Как решать уравнения с корнем и не потерять балл на постороннем корне

Иррациональное уравнение — что это

Иррациональное уравнение — это уравнение, в котором неизвестное содержится под знаком радикала: квадратного, кубического или другого корня. Например, $\sqrt{x + 2} = x$, $\sqrt[3]{x - 3} = -2$, $\sqrt{x + 5} - \sqrt{x} = 1$.

Уравнение $\sqrt2 \cdot x = 3$ иррациональным не считается: корень там есть, но неизвестное под него не входит, и это обычное линейное уравнение. Важно и то, какой корень стоит в уравнении. Квадратный корень определён только для неотрицательных чисел и сам всегда неотрицателен: $\sqrt{a} \ge 0$. Кубический корень определён для любых чисел и может быть отрицательным. От этого различия зависит, появятся ли при решении лишние корни.

По учебнику Колмогорова^[1] и учебнику Мордковича иррациональные уравнения изучаются в 10–11 классах как часть темы о степени с рациональным показателем. На экзамене они встречаются чаще, чем кажется: в базовом ЕГЭ это один из видов уравнений задания 17, а в профильном — задание 7 (в 2026 году — № 6). Простейшие случаи вида $\sqrt{f(x)} = a$ решаются в одну строку, сложные требуют двух возведений в квадрат и аккуратной проверки.

Откуда берутся посторонние корни

Посторонний корень — это число, которое удовлетворяет уравнению после возведения в квадрат, но не удовлетворяет исходному уравнению. Он появляется потому, что из $a = b$ следует $a^2 = b^2$, а обратное верно не всегда.

Это следует из простой теоремы о равенстве квадратов: из $a^2 = b^2$ вытекает лишь $a = \pm b$. Например, $(-3)^2 = 3^2$, хотя $-3 \ne 3$. Возводя уравнение в квадрат, мы «склеиваем» два разных уравнения: $\sqrt{f} = g$ и $\sqrt{f} = -g$. Корни второго и оказываются посторонними.

Решите уравнение $\sqrt{x + 2} = x$.

Возводим в квадрат: $x + 2 = x^2$, то есть $x^2 - x - 2 = 0$. Корни $x = 2$ и $x = -1$. Проверка: при $x = 2$ получаем $\sqrt4 = 2$ — верно. При $x = -1$ получаем $\sqrt1 = 1$, а справа $-1$ — неверно. Число $-1$ — посторонний корень: оно решает уравнение $\sqrt{x + 2} = -x$, а не наше. Ответ: $2$.

Обратите внимание: $-1$ входит в область допустимых значений, ведь $x + 2 = 1 \ge 0$. Значит, одной ОДЗ для отсева посторонних корней мало — нужна проверка знака правой части.

Миф: «если найти ОДЗ и выбрать корни из неё, проверка не нужна». Это неверно: в примере выше корень $-1$ лежит в ОДЗ, но уравнению не удовлетворяет. Для квадратного корня нужно ещё условие $g(x) \ge 0$ на правую часть или прямая подстановка — без этого посторонний корень попадёт в ответ.

Способ 1: возведение в квадрат с проверкой

Чтобы решить иррациональное уравнение первым способом, достаточно 4 шагов: уединить радикал, возвести в квадрат, решить полученное уравнение и подставить каждый корень в исходное.

1. Уединить корень. Оставьте радикал одним в левой части: $\sqrt{x + 7} + 1 = x$ превращается в $\sqrt{x + 7} = x - 1$.
2. Возвести в квадрат. $x + 7 = x^2 - 2x + 1$. Правую часть возводят по формуле квадрата разности, а не почленно.
3. Решить. $x^2 - 3x - 6 = 0$ — здесь корни иррациональны, поэтому в школьных задачах коэффициенты обычно подобраны «хорошими».
4. Проверить. Каждый корень подставляют в исходное уравнение, а не в полученное после возведения.

Способ удобен, когда корни целые и подстановка занимает секунды. Если же корни вида $\frac{3 \pm \sqrt{33}}{2}$, подставлять их неудобно, и лучше работать вторым способом — через условие на знак.

Способ 2: равносильный переход к системе

Равносильный переход — это замена уравнения $\sqrt{f(x)} = g(x)$ системой из уравнения $f(x) = g(x)^2$ и неравенства $g(x) \ge 0$. Проверка подстановкой тогда не нужна: условие само отсекает посторонние корни.

$$\sqrt{f(x)} = g(x) \iff \begin{cases} f(x) = g(x)^2, \\ g(x) \ge 0. \end{cases}$$

Учебник Мордковича называет такую систему основным способом решения. Условие $f(x) \ge 0$ в систему не пишут: оно выполняется автоматически, ведь $f = g^2 \ge 0$. Пример: $\sqrt{2x + 7} = x + 2$. Условие $x \ge -2$. Возводим: $2x + 7 = x^2 + 4x + 4$, то есть $x^2 + 2x - 3 = 0$, корни $1$ и $-3$. Число $-3 < -2$ отбрасываем. Ответ: $1$. Проверка для уверенности: $\sqrt9 = 3 = 1 + 2$.

Для уравнения $\sqrt{f} = \sqrt{g}$ достаточно проверить неотрицательность только одного из подкоренных выражений: если они равны, второе неотрицательно автоматически. Удобнее выбирать то, что проще.

Уравнения с двумя радикалами

Если в уравнении 2 радикала, их разносят по разным частям и возводят в квадрат дважды: первое возведение убирает один корень, второе — оставшийся.

Решите уравнение $\sqrt{x + 5} = 1 + \sqrt{x}$.

Обе части неотрицательны при $x \ge 0$, возводим: $x + 5 = 1 + 2\sqrt{x} + x$. Упрощаем: $2\sqrt{x} = 4$, $\sqrt{x} = 2$, $x = 4$. Проверка: $\sqrt9 = 3$ и $1 + \sqrt4 = 3$ — верно.

Если же оба корня стоят в одной части, например $\sqrt{x + 3} + \sqrt{x - 2} = 5$, после первого возведения появляется произведение: $2x + 1 + 2\sqrt{(x + 3)(x - 2)} = 25$. Уединяем его: $\sqrt{x^2 + x - 6} = 12 - x$, добавляем условие $x \le 12$ и возводим ещё раз: $25x = 150$, $x = 6$. Проверка: $3 + 2 = 5$. Каждое возведение в квадрат — новый шанс на посторонний корень, поэтому в таких уравнениях проверка обязательна.

Замена переменной и кубический корень

Если корень входит в уравнение вместе со своим квадратом, например $x$ и $\sqrt{x}$, удобна замена $t = \sqrt{x}$ с условием $t \ge 0$ — уравнение становится квадратным.

Пример: $x - 5\sqrt{x} + 6 = 0$. При $t = \sqrt{x}$ получаем $t^2 - 5t + 6 = 0$, $t = 2$ или $t = 3$. Оба значения неотрицательны, поэтому $x = 4$ или $x = 9$. Если бы среди значений $t$ оказалось отрицательное, его пришлось бы отбросить: $\sqrt{x}$ не может быть меньше нуля. Решать квадратное уравнение после замены помогает статья квадратные уравнения: дискриминант и Виет.

С кубическим корнем всё проще. Возведение в куб — равносильное преобразование, потому что из $a^3 = b^3$ следует $a = b$ для любых чисел. Пример: $\sqrt[3]{x - 3} = -2$, значит $x - 3 = -8$, $x = -5$. Отрицательная правая часть здесь не ошибка, и лишних решений не бывает. Свойства корней разных степеней собраны в материале арифметический квадратный корень и его свойства.

Иррациональные уравнения на ЕГЭ и запись ответа

Иррациональные уравнения встречаются в 2 заданиях с кратким ответом: в задании 17 базового уровня и в задании 7 профильного (по спецификации ФИПИ^[2] — бывший № 6). Разборы номеров — в статьях задание 17 ЕГЭ базового уровня и задание 7 профильного ЕГЭ.

В бланк записывают одно число. Если корней несколько, условие уточняет, какой нужен: больший, меньший или их сумма. Посторонний корень, попавший в ответ, превращает верное решение в 0 баллов, потому что в первой части проверяется только число. В развёрнутом решении, например в задании 14 профиля, критерии оценивания требуют явно показать, почему лишний корень отброшен: «$x = -1$ не удовлетворяет условию $x \ge 0$».

Миф: «у уравнения с корнем всегда есть хотя бы одно решение». Это неверно: $\sqrt{x - 1} = -3$ решений не имеет, потому что квадратный корень не может быть отрицательным. Возведение в квадрат дало бы $x = 10$, но подстановка его не подтверждает.

Задачи с проверкой

Блок «Задачи с проверкой» вверху страницы — 8 уравнений: простейшие, с равносильным переходом, с двумя корнями в условии, с заменой и кубическим корнем. Ответ вводится числом.

Кнопка «Проверить» сразу оценивает ответ, «Решение» показывает разбор, «Следующая задача →» переключает на новую задачу. Перед вводом ответа сделайте проверку подстановкой сами — это главная привычка, которую тренирует блок.

Когда этот приём не работает

Не каждое уравнение с корнем выгодно сразу возводить в квадрат: в 4 случаях лучше начать с другого шага.

• Если правая часть — отрицательное число, то есть число меньше 0, уравнение $\sqrt{f} = -3$ корней не имеет, и возводить ничего не нужно.
• Если корень стоит под корнем, как в $\sqrt{1 + \sqrt{x}}$, сначала избавляются от внешнего корня, и действий будет 2.
• Если степень корня равна 3, вместо квадрата нужен куб, и условие на знак не накладывают.
• Если после возведения получается уравнение 4-й степени, сначала попробуйте замену переменной — она часто снижает степень вдвое.

Чего делать нельзя

Не следует путать преобразования, которые сохраняют корни, с теми, что добавляют лишние.

• Нельзя возводить в квадрат почленно: $(x - 1)^2$ не равно $x^2 - 1$.
• Нельзя записывать ответ без проверки корней или условия $g(x) \ge 0$.
• Не следует проверять корень по уравнению, полученному после преобразования: проверка проводится только по исходному уравнению.
• Не следует возводить в квадрат, не уединив корень: удвоенное произведение снова даст корень.
• Не стоит накладывать условие $g(x) \ge 0$ для кубического корня — так теряются верные корни.
• Не стоит оставлять в ответе отрицательное значение $t = \sqrt{x}$ после замены.

Источники

[1] Колмогоров А. Н., Абрамов А. М., Дудницын Ю. П. и др. Алгебра и начала математического анализа. 10–11 классы. — М.: Просвещение.

[2] ФИПИ. Спецификация контрольных измерительных материалов для проведения в 2027 году единого государственного экзамена по математике. Профильный уровень (проект). — М.: ФИПИ, 2026.

[3] Мордкович А. Г. Алгебра и начала математического анализа. 10–11 классы. — М.: Мнемозина.

Вопросы и ответы

Обязательно ли писать ОДЗ в иррациональном уравнении?

Не обязательно, если вы пользуетесь равносильным переходом или проверкой подстановкой. ОДЗ без условия на правую часть не отсекает все лишние решения.

Какой способ надёжнее: проверка или условие на знак?

Для целых корней быстрее проверка подстановкой. Для корней вида $1 + \sqrt3$ надёжнее условие $g(x) \ge 0$: сравнить число с границей проще, чем подставлять его в уравнение.

Почему кубический корень не даёт лишних решений?

Функция $y = x^3$ возрастает на всей прямой, поэтому разные числа имеют разные кубы. Возведение в куб не склеивает разные уравнения.

Сколько корней может быть у такого уравнения?

Сколько угодно, в том числе ни одного. В заданиях с кратким ответом обычно 1 корень или 2, и тогда спрашивают больший либо меньший.

Встречаются ли иррациональные уравнения в ОГЭ?

В перечне тем задания 9 ОГЭ указаны линейные, квадратные и рациональные уравнения. Уравнения с переменной под корнем — материал старших классов, они нужны для ЕГЭ.

Что делать, если после преобразований получилось тождество?

Например, $0 = 0$. Тогда решениями будут все $x$, удовлетворяющие условиям на знаки и подкоренные выражения, — их нужно выписать в виде промежутка. По учебнику Мордковича^[3] такие случаи разбирают отдельно.