Задание 20 ЕГЭ профиль: числа, цифры и делимость

Что проверяет задание 20 и сколько оно стоит

Задание 20 — это последняя задача варианта и одна из двух, оцениваемых в 4 первичных балла по проекту спецификации ФИПИ 2027 года^[1]. Вторая такая задача — с параметром в задании 19.

По проекту 2027 года номер сместился с 19 на 20, так как во второй части появилось новое задание на моделирование^[2]. Содержание прежнее: натуральные числа, цифры и их суммы, делимость и остатки, средние арифметические, наборы чисел на доске. Поэтому задачи прошлых лет под номером 19 подходят полностью.

Особенность задания в том, что школьной формулы для него нет. Проверяется умение рассуждать: построить пример, найти противоречие, получить оценку и показать, что она достигается. Знаний хватает из 5–9 классов — признаки делимости, чётность, сумма первых натуральных чисел, — а сложность в логике.

Именно поэтому пункт а) часто решают даже те, кто не претендует на высокий балл: подобрать подходящий набор чисел можно перебором с умом, без сложной теории. Повторить признаки делимости, НОД и остатки можно в материале делимость чисел.

Как устроены пункты а), б) и в)

Типичная задача о числах состоит из 3 пунктов, и каждый требует своего вида рассуждения. Понимание этой схемы экономит время: сразу ясно, что именно нужно предъявить эксперту.

Пункт	Типичный вопрос	Что должно быть в решении
а)	«Может ли…?» — ответ «да»	конкретный пример и его проверка
б)	«Может ли…?» — ответ «нет»	доказательство невозможности: оценка, чётность, делимость
в)	«Найдите наибольшее (наименьшее)…»	оценка плюс пример, на котором она достигается

Ответ «да» доказывается одним примером, а ответ «нет» — только общим рассуждением: перебор нескольких неудачных наборов ничего не доказывает. В пункте в) нужны обе части сразу. Без оценки пример лишь показывает, что значение достижимо, но не что оно наибольшее; без примера оценка может оказаться недостижимой.

Пример 1: различные натуральные числа с заданной суммой

Если в задаче говорится о различных натуральных числах, первое, что стоит вспомнить: сумма $k$ таких чисел не меньше $1 + 2 + \ldots + k = \frac{k(k+1)}{2}$ . Эта оценка решает множество задач.

Несколько различных натуральных чисел в сумме дают 100. а) Может ли чисел быть 13? б) Может ли их быть 14? в) Чисел 13. Какое наименьшее значение может иметь наибольшее из них?

Пункт а). Да: $1, 2, \ldots, 12$ и $22$ . Проверка: $1 + 2 + \ldots + 12 = 78$ , $78 + 22 = 100$ , все числа различны.

Пункт б). Нет. Сумма 14 различных натуральных чисел не меньше $1 + 2 + \ldots + 14 = 105$ , а $105 > 100$ . Значит, 14 чисел с суммой 100 не бывает.

Пункт в). Оценка: пусть наибольшее число равно $M$ . Остальные 12 чисел различны и меньше $M$ , поэтому сумма всех 13 чисел не больше $M + (M - 1) + \ldots + (M - 12) = 13M - 78$ . Из $13M - 78 \ge 100$ получаем $M \ge \frac{178}{13}$ , то есть $M \ge 14$ , так как $M$ — натуральное число. Пример: числа от 1 до 14 без пятёрки, их сумма $105 - 5 = 100$ , наибольшее равно 14. Ответ: а) да; б) нет; в) 14.

Формула суммы первых натуральных чисел — частный случай суммы арифметической прогрессии; её вывод есть в материале арифметическая прогрессия.

Миф: «в пункте б) достаточно показать, что несколько попыток не сработали». Это неверно: неудачные попытки не доказывают невозможность, и такой ответ не засчитывается. Нужно общее рассуждение, которое исключает все наборы сразу.

Пример 2: число и сумма его цифр

Чтобы работать с цифрами, число записывают в разрядах: трёхзначное число равно $100a + 10b + c$ , где $a$ от 1 до 9, а $b$ и $c$ от 0 до 9. После этого свойства цифр превращаются в равенства и неравенства.

Трёхзначное число делят на сумму его цифр. а) Может ли частное равняться 11? б) Может ли частное равняться 10? в) Какое наименьшее значение может принимать частное?

Пункт а). Да: $198 : (1 + 9 + 8) = 198 : 18 = 11$ .

Пункт б). Нет. Если $100a + 10b + c = 10(a + b + c)$ , то $90a = 9c$ , то есть $c = 10a \ge 10$ . Но цифра не может быть больше 9 — противоречие.

Пункт в). Частное равно $1 + \frac{99a + 9b}{a + b + c}$ , и при фиксированных $a$ , $b$ оно убывает с ростом $c$ , поэтому наименьшее значение — при $c = 9$ . Тогда частное равно $10 + \frac{90a - 81}{a + b + 9}$ . При $a = 1$ это $10 + \frac{9}{b + 10}$ , наименьшее при $b = 9$ : $10 + \frac{9}{19} = \frac{199}{19}$ . При $a \ge 2$ добавка не меньше $\frac{90a - 81}{a + 18} \ge \frac{99}{20}$ , что больше $\frac{9}{19}$ . Ответ: в) $\frac{199}{19}$ , достигается на числе 199.

Оценка плюс пример: схема пункта в)

Пункт в) почти всегда решается по схеме «оценка + пример»: сначала доказывают, что искомая величина не может быть меньше (или больше) некоторого числа, затем предъявляют набор, на котором это число достигается.

Гипотеза. Перебором небольших случаев найдите кандидата на ответ.
Оценка. Докажите неравенство для любого набора, удовлетворяющего условию.
Пример. Предъявите конкретный набор и проверьте все условия.
Сверка. Убедитесь, что оценка и пример дают одно и то же число.

Если оценка дала 13,7, а пример — 15, ответ ещё не найден: либо оценку можно усилить, либо существует лучший пример. Ответ засчитывается только тогда, когда обе части совпадают. Этот принцип — частный случай общего совета Пойа^[4]: сначала угадать, потом доказать.

Как оценивают задание 20

Критерии оценивания ФИПИ для задания 20 устроены по общему принципу: полное обоснованное решение всех пунктов — 4 балла, частичные продвижения — меньше, в зависимости от того, сколько пунктов решено и насколько полно.

Своими словами: каждый пункт — это самостоятельная часть решения, и за верно решённые пункты баллы начисляются даже при нерешённых остальных. Пункт в) обычно самый трудоёмкий, и оценка без примера или пример без оценки считаются неполным решением этого пункта. Точная раскладка баллов приведена в проекте демоверсии ФИПИ^[3]; её полезно посмотреть, чтобы понимать, ради чего стоит записывать даже частичный результат.

Отсюда практический вывод: решайте пункты по порядку и записывайте каждый отдельно. Пункт а) с примером занимает 5–10 минут и почти всегда приносит балл, поэтому его стоит сделать, даже если на остальное времени нет. Как вписать это в общий план работы, подсказывает материал распределение времени на экзамене.

Инструменты, которые выручают чаще всего

Для задачи о числах нужно не больше 6 инструментов, и все они школьные. Сложность в том, чтобы вовремя выбрать нужный.

Чётность. Сумма нечётного количества нечётных чисел нечётна — быстрый способ получить противоречие.
Остатки. Число и сумма его цифр дают одинаковый остаток при делении на 9 и на 3.
Минимальная сумма. $k$ различных натуральных чисел дают в сумме не меньше $\frac{k(k+1)}{2}$ .
Среднее. Среднее арифметическое лежит между наименьшим и наибольшим числом набора.
Разрядная запись. $\overline{abc} = 100a + 10b + c$ превращает условие о цифрах в уравнение.
НОД. Общий делитель двух чисел делит их сумму и разность.

Задачи с проверкой

Блок «Задачи с проверкой» в начале страницы — 7 задач в формате пункта в): наибольшее количество, наименьшее частное, наибольший делитель. Ответ — одно число, которое вводится в поле «Ответ».

Найдите гипотезу, докажите оценку и постройте пример на бумаге, затем введите число и нажмите «Проверить». Кнопка «Решение» покажет и оценку, и пример, а «Следующая задача →» откроет новую. Если ответ совпал, но в вашем решении нет одной из двух частей, считайте задачу нерешённой.

Когда задание 20 не стоит начинать

Задача о числах даёт 4 балла, но тратить на неё время выгодно не всегда.

Если первая часть и задания 14–16 ещё не проверены, сначала вернитесь к ним: там баллы ближе.
Если до конца экзамена меньше 15 минут, решите только пункт а) с примером.
Если цель — до 70 баллов, достаточно уверенно решать пункт а) и иногда б).
Если за 20 минут не появилась даже гипотеза для пункта в), переходите к оформлению уже решённого.

Чего делать нельзя

Нельзя превращать верные идеи в пустой пункт из-за неполного обоснования.

Нельзя отвечать «нет» в пункте б), перечислив несколько неудачных попыток.
Нельзя давать ответ в пункте в) только по примеру, без оценки.
Не следует приводить пример, не проверив все условия: различность, натуральность, сумму.
Не следует смешивать пункты в одном тексте — эксперт должен видеть, где закончился а) и начался б).
Не стоит вычёркивать черновой перебор, если он и есть доказательство: аккуратно перенесите его в чистовик.
Не допускается калькулятор: перебор и вычисления ведутся вручную.

Источники

[1] ФИПИ. Спецификация контрольных измерительных материалов для проведения в 2027 году единого государственного экзамена по математике. Профильный уровень (проект). — М.: ФИПИ, 2026.

[2] ФИПИ. Планируемые изменения в КИМ ЕГЭ 2027 года. — М.: ФИПИ, 2026.

[3] ФИПИ. Демонстрационный вариант контрольных измерительных материалов единого государственного экзамена 2027 года по математике. Профильный уровень (проект). — М.: ФИПИ, 2026.

[4] Пойа Д. Как решать задачу. — М.: Учпедгиз, 1959.

Вопросы и ответы

Это то же самое, что № 19 в 2026 году?

Да. По проекту ФИПИ 2027 года из-за нового задания 17 номер сдвинулся на единицу. Тип задачи и 4 балла сохранились.

Нужно ли знать теорию чисел сверх школьной программы?

Нет. Хватает делимости, остатков, чётности и суммы арифметической прогрессии. Всё остальное — логика рассуждения.

Можно ли решать перебором?

Можно, если перебор полный и аккуратно записан. Перебор «нескольких вариантов» доказательством не является.

Сколько баллов даёт только пункт а)?

Верно решённый пункт приносит баллы независимо от остальных, но точное число зависит от того, какие ещё пункты решены, — раскладка дана в критериях проекта демоверсии.

Сколько времени закладывать?

Пункт а) — 5–10 минут, пункты б) и в) — ещё 20–30. Обычно задачу решают последней, когда остальная работа уже проверена.

Где брать задачи для тренировки?

В сборниках типовых вариантов прошлых лет — под номером 19 — и в проекте демоверсии 2027 года. Для разминки подойдут задачи с проверкой на этой странице.