Задание 7 ЕГЭ профиль: простейшие уравнения и их корни

Q: Как быстро решать тригонометрию в этом номере?

Выписать общую формулу решений, выразить x через k и перебрать 3–4 значения k вблизи нуля. Это быстрее, чем решать двойное неравенство, и для первой части вполне надёжно. Формулы корней простейших тригонометрических уравнений подробно разобраны в учебнике Мордковича [4] .

Что проверяет задание 7 и откуда оно взялось

Задание 7 — это уравнение, которое решается в 1–3 преобразования и имеет один корень или несколько корней, из которых нужно выбрать указанный. За верное число в бланке ставится 1 первичный балл^[1].

По документу ФИПИ «Планируемые изменения в КИМ ЕГЭ 2027 года» новый номер 6 вставлен перед уравнениями, поэтому номера 7–12 проекта соответствуют номерам 6–11 варианта 2026 года^[2]. Для подготовки это значит одно: все сборники и разборы прошлых лет с пометкой «№ 6» относятся к седьмому номеру 2027 года, и их можно использовать без изменений.

Номер не требует оформления, но требует аккуратности: в условии часто стоит фраза «если уравнение имеет более одного корня, укажите меньший из них», а посторонний корень после возведения в квадрат или потенцирования может выглядеть совершенно правдоподобно. Ориентир по времени — 2–4 минуты.

Уравнения с развёрнутым решением и отбором корней на отрезке — это отдельный номер второй части; здесь же всё сводится к одному-двум числам и короткой проверке. Различие важно: приёмы оформления из второй части в седьмом номере не нужны, а вот проверку корня подстановкой пропускать нельзя.

Пять видов простейших уравнений

В седьмом номере встречаются 5 видов уравнений, и у каждого свой главный приём и своя ловушка. Таблица ниже — опорный конспект, который стоит держать в голове.

Вид	Пример	Главный приём	Ловушка
Показательное	$2^{3x - 1} = \frac{1}{16}$	привести обе части к одному основанию	$\frac{1}{16} = 2^{-4}$ , а не $2^4$
Логарифмическое	$\log_3(x - 4) = 2$	по определению: $x - 4 = 3^2$	аргумент логарифма должен быть положителен
Иррациональное	$\sqrt{2x + 3} = x$	возвести в квадрат	посторонний корень при отрицательной правой части
Рациональное	$\frac{x + 4}{x - 2} = 3$	умножить на знаменатель	знаменатель не равен нулю
Тригонометрическое	$\cos\frac{\pi(4x - 5)}{3} = \frac12$	общая формула решений с параметром $k$	выбор наибольшего отрицательного или наименьшего положительного корня

Все эти приёмы опираются на свойства функций: показательная и логарифмическая функции монотонны, поэтому равенство значений означает равенство аргументов, а квадратный корень по определению неотрицателен. Учебник Колмогорова для 10–11 классов^[3] объясняет, почему возведение в квадрат может добавить посторонний корень: из $a = b$ следует $a^2 = b^2$ , но обратное верно только если $a$ и $b$ одного знака.

Подробные разборы по видам есть на отдельных страницах: показательные уравнения на ЕГЭ, логарифмические уравнения с ОДЗ и иррациональные уравнения и посторонние корни.

Разбор типовых уравнений задания 7

Чтобы не потерять балл, решайте любое уравнение по одной схеме: преобразовать, найти кандидатов, подставить каждого в исходное уравнение и только потом выбрать ответ. Ниже — пять уравнений разных видов.

Логарифмическое

Найдите корень уравнения $\log_3(x - 4) = 2$ .

По определению логарифма $x - 4 = 3^2 = 9$ , откуда $x = 13$ . Проверка: $\log_3 9 = 2$ , аргумент положителен. Ответ: 13.

Показательное

Найдите корень уравнения $2^{3x - 1} = \frac{1}{16}$ .

Правая часть: $\frac{1}{16} = 2^{-4}$ . Основания равны, значит, $3x - 1 = -4$ , $x = -1$ . Проверка: $2^{-4} = \frac{1}{16}$ . Ответ: $-1$ .

Иррациональное с посторонним корнем

Найдите корень уравнения $\sqrt{2x + 3} = x$ . Если уравнение имеет более одного корня, укажите меньший из них.

Возводим в квадрат: $2x + 3 = x^2$ , то есть $x^2 - 2x - 3 = 0$ , кандидаты $3$ и $-1$ . Подставляем: при $x = 3$ получаем $\sqrt9 = 3$ — верно; при $x = -1$ получаем $\sqrt1 = 1 \ne -1$ — посторонний корень, потому что корень не может равняться отрицательному числу. Остаётся один корень, и «меньший из них» — это 3, а не $-1$ . Ответ: 3.

Логарифмы с двумя корнями

Решите уравнение $\log_5(x^2 - 4x) = \log_5(x + 14)$ . Если корней несколько, укажите меньший.

Приравниваем аргументы: $x^2 - 4x = x + 14$ , $x^2 - 5x - 14 = 0$ , кандидаты $7$ и $-2$ . Проверка аргументов: при $x = 7$ оба равны 21; при $x = -2$ оба равны 12. Оба корня подходят — здесь отрицательный корень не посторонний, и ответом будет именно он. Ответ: $-2$ .

Тригонометрическое

Решите уравнение $\cos\frac{\pi(4x - 5)}{3} = \frac12$ . В ответе напишите наибольший отрицательный корень.

Аргумент равен $\pm\frac{\pi}{3} + 2\pi k$ , $k \in \mathbb{Z}$ , откуда $4x - 5 = \pm1 + 6k$ , то есть $x = \frac{6 + 6k}{4}$ или $x = \frac{4 + 6k}{4}$ . Перебираем $k$ : в первой серии наибольший отрицательный корень $-1{,}5$ (при $k = -2$ ), во второй — $-0{,}5$ (при $k = -1$ ). Наибольший из них $-0{,}5$ . Ответ: $-0{,}5$ .

Миф: «отрицательный корень в иррациональном или логарифмическом уравнении всегда посторонний». Это неверно: в четвёртом примере корень $-2$ подходит, потому что аргументы логарифмов при нём положительны. Посторонним корень делает не знак, а невыполненное условие — проверяется подстановкой, а не на глаз.

Тренажёр: уравнения с бесконечными вариантами

Тренажёр «№ 7 ЕГЭ профиль» вверху страницы генерирует бесконечные варианты трёх видов: логарифмическое уравнение $\log_a(x + b) = c$ с основанием от 2 до 5, иррациональное $\sqrt{x + b} = c$ и показательное с основанием 2, 3 или 5.

Решите задачу, впишите число в поле «Ответ» и нажмите «Проверить». При ошибке «Решение» покажет преобразования, «Следующая задача →» сменит числа. Полоска последних ответов и счётчик «решено X из Y» дают картину точности. Норма — 15 задач подряд без единой ошибки: задание 7 простое, и ошибаться в нём можно только по невнимательности.

Тригонометрии, дробей со знаменателем и случаев с двумя кандидатами в генераторе нет. Их нужно отработать дополнительно — по образцам выше и сборнику типовых вариантов. Для тригонометрии удобно держать под рукой интерактивный тригонометрический круг: на нём видно, какие углы дают нужное значение косинуса.

Ошибки и ловушки в задании 7

Если ответ не совпал, проверьте 5 типичных мест: знак показателя, область определения логарифма, посторонний корень, ноль в знаменателе и выбор корня по условию.

Знак показателя. $\frac{1}{8} = 2^{-3}$ , $\sqrt{3} = 3^{\frac12}$ . Перепутанный знак даёт корень с противоположным знаком.
Область определения. Аргумент логарифма должен быть больше нуля, основание — положительно и не равно 1. Корень, при котором логарифм не определён, в ответ не входит.
Посторонний корень. После возведения в квадрат подставьте каждый корень в исходное уравнение: правая часть $\sqrt{\ldots} = x$ не может быть отрицательной.
Знаменатель. В примере $\frac{x + 4}{x - 2} = 3$ ответ $x = 5$ подходит, но если бы получилось $x = 2$ , его пришлось бы отбросить.
Не тот корень. «Меньший», «больший», «наибольший отрицательный» — прочитайте это до решения, а не после.

Не путать: короткую задачу седьмого номера и развёрнутое решение второй части с отбором корней на отрезке. Развёрнутое решение на 2 балла разобрано на странице про уравнение с отбором корней.

Проверка корня и запись в бланк

Ответ — одно число: целое или десятичная дробь через запятую, минус ставится в первой клеточке. Если корень получился дробью $\frac{7}{4}$ , в бланк пишут 1,75.

Подстановка корня в исходное уравнение — самая надёжная проверка во всей первой части: она занимает 20–30 секунд и ловит сразу и арифметическую ошибку, и посторонний корень. Учебник Мордковича для 10–11 классов называет проверку подстановкой обязательным этапом решения иррациональных уравнений, и на экзамене этот совет работает так же. Для логарифма проверьте, что аргумент положителен и равенство выполняется; для степени — что она действительно даёт правую часть.

Ответ вида $\frac13$ или $\sqrt2$ записать в бланк невозможно. Если такое число получилось, а условие не просит, например, «укажите $3x$ », почти наверняка ошибка в преобразованиях.

Когда упор на этот номер не нужен

Не стоит тратить на седьмой номер много времени, если он уже решается — это одна из самых «дешёвых» задач первой части.

Если номер решается верно в 14 случаях из 15, дальнейшая тренировка почти ничего не даст — переходите к номерам 8–12.
Если не освоены свойства степеней и логарифмов, сначала нужны 3–4 занятия на преобразования, иначе ошибки будут в каждой второй задаче.
Если до экзамена меньше 2 недель, хватит повторить 5 видов из таблицы и прорешать по 5 уравнений каждого вида.
Если задача занимает больше 6 минут, вероятно, выбран слишком сложный путь: в первой части всё решается в 1–3 строки.

Чего делать нельзя

Нельзя считать седьмой номер гарантированным баллом без проверки — потери здесь почти всегда связаны с посторонними корнями и невнимательным чтением.

Нельзя записывать ответ задачи с радикалом без подстановки в условие.
Нельзя отбрасывать отрицательный корень только из-за знака — решает проверка условия.
Не следует писать в бланк два корня, если просят указать один из них.
Не следует путать $2^{-4}$ и $-2^4$ : первое равно $\frac{1}{16}$ , второе равно $-16$ .
Не стоит решать задачи прошлых лет под номером 7 как уравнения: в 2026 году седьмым номером были вычисления и преобразования.

Источники

[1] ФИПИ. Спецификация контрольных измерительных материалов для проведения в 2027 году единого государственного экзамена по математике. Профильный уровень (проект). — М.: ФИПИ, 2026.

[2] ФИПИ. Планируемые изменения в КИМ ЕГЭ 2027 года. — М.: ФИПИ, 2026.

[3] Колмогоров А. Н., Абрамов А. М., Дудницын Ю. П. и др. Алгебра и начала математического анализа. 10–11 классы. — М.: Просвещение.

[4] Мордкович А. Г. Алгебра и начала математического анализа. 10–11 классы. — М.: Мнемозина.

Вопросы и ответы

Это то же, что задание 6 в 2026 году?

Да. По проекту ФИПИ 2027 года уравнения с кратким ответом сдвинулись с шестого места на седьмое, тип задачи и 1 балл сохранились. Номер 6 теперь занимает новая задача о случайной величине.

Нужно ли записывать ОДЗ?

В первой части решение не проверяется: по спецификации ФИПИ за номер ставится балл только за верное число в бланке, поэтому записывать ничего не нужно. Но держать ограничения в голове обязательно: проверка корня по ОДЗ занимает несколько секунд.

Встречаются ли квадратные и рациональные уравнения?

Да, наряду с показательными и логарифмическими. Приём для дробей — умножить на знаменатель и не забыть, что он не должен обращаться в ноль.

Как быстро решать тригонометрию в этом номере?

Выписать общую формулу решений, выразить $x$ через $k$ и перебрать 3–4 значения $k$ вблизи нуля. Это быстрее, чем решать двойное неравенство, и для первой части вполне надёжно. Формулы корней простейших тригонометрических уравнений подробно разобраны в учебнике Мордковича^[4].

Что делать, если корней нет?

В первой части ответ обязательно существует, иначе нечего записать в бланк. Если решений не получилось, перепроверьте преобразования.

Можно ли угадать корень подбором?

Можно, если подбор подтверждён подстановкой и условие не требует «меньший из корней»: тогда угаданный корень может оказаться не тем. Подбор — запасной путь, а не основной.