности.

$2R = \frac{BC}{\sin A} = \frac{10}{0{,}4} = 25$, откуда $R = 12{,}5$. Обратите внимание: сам угол $A$ знать не нужно, достаточно его синуса. Ответ: 12,5.

Задача 3. Два решения

В треугольнике $ABC$ $AC = 8$, $BC = 5$, $\angle A = 30^\circ$. Найдите $\sin B$ и выясните, сколько существует таких треугольников.

По теореме синусов $\sin B = \frac{AC \cdot \sin A}{BC} = \frac{8 \cdot 0{,}5}{5} = 0{,}8$. Угол $B$ может быть острым (около $53^\circ$) или тупым (около $127^\circ$), и в обоих случаях сумма с углом $A$ меньше $180^\circ$. Значит, треугольников два. Если бы $BC$ было не меньше $AC$, тупой вариант был бы невозможен.

Задачи с проверкой

Блок «Задачи с проверкой» в начале страницы — 9 задач: сторона по двум сторонам и углу, угол по трём сторонам, радиус описанной окружности, диагональ параллелограмма и вопрос о выборе инструмента.

После ввода числа нажмите «Проверить», при ошибке — «Решение», затем «Следующая задача →». Задачи повторяются по кругу. Полезная привычка: прежде чем считать, назовите вслух нужную формулу — это занимает секунду и отсекает большинство неверных подстановок.

Где эти теоремы нужны на экзамене

По федеральной образовательной программе^[2] обе теоремы изучают в 9 классе, а на экзаменах они нужны там, где треугольник не прямоугольный: в задачах второй части ОГЭ и в планиметрии ЕГЭ.

В ОГЭ формулы встречаются в геометрических задачах повышенной сложности — см. разбор задания 25 ОГЭ. В профильном ЕГЭ — в планиметрии первой части и особенно в задаче 18 с доказательством, где по проекту спецификации ФИПИ^[3] 2027 года даётся 3 балла. Для прямоугольных треугольников проще обойтись определениями — см. синус и косинус острого угла.

Когда теорема косинусов не нужна

Не каждая задача о треугольнике требует этих формул — в 4 типичных ситуациях есть путь короче.

• Если в треугольнике есть угол 90°, достаточно теоремы Пифагора и определений синуса и косинуса.
• Если треугольник равнобедренный, высота к основанию делит его на 2 равных прямоугольных треугольника — считать проще через них.
• Если даны 3 угла и ни одной стороны, найти длины нельзя никакой теоремой — только отношения сторон.
• Если нужна площадь по двум сторонам и углу, хватает формулы $S = \frac12 ab \sin C$ без вычисления третьей стороны — она стоит в 1 действие.

Чего делать нельзя

Нельзя подставлять в формулу угол, который не лежит между двумя данными сторонами: это главная ошибка темы.

• Нельзя терять знак косинуса тупого угла: $\cos 120^\circ = -\frac12$, а не $\frac12$.
• Нельзя забывать множитель 2 в $2ab \cos C$.
• Не следует путать $2R$ и $R$: отношение стороны к синусу равно диаметру описанной окружности.
• Не следует находить угол по синусу, не проверив, может ли он быть тупым.
• Не стоит вычислять третью сторону, если вопрос только о виде треугольника: хватает знака $a^2 + b^2 - c^2$.

Источники

[1] Атанасян Л. С., Бутузов В. Ф., Кадомцев С. Б. и др. Геометрия. 7–9 классы. — М.: Просвещение.

[2] Федеральная образовательная программа основного общего образования (утв. приказом Минпросвещения России от 18.05.2023 № 370).

[3] ФИПИ. Спецификация контрольных измерительных материалов для проведения в 2027 году единого государственного экзамена по математике. Профильный уровень (проект). — М.: ФИПИ, 2026.

[4] Прасолов В. В. Задачи по планиметрии. — М.: МЦНМО.

Вопросы и ответы

Чем теорема косинусов отличается от теоремы Пифагора?

Теорема Пифагора — частный случай при угле 90°, когда слагаемое $2ab \cos C$ равно нулю. Для остальных углов это слагаемое учитывается со своим знаком.

Можно ли найти угол по теореме синусов?

Можно найти его синус, но угол определяется неоднозначно: синусы углов $\alpha$ и $180^\circ - \alpha$ равны. Если важно, острый угол или тупой, надёжнее косинус.

Нужно ли знать вывод формул?

Для заданий с кратким ответом — нет. В задачах на доказательство вывод через высоту и теорему Пифагора полезно уметь воспроизвести за 3–4 строки.

Что делать, если косинус вышел больше 1?

Такого не бывает — значит, ошибка в вычислениях или три числа вообще не образуют треугольник: наибольшая сторона должна быть меньше суммы двух других.

Где взять сложные задачи на эти формулы?

Для подготовки к задаче 18 профиля подходит сборник Прасолова^[4] — в нём много задач на решение треугольников и радиусы окружностей.

Есть ли эти формулы в справочных материалах?

На это нельзя рассчитывать — формулы лучше знать наизусть. Их всего 2, и обе легко проверить на прямоугольном треугольнике 3, 4, 5.