Делимость чисел: признаки, простые множители, НОД, НОК и остатки

Что значит «делится» и зачем это на экзамене

Число $a$ делится на $b$, если $a = b \cdot k$ для некоторого целого $k$. Тогда $b$ — делитель числа $a$, а $a$ — кратное числа $b$: 36 делится на 4, потому что $36 = 4 \cdot 9$.

Делимость — сквозная тема. В 5–6 классах она нужна для сокращения дробей, в 9 классе — для разложения выражений и проверки ответов, в 11 классе — для задач о числах. В базовом ЕГЭ задание 19 целиком посвящено числам и их свойствам: цифрам, делимости, вычёркиванию цифр^[1]. Его формат разобран на странице задание 19 базового ЕГЭ. В профильном ЕГЭ по проекту 2027 года той же теме посвящено последнее задание 20 на 4 балла — с доказательствами и перебором.

Тренажёр вверху страницы генерирует задачи в формате базового номера 19: найти трёхзначное число, кратное заданному, с заданной суммой цифр, иногда ещё и с различными цифрами. Ответов у таких задач обычно несколько, и проверка принимает любое подходящее число. Числа меняются по кнопке «Следующая задача →», а «Решение» показывает несколько верных вариантов.

Признаки делимости на 2, 3, 4, 5, 8, 9, 10, 11 и 25

Признаки делимости бывают двух видов: по последним цифрам (на 2, 4, 5, 8, 10, 25) и по сумме цифр (на 3 и 9). Отдельно стоит признак делимости на 11 — по знакочередующейся сумме.

Почему признаки работают? Признак на 4 следует из того, что 100 делится на 4: число $3748 = 37 \cdot 100 + 48$, и первое слагаемое заведомо кратно 4. Признак на 9 следует из того, что $10 = 9 + 1$, $100 = 99 + 1$ и так далее: при делении на 9 каждая цифра «весит» как единица. Эти рассуждения приведены в любом школьном учебнике и являются короткими доказательствами, а не правилами для заучивания.

Важная оговорка: признак на 3 и 9 смотрит на сумму цифр, а признак на 4 и 8 — только на последние цифры. Это различие есть в каждом школьном учебнике, и путать признаки не следует. Сумма цифр ничего не говорит о делимости на 4: у чисел 112 и 121 сумма одинаковая, но на 4 делится только первое.

Миф: «число делится на 6, если оно делится на 2 и на 3, — значит, на 12 делится всё, что делится на 2 и на 6». Это неверно: 18 делится и на 2, и на 6, но не делится на 12. Признак для произведения работает только тогда, когда множители взаимно просты, — это отдельная теорема, а не очевидность.

Составные признаки делимости: на 6, 12, 15, 18, 45

Если делитель раскладывается в произведение взаимно простых множителей, число делится на него тогда и только тогда, когда делится на каждый множитель. Так получаются составные признаки делимости.

• На 6 — на 2 и на 3: чётное число с суммой цифр, кратной 3.
• На 12 — на 3 и на 4 (но не «на 2 и на 6»: 2 и 6 не взаимно просты).
• На 15 — на 3 и на 5: последняя цифра 0 или 5, сумма цифр кратна 3.
• На 18 — на 2 и на 9: чётное число с суммой цифр, кратной 9.
• На 45 — на 5 и на 9: оканчивается на 0 или 5, сумма цифр кратна 9.

Найдите четырёхзначное число, кратное 45, все цифры которого различны и чётны. В ответе укажите какое-нибудь одно такое число.

Решение. Кратное 5 с чётными цифрами может оканчиваться только на 0. Остальные три цифры различны, чётны и не равны 0, то есть берутся из набора 2, 4, 6, 8. Сумма трёх чётных цифр чётна, а для делимости на 9 она должна быть кратна 9, значит, равна 18. Подходит только набор 4, 6, 8. Ответ — например, 4680; годятся также 4860, 6480, 6840, 8460 и 8640.

В числе 51 734 вычеркните одну цифру так, чтобы получившееся число делилось на 6. В ответе укажите получившееся число.

Решение. Последняя цифра 4 должна остаться, иначе число станет нечётным (вычеркнув 4, получим 5173). Сумма цифр $5 + 1 + 7 + 3 + 4 = 20$; чтобы она стала кратной 3, нужно убрать цифру с остатком 2 при делении на 3 — это 5 ($20 - 5 = 15$). Получаем 1734: оно чётное, сумма цифр 15. Ответ: 1734.

Простые числа и разложение на множители

Простое число — это, по определению из школьного учебника, натуральное число больше 1, у которого ровно два делителя: 1 и оно само. Первые простые: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29; число 1 не является ни простым, ни составным.

Основная теорема арифметики утверждает: каждое натуральное число больше 1 раскладывается в произведение простых множителей, и это разложение единственно с точностью до порядка. Например, $84 = 2^2 \cdot 3 \cdot 7$, $90 = 2 \cdot 3^2 \cdot 5$. Разложение делают «лесенкой», деля по очереди на 2, 3, 5, 7 и так далее, пока не останется 1.

Чтобы проверить, простое ли число $n$, достаточно пробовать делители до $\sqrt{n}$. Для 97 это 2, 3, 5, 7: ни один не подходит, значит, 97 простое. А вот 91 и 221 только кажутся простыми: $91 = 7 \cdot 13$, $221 = 13 \cdot 17$. Не стоит доверять «на глаз» числам, которые не делятся на 2, 3 и 5, — проверьте ещё 7, 11 и 13.

НОД и НОК: два способа найти

НОД — это наибольший общий делитель двух чисел, НОК — наименьшее общее кратное. Через разложения: для НОД берут общие простые множители в наименьших степенях, для НОК — все множители в наибольших.

Для 84 и 90: общие множители 2 и 3, поэтому $\text{НОД} = 2 \cdot 3 = 6$; $\text{НОК} = 2^2 \cdot 3^2 \cdot 5 \cdot 7 = 1260$. Проверка через тождество $\text{НОД}(a, b) \cdot \text{НОК}(a, b) = a \cdot b$: $6 \cdot 1260 = 7560 = 84 \cdot 90$.

Для больших чисел быстрее алгоритм Евклида, который опирается на простую теорему: НОД не меняется, если большее число заменить остатком от деления на меньшее. Найдём $\text{НОД}(252, 198)$: 252 даёт при делении на 198 остаток 54, 198 при делении на 54 — остаток 36, 54 при делении на 36 — остаток 18, а 36 делится на 18 нацело. Ответ: 18.

НОД нужен, чтобы сокращать дроби одним шагом: $\frac{84}{90} = \frac{14}{15}$ после деления на 6. НОК — чтобы приводить к общему знаменателю. Обе операции подробно разобраны в статье действия с обыкновенными дробями.

Остатки и их свойства

Разделить $a$ на $b$ с остатком — это записать $a = bq + r$, где $0 \le r < b$. Остаток не может быть отрицательным и не может быть больше или равен делителю.

Отсюда частая ловушка с отрицательными числами: $-17 = 5 \cdot (-4) + 3$, поэтому остаток $-17$ при делении на 5 равен 3, а не $-2$. Остатки можно складывать и перемножать: остаток суммы равен остатку суммы остатков, то же для произведения. Это позволяет работать с огромными числами, не вычисляя их.

Пример: найдите остаток от деления $2^{10}$ на 7. Замечаем, что $2^3 = 8$ даёт остаток 1. Тогда $2^9 = (2^3)^3$ тоже даёт остаток 1, а $2^{10} = 2^9 \cdot 2$ — остаток 2. Проверка напрямую: $1024 = 7 \cdot 146 + 2$. Такие рассуждения — основа задач о числах во второй части профиля, см. задание 20 профильного ЕГЭ.

Когда признак делимости не поможет

Признак делимости экономит время только для небольших делителей; в остальных случаях честное деление или разложение быстрее.

• Если делитель 7 или 13, школьного признака нет: проще разделить столбиком или вычесть кратное, например 70 или 130.
• Если нужно проверить простоту числа больше 1000, признаки отсекут лишь 2, 3, 5 и 11, а пробовать придётся делители до 31 и выше.
• Если делитель — произведение не взаимно простых чисел, например $4 \cdot 6 = 24$, «склеивать» признаки нельзя: 24 — это 3 и 8.
• Если в задаче 20 профиля нужно доказательство, ссылки на 1–2 примера мало: требуется рассуждение для всех случаев.

Чего делать нельзя

Нельзя записывать ответ в задаче на цифры, не проверив его по всем условиям: кратность, сумму цифр, различие цифр и количество знаков.

• Нельзя проверять делимость на 4 по сумме цифр: смотрят только на две последние цифры.
• Нельзя считать 1 простым числом: у неё один делитель, а не два.
• Не следует склеивать признаки для множителей с общим делителем: «на 2 и на 6» не значит «на 12».
• Не следует записывать отрицательный остаток: он всегда от 0 до делителя минус 1.
• Не стоит перебирать все трёхзначные числа подряд: сначала сузьте круг последней цифрой, потом суммой.
• Не стоит забывать, что 0 делится на любое ненулевое число, а делить на 0 нельзя.

Как отработать тему за неделю

Чтобы признаки стали автоматическими, хватает 5–6 занятий по 20 минут: таблицу выше нужно не выучить, а применить на 50–60 числах.

День 1 — признаки на 2, 5, 10, 3 и 9 устно на случайных числах из учебника. День 2 — на 4, 8, 25 и 11. День 3 — составные признаки и 10 задач из тренажёра. День 4 — разложение на простые множители и НОД с НОК. День 5 — остатки и задачи на вычёркивание цифр из сборников типовых вариантов под редакцией Ященко^[2]. Интервалы между занятиями важнее их длины: распределённое повторение запоминается лучше, чем подготовка за один вечер. Приёмы устной проверки собраны в статье как считать без калькулятора.

Источники

[1] ФИПИ. Спецификация контрольных измерительных материалов для проведения в 2027 году единого государственного экзамена по математике. Базовый уровень (проект). — М.: ФИПИ, 2026.

[2] Ященко И. В. (ред.). ЕГЭ. Математика. Базовый уровень. Типовые экзаменационные варианты. — М.: Национальное образование.

[3] Федеральная образовательная программа основного общего образования (утв. приказом Минпросвещения России от 18.05.2023 № 370).

[4] ФИПИ. Спецификация контрольных измерительных материалов для проведения в 2027 году единого государственного экзамена по математике. Профильный уровень (проект). — М.: ФИПИ, 2026.

Вопросы и ответы

Есть ли признак делимости на 7?

Существуют громоздкие правила, но на экзамене они не нужны: быстрее разделить столбиком. Полезно лишь помнить, что $1001 = 7 \cdot 11 \cdot 13$, — это иногда сокращает перебор.

Почему признаки делимости на 3 и 9 одинаковые?

Оба опираются на то, что 10, 100, 1000 дают остаток 1 при делении на 9, а значит, и на 3. Поэтому остаток числа совпадает с остатком суммы его цифр. Для других делителей это не выполняется.

Что делать, если в задаче 19 подходит много чисел?

Записать любое одно. В условии так и сказано: «укажите какое-нибудь одно такое число». Засчитывается любой верный ответ, поэтому выбирайте тот, который проще проверить.

Как быстро найти НОК трёх чисел?

Разложите все три на простые множители и возьмите каждый множитель в наибольшей встречающейся степени. Для 4, 6 и 10 это $2^2 \cdot 3 \cdot 5 = 60$.

Делится ли 0 на 5?

Да: $0 = 5 \cdot 0$, а 0 — целое число. Ноль кратен любому числу, кроме самого нуля, поэтому в задачах про последнюю цифру 0 всегда проходит признаки на 2, 5 и 10.

Сколько всего простых чисел?

Бесконечно много — это доказал ещё Евклид. Если предположить, что их конечное число, то произведение всех плюс 1 не делится ни на одно из них, что противоречит разложению на простые множители.