Планиметрическая задача на 3 балла: доказательство и расчёт

Что проверяет задание 18 и сколько оно стоит

Задание 18 — это планиметрия с полным обоснованием, одна из двух геометрических задач части 2. По проекту спецификации ФИПИ 2027 года за неё можно получить до 3 первичных баллов^[1].

В проекте 2027 года появилось новое задание 17 на моделирование, поэтому планиметрия сдвинулась на одну позицию, с 17-й на 18-ю^[2]. Содержание при этом прежнее: треугольник, вписанные и описанные окружности, параллелограммы и трапеции, подобие. Задачи из сборников прошлых лет под номером 17 полностью подходят для тренировки.

Проверяются три вещи. Знание опорных фактов: признаков подобия, свойств биссектрисы и высоты, теорем о вписанных углах и касательной. Умение выстроить из них цепочку, где каждый шаг следует из предыдущего. И аккуратный расчёт в пункте б): теорема косинусов, площадь через синус, пропорции подобных треугольников.

Короткие задачи на те же фигуры с кратким ответом собраны в материале про планиметрию в задании 1. Отличие принципиальное: там достаточно числа, а здесь число без доказательства почти ничего не стоит.

Опорные факты для доказательств

Почти все доказательства в планиметрической задаче опираются на 6–8 фактов из курса 7–9 классов. Таблица помогает понять, какой факт обычно «включается» при виде той или иной конструкции.

Самый частый инструмент — подобие треугольников: им доказывают равенство отношений, а затем используют коэффициент в пункте б). Если признаки подобия и отношение площадей подобных треугольников забылись, повторите материал подобие треугольников и теорема Фалеса.

Пример 1: высоты и подобные треугольники

Если в треугольнике проведены две высоты, отрезок между их основаниями отсекает треугольник, подобный исходному. Это один из самых востребованных фактов планиметрии с доказательством.

В остроугольном треугольнике $ABC$ проведены высоты $AA_1$ и $BB_1$. а) Докажите, что треугольник $A_1B_1C$ подобен треугольнику $ABC$. б) Найдите $A_1B_1$, если $AB = 10$ и $\angle C = 60^\circ$.

Пункт а). Треугольник $AA_1C$ прямоугольный с прямым углом $A_1$, поэтому $CA_1 = AC\cos C$. Аналогично из прямоугольного треугольника $BB_1C$ получаем $CB_1 = BC\cos C$. Значит, $\frac{CA_1}{CA} = \frac{CB_1}{CB} = \cos C$, а угол $C$ у треугольников $A_1B_1C$ и $ABC$ общий. По второму признаку подобия треугольник $CA_1B_1$ подобен треугольнику $CAB$ с коэффициентом $\cos C$, причём вершине $A_1$ соответствует $A$, а $B_1$ — $B$.

Пункт б). Из подобия $A_1B_1 = AB\cdot\cos C = 10\cdot\frac12 = 5$. Проверка: при $\angle C = 60^\circ$ коэффициент подобия равен $\frac12$, и отрезок между основаниями высот должен быть вдвое короче стороны $AB$ — так и есть.

Обратите внимание на условие «остроугольный»: только в нём основания высот лежат на сторонах, а не на продолжениях. В тупоугольном треугольнике коэффициент равен $|\cos C|$, и доказательство требует отдельного рисунка.

Миф: «если треугольники на чертеже выглядят подобными, это можно не доказывать». Это неверно: чертёж в планиметрии может быть неточным, и признака «видно по рисунку» не существует. Подобие доказывают только через один из трёх признаков.

Пример 2: биссектрисы параллелограмма

Биссектриса угла параллелограмма отсекает от него равнобедренный треугольник — это следствие равенства накрест лежащих углов. На этом факте строится целая серия задач.

Биссектрисы углов $A$ и $D$ параллелограмма $ABCD$ пересекаются в точке $M$, лежащей на стороне $BC$. а) Докажите, что $BC = 2AB$ и $\angle AMD = 90^\circ$. б) Найдите площадь параллелограмма, если $AB = 5$, $\angle BAD = 60^\circ$.

Пункт а). $\angle BAM = \angle MAD$ по определению биссектрисы, а $\angle MAD = \angle AMB$ как накрест лежащие при параллельных $AD$ и $BC$ и секущей $AM$. Значит, $\angle BAM = \angle AMB$, треугольник $ABM$ равнобедренный и $BM = AB$. Так же доказывается $CM = CD$, а $CD = AB$ как противоположные стороны. Поэтому $BC = BM + MC = 2AB$. Сумма углов $A$ и $D$ параллелограмма равна $180^\circ$, их половины в сумме дают $90^\circ$, значит, в треугольнике $AMD$ угол $M$ прямой.

Пункт б). $AD = BC = 10$, площадь $S = AB\cdot AD\cdot\sin 60^\circ = 5\cdot 10\cdot\frac{\sqrt3}{2} = 25\sqrt3$. Можно проверить через треугольник $AMD$: его площадь равна половине площади параллелограмма, а катеты $AM = 5\sqrt3$ и $DM = 5$ дают $\frac12\cdot 5\sqrt3\cdot 5 = \frac{25\sqrt3}{2}$ — ровно половину.

Пример 3: общая касательная двух окружностей

Чтобы работать с касательной, в первую очередь проводят радиусы в точки касания: они перпендикулярны касательной, и на чертеже появляются прямые углы.

Окружности с центрами $O_1$ и $O_2$ и радиусами $R$ и $r$ касаются внешним образом. Общая внешняя касательная касается их в точках $A$ и $B$. а) Докажите, что $AB = 2\sqrt{Rr}$. б) Найдите $AB$ при $R = 9$, $r = 4$.

Пункт а). $O_1A \perp AB$ и $O_2B \perp AB$, поэтому $O_1ABO_2$ — прямоугольная трапеция. Опустим из $O_2$ перпендикуляр $O_2H$ на $O_1A$: $O_2H = AB$, $O_1H = R - r$, а $O_1O_2 = R + r$, так как точка касания окружностей лежит на линии центров. По теореме Пифагора $AB^2 = (R + r)^2 - (R - r)^2 = 4Rr$, откуда $AB = 2\sqrt{Rr}$. Пункт б): $AB = 2\sqrt{36} = 12$. Больше приёмов с касательными — в материале касательная к окружности.

Как оценивают задание 18 и как его оформить

Критерии оценивания ФИПИ для задания 18 следуют общему принципу части 2: полное обоснованное решение обоих пунктов с верным ответом — 3 балла, частичные продвижения оцениваются меньше.

Своими словами: высший балл получает работа, в которой доказательство пункта а) опирается на названные теоремы и свойства, а вычисление пункта б) обосновано и даёт верный ответ. Если выполнен только один пункт или при верном ходе допущена вычислительная ошибка, балл ниже. Утверждение пункта а) можно использовать в пункте б), даже если доказать его не удалось, — такое решение тоже может принести баллы. Точные формулировки — в проекте демоверсии ФИПИ^[3].

1. Рисунок. Крупный, с обозначениями из условия и отмеченными равными углами.
2. Пункт а). Короткие утверждения с обоснованием в скобках: «(накрест лежащие при $AD \parallel BC$)».
3. Пункт б). Сначала формула, затем подстановка и результат.
4. Ответ. «б) $25\sqrt3$» — отдельной строкой.

Общие правила записи развёрнутых решений собраны в материале как оформлять задания второй части.

Как искать идею доказательства

Если идея не приходит за 5 минут, помогает идти от конца: что нужно доказать и из какого факта это могло бы следовать. Этот приём описан ещё у Пойа и хорошо работает именно в геометрии.

• Нужно равенство отрезков — ищите равнобедренный треугольник или равные треугольники.
• Нужно равенство отношений — ищите пару подобных треугольников.
• Нужен прямой угол — ищите диаметр, касательную или сумму двух половин развёрнутого угла.
• Нужно, чтобы четыре точки лежали на окружности — проверьте сумму противоположных углов или равные углы, опирающиеся на один отрезок.

Сборник Прасолова^[4] — хороший источник задач для тренировки именно идей: там нет экзаменационного формата, зато много коротких доказательств на те же факты.

Задачи с проверкой

Блок «Задачи с проверкой» в начале страницы — 7 задач в духе пункта б): отрезки, площади, касательные, биссектриса. Ответ — одно число, которое вводится в поле «Ответ».

Решайте на бумаге с рисунком и обоснованием, затем вводите число и нажимайте «Проверить». Кнопка «Решение» показывает цепочку фактов, а «Следующая задача →» открывает новую задачу. Если ответ не совпал, сравните не только вычисления, но и то, какой факт был выбран первым.

Кому планиметрия на 3 балла не подходит

Задача трудоёмкая, и в некоторых ситуациях время выгоднее потратить на другие номера.

• Если в первой части стабильно решается меньше 10 заданий из 13, сначала добирайте баллы там.
• Если до экзамена меньше 3 недель, а признаки подобия и свойства вписанных углов не повторены, за это время не выйдет уверенно доказывать.
• Если на задачу уходит больше 35 минут, лучше решить пункт б), опираясь на утверждение а), и перейти дальше.
• Если из 5 тренировочных доказательств получается меньше 2, начните с пунктов б), а доказательства подтягивайте постепенно.

Чего делать нельзя

Нельзя терять баллы из-за пропущенных ссылок и спешки: эксперт видит только то, что написано.

• Нельзя опираться на то, что «видно по рисунку»: равенство углов или отрезков нужно доказать.
• Нельзя использовать в доказательстве то, что требуется доказать, — это порочный круг.
• Не следует путать соответствие вершин в подобных фигурах: от него зависят отношения сторон.
• Не следует оставлять пункт б) пустым, если пункт а) не получился.
• Не стоит рассматривать только один случай расположения, если условие допускает два.
• Не допускается калькулятор: значения синусов и корней оставляют в точном виде.

Источники

[1] ФИПИ. Спецификация контрольных измерительных материалов для проведения в 2027 году единого государственного экзамена по математике. Профильный уровень (проект). — М.: ФИПИ, 2026.

[2] ФИПИ. Планируемые изменения в КИМ ЕГЭ 2027 года. — М.: ФИПИ, 2026.

[3] ФИПИ. Демонстрационный вариант контрольных измерительных материалов единого государственного экзамена 2027 года по математике. Профильный уровень (проект). — М.: ФИПИ, 2026.

[4] Прасолов В. В. Задачи по планиметрии. — М.: МЦНМО.

[5] Атанасян Л. С., Бутузов В. Ф., Кадомцев С. Б. и др. Геометрия. 7–9 классы. — М.: Просвещение.

Вопросы и ответы

Это то же самое, что № 17 в 2026 году?

Да. По проекту ФИПИ 2027 года перед ним появилось новое задание на моделирование, поэтому номер сдвинулся. Тип задачи и 3 балла не изменились.

Какие теоремы нужны для задания 18?

Признаки равенства и подобия, свойства биссектрисы, медианы и высоты, теоремы о вписанном угле и касательной, теоремы синусов и косинусов. Все они есть в учебнике Атанасяна для 7–9 классов^[5].

Можно ли решать пункт б) координатами или тригонометрией?

Да, любой верный способ засчитывается. Важно, чтобы каждое вычисление было обосновано и понятно эксперту.

Что делать, если условие допускает два рисунка?

Рассмотреть оба случая или доказать, что один из них невозможен. Решение только для одного варианта при двух допустимых считается неполным.

Сколько времени отводить на задачу?

Обычно 25–35 минут вместе с чистовиком. Её часто решают ближе к концу работы, когда остальные номера уже проверены.

Нужно ли доказывать известные факты, например свойство биссектрисы?

Нет, теоремы из школьного учебника можно использовать со ссылкой, без доказательства. Доказывать нужно то, что следует из условия конкретной задачи.