Задание 16 ЕГЭ база: выражения с корнями и логарифмами

Q: Можно ли решать логарифмы через определение, без свойств?

Да, если аргумент — степень основания: \log_2 32 = 5, потому что 2^5 = 32. Когда так не получается, свойства суммы и разности логарифмов становятся обязательными.

Что проверяет задание 16 и как оно оценивается

Задание 16 — это проверка свойств степеней, арифметических корней, логарифмов и значений тригонометрических функций. По проекту спецификации ФИПИ 2027 года номер, как и остальные 20 заданий базового экзамена, оценивается в 1 первичный балл за верный краткий ответ^[1].

В отличие от номера 14, где нужно аккуратно выполнить действия с дробями, здесь главное — увидеть свойство, которое «схлопывает» выражение. Корень из 72, делённый на корень из 2, руками не извлекается, а по свойству частного корней превращается в $\sqrt{36} = 6$ . Почти каждое выражение в этом номере устроено так: в лоб посчитать трудно, через свойство — в одну строку.

Демоверсия ФИПИ^[2] и сборники типовых вариантов показывают четыре семейства выражений: корни, степени, логарифмы и тригонометрия. В конкретном варианте попадается одно из них, поэтому готовиться нужно ко всем четырём. Свойства из этой статьи изучаются в 8–11 классах, и все они входят в ФОП среднего общего образования^[3].

Свойства, которые нужны для номера

Для задания 16 хватает 12 формул — по три на каждое семейство выражений. Таблица ниже собирает их в одном месте вместе с короткими примерами.

Семейство	Свойство	Пример
Корни	$\sqrt{a} \cdot \sqrt{b} = \sqrt{ab}$ , $\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}} = \sqrt{\frac{a}{b}}$ , $(\sqrt{a})^2 = a$	$\sqrt{3} \cdot \sqrt{27} = \sqrt{81} = 9$
Степени	$a^m \cdot a^n = a^{m+n}$ , $\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$ , $(a^m)^n = a^{mn}$	$\frac{5^7 \cdot 5^{-3}}{5^2} = 5^2 = 25$
Дробный показатель	$a^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{a^m}$	$27^{\frac23} = 3^2 = 9$
Логарифмы	$\log_a b + \log_a c = \log_a (bc)$ , $\log_a b - \log_a c = \log_a \frac{b}{c}$	$\log_3 54 - \log_3 2 = \log_3 27 = 3$
Тождество	$a^{\log_a b} = b$	$7^{\log_7 12} = 12$
Тригонометрия	$\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1$ , $\cos(90^\circ - \alpha) = \sin \alpha$	$\frac{10 \sin 6^\circ}{\cos 84^\circ} = 10$

Каждое свойство имеет условия применения: корни — только из неотрицательных чисел, основание логарифма положительно и не равно 1, аргумент логарифма больше нуля. В задачах базового уровня эти условия выполнены заранее, но знать их нужно, чтобы не применить формулу там, где она не работает. Полный вывод свойств есть в темах свойства степеней с целым и рациональным показателем и логарифм и его свойства.

Корни и степени: разбор примеров

Если в выражении есть корни, первым делом ищут способ свести всё под один корень или вынести множитель. Со степенями — привести к одному основанию и сложить или вычесть показатели.

Найдите значение выражения $\frac{\sqrt{72}}{\sqrt{2}}$ .

По свойству частного: $\frac{\sqrt{72}}{\sqrt{2}} = \sqrt{\frac{72}{2}} = \sqrt{36} = 6$ . Тот же результат даёт вынесение множителя: $\sqrt{72} = 6\sqrt{2}$ , и $\sqrt{2}$ сокращается. Ответ: 6.

Найдите значение выражения $\frac{a^3 \cdot a^8}{a^9}$ при $a = 7$ .

Подставлять 7 сразу не стоит: $7^{11}$ — огромное число. Сначала упрощаем: $a^{3+8-9} = a^2$ , и только потом подставляем: $7^2 = 49$ . Ответ: 49. Этот приём — сначала упростить, потом подставить — экономит больше всего времени во всём номере.

Отдельный тип — квадрат выражения с корнем: $(2\sqrt{5})^2 = 4 \cdot 5 = 20$ . Здесь в квадрат возводятся оба множителя, а не только корень. Если вынесение множителя из-под корня даётся с трудом, разберите отдельно тему арифметический квадратный корень, там много тренировочных примеров.

Миф: «корень из суммы равен сумме корней». Это неверно: $\sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5$ , а $\sqrt{9} + \sqrt{16} = 7$ . Свойства корней работают только для произведения и частного, для суммы и разности их не существует.

Логарифмы: три приёма вместо десяти формул

Логарифм $\log_a b$ — это показатель степени, в которую нужно возвести $a$ , чтобы получить $b$ . Почти все логарифмы задания 16 решаются одним из трёх приёмов: распознать степень основания, объединить логарифмы по свойству суммы или разности, применить основное тождество.

Найдите значение выражения $\log_3 54 - \log_3 2$ .

Ни 54, ни 2 не являются степенями тройки, поэтому по отдельности логарифмы не вычисляются. Объединяем: $\log_3 \frac{54}{2} = \log_3 27 = 3$ , так как $3^3 = 27$ . Ответ: 3.

Основное логарифмическое тождество $a^{\log_a b} = b$ встречается в двух вариантах. Прямой: $7^{\log_7 12} = 12$ . С преобразованием основания: $4^{\log_2 3} = (2^2)^{\log_2 3} = (2^{\log_2 3})^2 = 3^2 = 9$ . Логарифм с основанием меньше единицы может быть отрицательным: $\log_{0{,}5} 8 = -3$ , потому что $0{,}5^{-3} = 2^3 = 8$ .

Учебник Колмогорова для 10–11 классов^[4] вводит логарифмы как обратную операцию к возведению в степень, и это определение — лучшая страховка: если формула забылась, всегда можно спросить себя, в какую степень нужно возвести основание.

Тригонометрия в номере 16

Тригонометрические выражения в базовом экзамене — это значения синуса, косинуса и тангенса стандартных углов 30°, 45°, 60° и формулы, связывающие разные углы. Вычислять синус 6° не требуется: такие углы всегда сокращаются.

Найдите значение выражения $\frac{10 \sin 6^\circ}{\cos 84^\circ}$ .

Углы 6° и 84° в сумме дают 90°, а по формуле приведения $\cos 84^\circ = \cos(90^\circ - 6^\circ) = \sin 6^\circ$ . Дробь сокращается, остаётся 10. Ответ: 10. Другой типичный пример: $2\sin 30^\circ + \cos 60^\circ = 2 \cdot 0{,}5 + 0{,}5 = 1{,}5$ .

Основное тождество $\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1$ тоже часто «прячется» в условии: например, $\frac{12}{\sin^2 37^\circ + \cos^2 37^\circ} = 12$ при любом угле. Значения стандартных углов полезно не заучивать, а уметь восстанавливать — способ описан в таблице значения синуса, косинуса и тангенса.

Тренажёр к номеру 16

Генератор вверху страницы — это бесконечный поток выражений трёх видов: сумма логарифмов степеней, основное логарифмическое тождество и частное корней. После каждой задачи можно нажать «Решение» и увидеть свойство, которое к ней применяется.

Решайте сериями по 10 задач. Счётчик «решено X из Y» и полоска последних ответов показывают, в каком виде выражений вы ошибаетесь, — эти виды стоит повторить по таблице свойств. Кнопка «Следующая задача →» меняет и числа, и тип выражения, поэтому запомнить ответы не получится.

Тригонометрических выражений и степеней с дробным показателем в генераторе нет — их нужно добрать по сборнику. По данным исследования Cepeda и соавторов^[5], повторение с перерывами между сессиями даёт более прочный результат, чем одна длинная тренировка, поэтому 3 серии в разные дни полезнее 30 задач за вечер.

Типичные ошибки и как проверить ответ

Не меньше половины ошибок номера 16 — это применение несуществующих свойств: логарифм суммы, корень из суммы, сложение степеней с разными основаниями. Вторая группа — ошибки со знаком.

Знак минус у степени. $(-3)^2 = 9$ , а $-3^2 = -9$ : в первом случае в квадрат возводится $-3$ , во втором — только 3.
Отрицательный показатель. $2^{-3} = \frac18 = 0{,}125$ , а не $-8$ .
Логарифм суммы. $\log_2(4 + 4) = 3$ , а $\log_2 4 + \log_2 4 = 4$ ; свойство работает только для произведения.
Градусы и радианы. Если угол дан без знака градуса, например $\sin \frac{\pi}{6}$ , это радианы, и $\frac{\pi}{6} = 30^\circ$ .

Проверка ответа проста: результат номера 16 почти всегда целое число или короткая десятичная дробь. Если получилось что-то вроде $\sqrt{7}$ или 3,4641…, значит, свойство не применено до конца. Второй способ — посчитать выражение другим путём: $\frac{\sqrt{72}}{\sqrt{2}}$ и через частное, и через вынесение множителя.

Миф: «в номере 16 нужен калькулятор или таблицы логарифмов». Не подтверждается: выражения составлены так, что после применения свойств остаются степени и стандартные углы, которые считаются в уме или столбиком.

Когда эта тренировка не поможет

Не во всех случаях отработка номера 16 даёт балл быстро — иногда сначала нужна теория.

Если логарифмы ещё не изучались в 10–11 классах, за 1–2 занятия освоить их не выйдет — начните с определения и 20 простых примеров.
Если путаются свойства степеней в 8 из 10 примеров, нужно вернуться к теме степеней, а не решать выражения смешанного вида.
Если до экзамена меньше 10 дней, разумнее отработать 2 семейства — корни и степени — и не распыляться на тригонометрию.
Если трудность в действиях с обыкновенными дробями, поможет задание 14, а не этот номер.

Чего делать нельзя

Нельзя доверять «свойствам», которых нет в учебнике, — именно они дают большинство неверных ответов.

Нельзя раскладывать корень или логарифм суммы на сумму корней или логарифмов.
Нельзя подставлять число в выражение со степенями до упрощения — получаются огромные числа и арифметические ошибки.
Не следует складывать показатели при разных основаниях: $2^3 \cdot 3^2$ не равно $6^5$ .
Не следует путать $-a^2$ и $(-a)^2$ — от этого зависит знак ответа.
Не стоит записывать в бланк ответ с корнем или числом $\pi$ : допускается только число в десятичной записи.
Не стоит считать синус нестандартного угла приближённо: такие углы в номере 16 сокращаются по формулам.

Как записать ответ в бланк

Ответ на номер 16 — это целое число или десятичная дробь, записанная через запятую, при необходимости со знаком минус. Каждый символ занимает одну клеточку бланка.

Ответ $\log_{0{,}5} 8$ записывается как «-3», ответ $2^{-3}$ — как «0,125». Обыкновенную дробь $\frac18$ в бланк не пишут: её переводят в десятичную. Если десятичная запись не заканчивается, это почти наверняка ошибка в решении. Подробные правила для отрицательных чисел и дробей собраны в статье как записывать ответы в бланк. Похожая задача, но уже на уравнение с логарифмом или корнем, — в задании 17 базового ЕГЭ.

Источники

[1] ФИПИ. Спецификация контрольных измерительных материалов для проведения в 2027 году единого государственного экзамена по математике. Базовый уровень (проект). — М.: ФИПИ, 2026.

[2] ФИПИ. Демонстрационный вариант контрольных измерительных материалов единого государственного экзамена 2027 года по математике. Базовый уровень (проект). — М.: ФИПИ, 2026.

[3] Федеральная образовательная программа среднего общего образования (утв. приказом Минпросвещения России от 18.05.2023 № 371).

[4] Колмогоров А. Н., Абрамов А. М., Дудницын Ю. П. и др. Алгебра и начала математического анализа. 10–11 классы. — М.: Просвещение.

[5] Cepeda N. J., Pashler H., Vul E., Wixted J. T., Rohrer D. Distributed practice in verbal recall tasks: a review and quantitative synthesis // Psychological Bulletin. 2006. Vol. 132, No. 3. P. 354–380.

Вопросы и ответы

Какое семейство выражений попадается в задании 16 чаще?

Предсказать конкретный вариант нельзя: в сборниках встречаются все четыре семейства — корни, степени, логарифмы и тригонометрия. Готовиться стоит ко всем, тем более что свойств немного.

Нужно ли знать формулы приведения?

Достаточно одной идеи: синус угла равен косинусу дополнительного до 90° угла. Её хватает для большинства тригонометрических выражений базового уровня.

Можно ли решать логарифмы через определение, без свойств?

Да, если аргумент — степень основания: $\log_2 32 = 5$ , потому что $2^5 = 32$ . Когда так не получается, свойства суммы и разности логарифмов становятся обязательными.

Что делать, если ответ получился с корнем?

Это признак незавершённого преобразования. Проверьте, не осталось ли произведения или частного, которые можно объединить, и не потерян ли квадрат.

Сколько времени отводить на этот номер?

Ориентир — 2–3 минуты. Если выражение не упрощается за 5 минут, лучше перейти к следующему номеру и вернуться в конце.

Пригодятся ли эти навыки дальше?

Да: те же свойства нужны в номере 17 при решении показательных и логарифмических уравнений. Уверенность в номере 16 заметно облегчает следующий номер.