Задание 17 ЕГЭ база: как решать уравнения разных типов

Что проверяет задание 17 и сколько оно стоит

Задание 17 — это уравнение с кратким ответом, которое проверяет знание базовых приёмов решения из курса алгебры 8–11 классов. По проекту спецификации ФИПИ 2027 года за верный ответ ставится 1 первичный балл, как и за любой другой номер базового экзамена^[1].

Уравнения в этом номере короткие: одна степень, один логарифм, один корень или квадратный трёхчлен. Сложность не в преобразованиях, а в аккуратности — посторонний корень, потерянный знак или неверно прочитанное указание «запишите меньший корень» стоят балла так же, как незнание метода. Проект демоверсии ФИПИ^[2] показывает формат без изменений по сравнению с прошлыми годами.

Если уравнение имеет несколько корней, условие обязательно уточняет, какой записать: больший, меньший или их сумму. Если корень единственный, указания нет. Это полезная подсказка: когда в условии нет уточнения, а у вас получилось два корня, один из них, скорее всего, посторонний.

Четыре типа уравнений и их ключи

Каждый тип уравнения в номере 17 открывается своим ключом: показательное — приведением к одному основанию, логарифмическое — определением логарифма, иррациональное — возведением в квадрат, квадратное — дискриминантом или теоремой Виета.

Тип	Пример	Ключевой шаг	Что проверить
Показательное	$3^{x-2} = 27$	$27 = 3^3$ , приравнять показатели	знак при переносе
Логарифмическое	$\log_2(x+5) = 4$	$x + 5 = 2^4$	аргумент больше нуля
Иррациональное	$\sqrt{x+2} = x$	возвести в квадрат	посторонний корень
Квадратное	$x^2 - 2x - 15 = 0$	дискриминант или Виета	какой корень просят

Узнать тип можно по первому взгляду: переменная в показателе — показательное, под знаком логарифма — логарифмическое, под корнем — иррациональное, в квадрате без корней и логарифмов — квадратное. Встречаются и линейные или дробные уравнения, но они решаются ещё проще и в этой статье разобраны мимоходом.

Показательные уравнения: одно основание

Чтобы решить показательное уравнение базового уровня, обе части записывают как степени одного и того же числа и приравнивают показатели. Основание при этом должно быть положительным и не равным 1.

Найдите корень уравнения $\left(\frac15\right)^{x+1} = 125$ .

Приводим к основанию 5: $\frac15 = 5^{-1}$ , $125 = 5^3$ . Получаем $5^{-(x+1)} = 5^3$ , откуда $-x - 1 = 3$ и $x = -4$ . Проверка: $\left(\frac15\right)^{-3} = 5^3 = 125$ — верно. Ответ: −4.

Похожий пример: $2^{4-x} = \frac18$ . Так как $\frac18 = 2^{-3}$ , получаем $4 - x = -3$ , $x = 7$ . Главная ловушка — знак: переменная стоит с минусом, и при переносе легко получить $x = 1$ вместо 7. Подробнее о приёмах, включая замену переменной, — в теме показательные уравнения.

Логарифмические уравнения: определение и проверка

Уравнение $\log_a f(x) = c$ по определению логарифма равносильно $f(x) = a^c$ при условии $f(x) > 0$ . В уравнениях базового уровня это условие выполняется автоматически, но проверить его нужно всегда.

Найдите корень уравнения $\log_3(5 - x) = 2$ .

По определению: $5 - x = 3^2 = 9$ , откуда $x = -4$ . Проверка аргумента: $5 - (-4) = 9 > 0$ — корень подходит. Ответ: −4. Отрицательный ответ здесь нормален: ограничение касается выражения под логарифмом, а не самой переменной.

Если по обе стороны стоят логарифмы с одинаковым основанием, их аргументы приравнивают: $\log_3(2x - 1) = \log_3 7$ даёт $2x - 1 = 7$ , $x = 4$ . Проверка: $2 \cdot 4 - 1 = 7 > 0$ . Учебник Мордковича^[3] называет этот переход потенцированием и подчёркивает, что он допустим, только если оба аргумента положительны. Больше примеров с областью определения собрано в теме логарифмические уравнения.

Миф: «корень логарифмического уравнения не может быть отрицательным». Это неверно: в уравнении $\log_3(5 - x) = 2$ корень равен −4, и он подходит. Положительным обязан быть аргумент логарифма, а не переменная.

Иррациональные и квадратные уравнения

Иррациональное уравнение — это уравнение с переменной под знаком корня, и его главный приём — возведение обеих частей в квадрат. Возведение в квадрат может добавить посторонний корень, поэтому проверка обязательна.

Найдите корень уравнения $\sqrt{x + 2} = x$ . Если корней несколько, в ответе укажите больший.

Возводим в квадрат: $x + 2 = x^2$ , то есть $x^2 - x - 2 = 0$ . По теореме Виета корни $x = 2$ и $x = -1$ . Проверка: при $x = 2$ получаем $\sqrt{4} = 2$ — верно; при $x = -1$ левая часть $\sqrt{1} = 1$ , правая $-1$ — неверно. Корень −1 посторонний, ответ: 2. Здесь фраза «если корней несколько» — ловушка: настоящий корень один.

Простой случай без ловушки: $\sqrt{2x + 7} = 5$ , откуда $2x + 7 = 25$ и $x = 9$ . Правая часть положительна, поэтому посторонних корней не возникает. Разбор случаев, когда правая часть содержит переменную, есть в теме иррациональные уравнения.

Квадратное уравнение $x^2 - 2x - 15 = 0$ решается по теореме Виета: произведение корней $-15$ , сумма 2, значит, корни 5 и −3. Если условие просит меньший корень, ответ −3, больший — 5. Формула дискриминанта даёт то же самое: $D = 4 + 60 = 64$ , $x = \frac{2 \pm 8}{2}$ . Учебник Макарычева для 8 класса^[4] подробно разбирает оба способа, и для экзамена достаточно уверенно владеть хотя бы одним.

Тренажёр: уравнения из задания 17

Генератор вверху страницы — это бесконечные варианты трёх типов: показательное уравнение вида $a^{x+c} = b$ , логарифмическое $\log_a(x + c) = k$ и иррациональное $\sqrt{x + c} = m$ . Квадратных уравнений в нём нет — их тренируют по сборнику.

Решите задачу в черновике, введите корень в поле «Ответ» и нажмите «Проверить». Кнопка «Решение» показывает ход в одну-две строки, а «Следующая задача →» выдаёт новые числа. Полоска последних ответов и счётчик «решено X из Y» помогают отслеживать точность; разумная планка — 9 верных из 10.

Не ограничивайтесь вводом числа: подставляйте найденный корень обратно в уравнение хотя бы мысленно. Эта привычка, отработанная на тренажёре, на экзамене сработает автоматически и убережёт от посторонних решений.

Типичные ошибки и проверка подстановкой

Не менее трёх ошибок из четырёх в этом номере ловятся одной подстановкой корня в исходное уравнение. Остальные связаны с невнимательным чтением вопроса.

Потеря знака. В уравнении $2^{4-x} = 2^{-3}$ ответ 7, а не 1 и не −7.
Посторонний корень. После возведения в квадрат корень, при котором правая часть отрицательна, не подходит.
Не тот корень. Просили меньший, а записали больший или первый попавшийся.
Неверная степень. $\log_2(x+5) = 4$ означает $x + 5 = 16$ , а не $x + 5 = 8$ .

Проверка подстановкой занимает 20–30 секунд. Для $\log_2(x+5) = 4$ при $x = 11$ : $\log_2 16 = 4$ — верно. Для $3^{x-2} = 27$ при $x = 5$ : $3^3 = 27$ — верно. Если подстановка не сходится, ошибка найдена ещё до записи в бланк.

Миф: «проверку делают только в задачах второй части, а в кратком ответе она не нужна». Не подтверждается: автоматическая проверка не видит решения, зато посторонний корень в бланке сразу превращает ответ в неверный. Проверка подстановкой — единственная защита.

Когда этот разбор не поможет

Не всем подходит путь «сразу решать номер 17» — иногда сначала нужно закрыть пробелы в соседних темах.

Если степени с отрицательным показателем вызывают затруднения в 5 примерах из 10, сначала повторите свойства степеней из задания 16.
Если логарифмы в школе ещё не проходили, за 2–3 дня освоить их с нуля трудно — начните с показательных и иррациональных уравнений.
Если квадратное уравнение решается дольше 5 минут, нужна отдельная тренировка дискриминанта, а не смешанные задачи.
Если до экзамена меньше 7 дней, отработайте 2 самых частых типа и не тратьте время на редкие.

Чего делать нельзя

Нельзя записывать в бланк корень, который не прошёл проверку, — ниже 6 правил, которые берегут балл.

Нельзя возводить в квадрат иррациональное уравнение и не проверять найденные корни.
Нельзя приравнивать показатели, пока степени не приведены к одному основанию.
Не следует отбрасывать отрицательный корень логарифмического уравнения без проверки аргумента.
Не следует записывать оба корня, если условие просит один: в бланк идёт одно число.
Не стоит решать квадратное уравнение «в уме» без записи дискриминанта, если не уверены в устном счёте.
Не допускается запись ответа в виде «x=5» — в бланке только число.

Как записать ответ в бланк

Ответ на номер 17 — это одно число: целое или десятичная дробь, при необходимости со знаком минус. Символы пишутся по одному в клеточку, начиная с левой.

Корень −4 записывается как «-4», корень 2,5 — как «2,5». Не пишите «x =», не перечисляйте корни через точку с запятой и не указывайте их в виде дроби $\frac52$ . Если корень получился бесконечной десятичной дробью, почти наверняка в решении ошибка: в базовом экзамене корни подобраны «удобными». Неравенства, которые часто путают с уравнениями, проверяются в соседнем задании 18 базового уровня — там ответ записывается как последовательность цифр.

Источники

[1] ФИПИ. Спецификация контрольных измерительных материалов для проведения в 2027 году единого государственного экзамена по математике. Базовый уровень (проект). — М.: ФИПИ, 2026.

[2] ФИПИ. Демонстрационный вариант контрольных измерительных материалов единого государственного экзамена 2027 года по математике. Базовый уровень (проект). — М.: ФИПИ, 2026.

[3] Мордкович А. Г. Алгебра и начала математического анализа. 10–11 классы. — М.: Мнемозина.

[4] Макарычев Ю. Н., Миндюк Н. Г., Нешков К. И., Суворова С. Б. Алгебра. 8 класс. — М.: Просвещение.

Вопросы и ответы

Какой тип уравнения в задании 17 встречается чаще?

По сборникам типовых вариантов встречаются все четыре типа, и предсказать конкретный нельзя. Поэтому стоит уверенно владеть каждым: приёмов всего четыре, и каждый умещается в несколько строк.

Нужно ли записывать ОДЗ?

Решение в номере с кратким ответом не проверяется, поэтому формально записывать ничего не нужно. Но проверить, что аргумент логарифма положителен, а правая часть иррационального уравнения не отрицательна, обязательно.

Что делать, если корень не находится целым?

Корень может быть десятичной дробью, например 2,5. Если же он выражается через корень или логарифм, скорее всего, допущена ошибка в приведении к основанию.

Можно ли решать подбором?

Да, если подобранное число проверено подстановкой. Подбор хорошо работает для показательных уравнений, но в квадратных легко найти один корень и пропустить второй, который и был нужен.

Сколько времени нужно на номер?

Обычно 3–4 минуты вместе с проверкой. На весь базовый экзамен отводится 180 минут, так что на подстановку время найдётся всегда.

Связан ли этот номер с профильным экзаменом?

Похожие простые уравнения есть и в первой части профиля, но там они чуть сложнее. Если базовый номер решается уверенно, это хорошая основа и для профильного уровня.