Задание 19 базового ЕГЭ: как подобрать число по признакам делимости

Что проверяет задание 19 и сколько оно стоит

Задание 19 — это задача на свойства натуральных чисел: признаки делимости, остатки, сумму и произведение цифр, десятичную запись. По проекту спецификации ФИПИ 2027 года за верный ответ ставится 1 первичный балл^[1], как и за каждое из 21 задания базового экзамена.

Номер отличается от соседних тем, что формулы здесь почти не нужны. Решение строится как рассуждение: какие цифры возможны на конце, какой должна быть сумма цифр, что даёт каждое условие. Хорошо составленная цепочка условий сужает перебор с сотен чисел до трёх-четырёх кандидатов. Проект демоверсии ФИПИ^[2] показывает тот же тип условия, что и в прошлые годы.

Особенность номера — неединственность ответа. Если в условии сказано «в ответе укажите какое-нибудь одно такое число», то засчитывается любое подходящее. В формулировках демоверсии и типовых вариантов это прямо оговорено фразой «укажите какое-нибудь одно такое число». Проверяющая система сверяет ответ со всеми допустимыми вариантами, поэтому выбирать «самое правильное» число не нужно.

Признаки делимости в одной таблице

Признак делимости — это правило, которое по цифрам числа сразу говорит, делится ли оно на данное число. Для номера 19 нужны 10 признаков, и все они проверяются без деления столбиком.

Составные делители проверяют через взаимно простые множители: 12 = 3 · 4, 15 = 3 · 5, 18 = 2 · 9, 36 = 4 · 9, 45 = 5 · 9. Нельзя заменять 12 на 2 · 6: числа 2 и 6 не взаимно простые, и признаки «на 2 и на 6» вместе не гарантируют делимости на 12 — например, 18 делится и на 2, и на 6, но не на 12. Подробно признаки, НОД и НОК разобраны в теме делимость чисел и признаки делимости.

Разбор: число с остатками и порядком цифр

Если число при делении на несколько делителей даёт одинаковый остаток, то после вычитания этого остатка оно делится на их НОК. Этот приём превращает задачу с тремя условиями в задачу с одним.

Найдите трёхзначное натуральное число, большее 500, которое при делении на 4, на 5 и на 6 даёт в остатке 2, а его цифры расположены в порядке убывания слева направо. В ответе укажите какое-нибудь одно такое число.

Число $n - 2$ делится на 4, 5 и 6, то есть на $\text{НОК}(4, 5, 6) = 60$. Значит, $n = 60k + 2$. Трёхзначные варианты больше 500: 542, 602, 662, 722, 782, 842, 902, 962. Теперь проверяем убывание цифр: 542 — да (5 > 4 > 2), 602 — нет, 662 — нет, 722 — нет, 782 — нет, 842 — да, 902 — нет, 962 — да.

Подходят три числа: 542, 842 и 962. В бланк записывают любое, например «542». Проверка: $542 = 4 \cdot 135 + 2 = 5 \cdot 108 + 2 = 6 \cdot 90 + 2$ — все остатки равны 2. Задачи с остатками регулярно встречаются в сборниках типовых вариантов под редакцией Ященко^[3]. НОК и деление с остатком входят в курс 5–6 классов, а обоснование приёма опирается на теорему о делении с остатком.

Миф: «если подходит несколько чисел, нужно записать наименьшее, иначе не засчитают». Это неверно: при формулировке «укажите какое-нибудь одно такое число» засчитывается любое число, удовлетворяющее всем условиям. Требование выбрать наименьшее бывает только тогда, когда оно прямо написано в условии.

Разбор: произведение и сумма цифр

Чтобы найти число с заданным произведением цифр, произведение раскладывают на множители от 1 до 9, а потом проверяют остальные условия — делимость, сумму цифр, количество разрядов.

Приведите пример четырёхзначного числа, кратного 15, произведение цифр которого равно 60.

Кратность 15 означает делимость на 5 и на 3. На конце 0 или 5, но 0 обнулил бы произведение, значит, последняя цифра 5. Остальные три цифры дают произведение $60 : 5 = 12$. Тройки цифр с произведением 12: (1, 2, 6), (1, 3, 4), (2, 2, 3). Сумма всех четырёх цифр должна делиться на 3: $1 + 2 + 6 + 5 = 14$ — нет, $1 + 3 + 4 + 5 = 13$ — нет, $2 + 2 + 3 + 5 = 12$ — да.

Подходят числа 2235, 2325 и 3225, любое из них — верный ответ. Проверка числа 2235: $2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 5 = 60$, оканчивается на 5, сумма цифр 12 делится на 3. Такой порядок рассуждения — сначала самое жёсткое условие, потом остальные — Д. Пойа называет выделением главного ограничения; он хорошо работает в любой задаче на подбор.

Разбор: вычёркивание цифр

В задачах на вычёркивание оставшиеся цифры сохраняют порядок, поэтому кандидатов немного — их можно выписать все. Если цифр 5 и вычёркивают 3, остаётся всего 10 двузначных чисел.

Вычеркните в числе 85 417 три цифры так, чтобы получившееся двузначное число делилось на 18. В ответе укажите получившееся число.

Делимость на 18 — это делимость на 2 и на 9. Двузначное число должно быть чётным, значит, оканчиваться на 8 или 4. Цифра 8 стоит первой, после неё ничего не остаётся для пары, поэтому последняя цифра — 4. Перед 4 могут стоять 8 или 5: число 84 имеет сумму цифр 12, а 54 — сумму 9. Подходит только 54.

Ответ: 54, и здесь он единственный. Похожая задача: из числа 3528 вычеркнуть одну цифру, чтобы оставшееся делилось на 6. Варианты 352, 358, 328, 528; чётны все, а сумма цифр делится на 3 только у 528. Признаки делимости делают перебор коротким, а вот задачи на логику и перебор без чисел относятся уже к заданию 21 на смекалку.

Тренажёр к номеру 19

Генератор вверху страницы — это бесконечный поток задач одного вида: найти трёхзначное число, кратное заданному делителю, с заданной суммой цифр, иногда с различными цифрами. Делители меняются от 4 до 45.

Тренажёр принимает любое подходящее число, как и экзамен: введите свой вариант в поле «Ответ» и нажмите «Проверить». Кнопка «Решение» покажет несколько подходящих чисел и напомнит, какие признаки нужно было применить. После «Следующая задача →» условия меняются, а счётчик «решено X из Y» и полоска последних ответов показывают точность.

В генераторе нет задач на вычёркивание и произведение цифр — их нужно решать по сборнику типовых вариантов. Хорошая норма перед экзаменом: 10 задач генератора подряд без ошибок и 5–6 задач других видов из сборника.

Типичные ошибки и проверка ответа

Не меньше половины ошибок в номере 19 — это пропущенное условие: число подобрано по делимости, но не проверено на количество цифр, на различие цифр или на порядок.

• Не тот признак. Признак делимости на 4 смотрит на две последние цифры, а не на последнюю.
• Составной делитель. Делимость на 12 проверяют как на 3 и на 4, а не на 2 и на 6.
• Забытое условие. Найдено число, кратное 15, но цифры в нём повторяются, хотя требовались различные.
• Лишние разряды. Просили трёхзначное число, а записано четырёхзначное или с нулём впереди.

Проверка — пройтись по условию ещё раз и поставить галочку у каждого требования: количество цифр, делимость, сумма или произведение, остаток, порядок цифр. Привычку проверять результат подбора подстановкой прививают ещё школьные учебники алгебры. Делимость лучше проверить прямым делением столбиком: 20 секунд, зато ошибка признака исключена.

Миф: «задание 19 — олимпиадная задача, и решать её стоит только отличникам». Не подтверждается: в базовом экзамене номер требует только признаков делимости и аккуратного перебора, которые изучают в 5–6 классах. Олимпиадных идей в нём не бывает.

Когда тренировка номера не нужна

Номер не подходит для первой очереди подготовки в нескольких ситуациях.

• Если признаки делимости на 3, 4 и 9 путаются, сначала нужна 1 неделя на их повторение, а не смешанные задачи.
• Если на номер уходит больше 10 минут, на экзамене лучше вернуться к нему после остальных заданий.
• Если цель — отметка «3», а 7 первичных баллов уже набираются на других номерах, этот номер можно оставить на потом.
• Если не получается деление с остатком у 3 чисел из 5, повторите его прежде, чем браться за задачи с остатками.

Чего делать нельзя

Нельзя записывать число, не проверив его по каждому условию, — ниже 6 правил для этого номера.

• Нельзя заменять делимость на составное число делимостью на два не взаимно простых множителя.
• Нельзя менять порядок оставшихся цифр в задаче на вычёркивание.
• Не следует записывать в бланк несколько чисел через запятую: засчитывается только одно число.
• Не следует начинать перебор со всех чисел подряд — сначала примените самое жёсткое условие.
• Не стоит ставить ноль первой цифрой: число 0542 не является четырёхзначным.
• Не стоит пропускать финальную проверку делением, даже если признак кажется очевидным.

Как записать ответ в бланк

Ответ на номер 19 — это одно натуральное число, записанное цифрами без пробелов. Каждая цифра идёт в отдельную клеточку бланка, начиная с левой.

Если подходят 542, 842 и 962, в бланк пишут одно число, например «542». Не записывайте все варианты подряд: «542842962» будет прочитано как одно огромное число и не засчитается. Пробел внутри числа тоже недопустим: «85 417» в бланке превращается в ошибку. Общие правила заполнения собраны в статье как записывать ответы в бланк, а приёмы быстрой проверки делением — в материале как считать без калькулятора.

Источники

[1] ФИПИ. Спецификация контрольных измерительных материалов для проведения в 2027 году единого государственного экзамена по математике. Базовый уровень (проект). — М.: ФИПИ, 2026.

[2] ФИПИ. Демонстрационный вариант контрольных измерительных материалов единого государственного экзамена 2027 года по математике. Базовый уровень (проект). — М.: ФИПИ, 2026.

[3] Ященко И. В. (ред.). ЕГЭ. Математика. Базовый уровень. Типовые экзаменационные варианты. — М.: Национальное образование.

[4] Пойа Д. Как решать задачу. — М.: Учпедгиз, 1959.

Вопросы и ответы

Засчитают ли любое подходящее число в задании 19?

Да, если в условии сказано «укажите какое-нибудь одно такое число». Все верные варианты заранее учтены, и любой из них даёт балл.

Какие признаки делимости знать обязательно?

На 2, 3, 4, 5, 9, 10 и 25 — они встречаются чаще всего. Признак на 11 нужен реже, а делимость на 6, 12, 15, 18, 36 и 45 проверяется через пары взаимно простых множителей.

Можно ли решать перебором?

Да, но перебор стоит сужать: сначала последняя цифра, потом сумма цифр, потом остальные условия^[4]. Полный перебор всех трёхзначных чисел на экзамене займёт слишком много времени.

Что делать, если подходящего числа не находится?

Проверьте, не наложено ли лишнее условие, — например, различие цифр, которого в задаче нет. Если условия прочитаны верно, а числа нет, вероятнее всего, ошибка в применении признака.

Нужно ли записывать решение?

Нет, проверяется только число в бланке. Но короткая запись условий в черновике помогает не забыть ни одного требования при проверке.

Сколько времени уходит на номер?

Обычно 4–7 минут. Если за 10 минут число не найдено, переходите к следующим номерам и возвращайтесь с запасом времени.