Задание 5 ЕГЭ профиль: сложение и умножение вероятностей

Q: Встречается ли формула Бернулли?

Задачи «ровно k успехов из n» решаются произведением вероятностей и числом сочетаний C_n^k. Отдельное название формулы помнить не обязательно, важно понимать, откуда берётся множитель.

Что проверяет задание 5 и сколько стоит

Задание 5 — это вероятностная задача повышенного по сравнению с четвёртым номером уровня: вместо одной дроби $\frac{m}{n}$ приходится комбинировать события. За верный ответ ставится 1 первичный балл^[1].

По проекту спецификации ФИПИ 2027 года в первой части профильного варианта 13 номеров, из них три посвящены теории вероятностей: классическая вероятность, теоремы о вероятностях событий и новый номер о случайной величине. Пятый номер по содержанию и позиции не изменился, поэтому задачи прошлых лет подходят без оговорок.

Сюжеты типичны: стрелки и мишени, исправность приборов, продажа товаров из двух магазинов, брак на двух фабриках, шахматные партии, батарейки в упаковке. За разными сюжетами стоит небольшой набор правил — их всего четыре, и они сведены в таблицу ниже. Применять правило можно только если проверено, как связаны события: совместны ли они и зависит ли одно событие от другого.

Задачи номера опираются на курс «Вероятность и статистика» 10–11 классов, который по федеральной образовательной программе изучается как отдельный предмет^[2]. Там же вводятся условная вероятность, формула полной вероятности и дерево случайного эксперимента.

Четыре правила для комбинаций событий

Если в задаче больше одного события, ответ почти всегда собирается из 4 правил: сложения для несовместных, умножения для независимых, перехода к противоположному событию и формулы полной вероятности.

Правило	Формула	Когда применять
Сложение несовместных	$P(A + B) = P(A) + P(B)$	события не могут произойти одновременно
Сложение совместных	$P(A + B) = P(A) + P(B) - P(AB)$	события могут произойти вместе
Умножение независимых	$P(AB) = P(A) \cdot P(B)$	наступление одного не влияет на другое
Противоположное событие	$P(\bar A) = 1 - P(A)$	«хотя бы один», «не все», «ни одного»
Условная вероятность	$P(A \mid B) = \frac{P(AB)}{P(B)}$	известно, что событие $B$ уже произошло
Полная вероятность	$P(A) = \sum P(H_i) \cdot P(A \mid H_i)$	результат зависит от того, какая из гипотез реализовалась

Слова в условии подсказывают правило: «или» — сложение, «и» — умножение, «хотя бы один» — переход к противоположному событию, «известно, что» — условная вероятность. Но подсказка работает только вместе с проверкой условий: складывать можно лишь несовместные события, перемножать — лишь независимые. Независимость нельзя «додумать»: она либо прямо сказана в условии, либо следует из устройства опыта — например, два разных кубика или два стрелка, которые не видят выстрелов друг друга. Если события связаны, как «прослужит год» и «прослужит два года», формула умножения не подходит.

Теорию с доказательствами и примерами дерева смотрите в статье сложение и умножение вероятностей. Если число вариантов приходится считать через перестановки и сочетания, пригодится материал по теме комбинаторика для ЕГЭ.

Разбор задач по шагам

Чтобы не запутаться, назовите каждое простое событие буквой, выпишите его вероятность и только потом составляйте формулу. На это уходит 30 секунд, а ошибок становится вдвое меньше.

Несовместные события: срок службы

Вероятность того, что новый чайник прослужит больше года, равна 0,97. Вероятность того, что он прослужит больше двух лет, равна 0,89. Найдите вероятность того, что чайник прослужит больше года, но меньше двух лет.

Событие «больше года» — объединение двух несовместных событий: «больше двух лет» и «от года до двух». Поэтому $0{,}97 = 0{,}89 + P$ , откуда $P = 0{,}97 - 0{,}89 = 0{,}08$ . Перемножать вероятности здесь нельзя: события зависимы — если чайник прослужил два года, он заведомо прослужил и год. Ответ: 0,08.

«Хотя бы один»: два автомата

В холле стоят два кофейных автомата. Вероятность того, что к вечеру в первом закончится кофе, равна 0,3, во втором — 0,4, события независимы. Найдите вероятность того, что кофе закончится хотя бы в одном автомате.

Противоположное событие — «кофе остался в обоих». Его вероятность $(1 - 0{,}3)(1 - 0{,}4) = 0{,}7 \cdot 0{,}6 = 0{,}42$ . Искомая вероятность: $1 - 0{,}42 = 0{,}58$ . Сложение $0{,}3 + 0{,}4 = 0{,}7$ даёт неверный ответ: события совместны, и случай «закончился в обоих» посчитан дважды. Ответ: 0,58.

Полная вероятность: две фабрики

Первая фабрика выпускает 60% стёкол для фар, вторая — 40%. Первая выпускает 2% бракованных стёкол, вторая — 4%. Найдите вероятность того, что случайно купленное стекло окажется бракованным.

Две гипотезы: стекло с первой фабрики (0,6) или со второй (0,4). По формуле полной вероятности: $0{,}6 \cdot 0{,}02 + 0{,}4 \cdot 0{,}04 = 0{,}012 + 0{,}016 = 0{,}028$ . Удобно нарисовать дерево: две ветки фабрик, от каждой — ветки «брак» и «норма»; ответ — сумма произведений по веткам, ведущим к браку. Ответ: 0,028.

Серия независимых испытаний

Биатлонист пять раз стреляет по мишеням, вероятность попадания при одном выстреле 0,8. Найдите вероятность того, что первые три раза он попал, а последние два промахнулся. Результат округлите до сотых.

Выстрелы независимы, порядок задан жёстко, поэтому перемножаем: $0{,}8^3 \cdot 0{,}2^2 = 0{,}512 \cdot 0{,}04 = 0{,}02048$ , после округления до сотых — 0,02. Если бы спрашивали «ровно три попадания в любом порядке», произведение пришлось бы умножить на число способов выбрать позиции попаданий: $C_5^3 = 10$ . Ответ: 0,02.

Миф: «вероятность "хотя бы одного" события — это сумма вероятностей». Это неверно для совместных событий: сумма $0{,}3 + 0{,}4$ учитывает общий случай дважды, а при трёх событиях с вероятностью по 0,5 сумма вообще превышает 1. Вероятности больше единицы не бывает — значит, правило неверное.

Тренажёр: стрелки и мишень

Тренажёр «№ 5 ЕГЭ профиль» вверху страницы выдаёт бесконечные варианты задачи о двух стрелках: даны вероятности попадания каждого, нужно найти вероятность того, что попадут оба, попадёт хотя бы один или попадёт ровно один.

Впишите ответ в поле «Ответ» и нажмите «Проверить»; «Решение» покажет, какое правило применено, «Следующая задача →» — новые числа. Счётчик «решено X из Y» и полоска последних ответов помогают следить за точностью. Норма — 10 подряд без ошибок, после чего задание 5 в этой формулировке решается почти автоматически.

Генератор тренирует один сюжет, поэтому несовместные события, условную и полную вероятность отрабатывайте по сборнику типовых вариантов под редакцией Ященко^[3]: по 8–10 задач на каждое правило из таблицы.

Типичные ошибки в задании 5

Если ответ не совпал, проверьте 5 мест: правомерность сложения, правомерность умножения, порядок событий, условие «известно, что» и округление.

Сложение совместных. Складывать без вычитания $P(AB)$ можно только несовместные события. Иначе ответ завышен, иногда больше 1.
Умножение зависимых. «Вытащили два шара без возвращения» — события зависимы: после первого шара в урне их на 1 меньше, и вторая дробь меняется.
Забытый порядок. «Ровно одно попадание из двух» — это два несовместных варианта: первый попал и второй нет, или наоборот. Например, при 0,8 и 0,5: $0{,}8 \cdot 0{,}5 + 0{,}2 \cdot 0{,}5 = 0{,}5$ .
Условная вместо безусловной. Если известно, что ученик ходит на робототехнику (0,4), а на робототехнику и шахматы вместе ходят с вероятностью 0,1, то шансы на шахматы среди робототехников — $\frac{0{,}1}{0{,}4} = 0{,}25$ , а не 0,1.
Раннее округление. Округлять промежуточные произведения не следует: потеря точности на шаге даёт неверную сотую в конце.

Не путать: одна дробь из благоприятных исходов — это четвёртый номер, а распределение и математическое ожидание — новый шестой. Подробнее — на страницах классическая вероятность события и случайная величина и её ожидание.

Как проверить ответ и записать его

Ответ — десятичная дробь от 0 до 1, записанная через запятую, без процентов. Если условие просит округлить, округляется только итоговое число.

Две проверки занимают минуту. Первая — дополнение: найдите вероятность противоположного события другим путём и убедитесь, что сумма равна 1. В задаче про автоматы: «в обоих остался» 0,42, «закончился хотя бы в одном» 0,58, сумма 1. Вторая — сравнение с крайними случаями: вероятность «хотя бы одного» не меньше наибольшей из вероятностей отдельных событий, а вероятность «обоих» не больше наименьшей.

Если дерево нарисовано, сумма вероятностей на всех конечных ветках должна быть равна 1. В задаче про фабрики: $0{,}012 + 0{,}588 + 0{,}016 + 0{,}384 = 1$ .

Когда этот номер не нужен в первую очередь

Не стоит начинать подготовку с пятого номера, если не закрыта база, на которую он опирается.

Если классическая вероятность в четвёртом номере решается верно реже 8 раз из 10, сначала нужен он — пятый строится на тех же дробях.
Если умножение десятичных дробей даёт ошибки, хватит 2–3 занятий на арифметику, прежде чем браться за произведения вида $0{,}8^3 \cdot 0{,}2^2$ .
Если до экзамена меньше 2 недель, разумно отработать только 2 правила — противоположное событие и умножение независимых: они покрывают большую часть задач.
Если на задачу уходит больше 7 минут, лучше перейти к следующим номерам и вернуться в конце первой части.

Чего делать нельзя

Нельзя применять формулу по ключевому слову, не проверив условия: «или» не всегда означает простое сложение, а «и» — простое умножение.

Нельзя складывать вероятности совместных событий без вычитания вероятности их пересечения.
Нельзя перемножать вероятности зависимых событий, как будто они независимы.
Не следует записывать ответ больше 1 — такой результат точно ошибочен.
Не следует забывать варианты порядка, если в условии нет указания «первый … второй …».
Не стоит решать без обозначений: буквы $A$ , $B$ , $\bar A$ на черновике экономят время на проверке.

Источники

[1] ФИПИ. Спецификация контрольных измерительных материалов для проведения в 2027 году единого государственного экзамена по математике. Профильный уровень (проект). — М.: ФИПИ, 2026.

[2] Федеральная образовательная программа среднего общего образования (утв. приказом Минпросвещения России от 18.05.2023 № 371).

[3] Ященко И. В. (ред.). ЕГЭ. Математика. Профильный уровень. Типовые экзаменационные варианты. — М.: Национальное образование.

[4] Высоцкий И. Р., Ященко И. В. Математика. Вероятность и статистика. 7–9 классы. — М.: Просвещение.

Вопросы и ответы

Задание 5 в 2026 году было тем же?

Да. Теоремы сложения и умножения вероятностей были пятым номером и в 2026 году; по проекту ФИПИ 2027 года номер и балл сохранились.

Как отличить несовместные события от независимых?

Несовместные не могут произойти вместе: «выпало 2» и «выпало 5» на одном кубике. Независимые происходят вместе свободно, но не влияют друг на друга: результаты двух разных кубиков. Несовместные события с ненулевыми вероятностями всегда зависимы.

Нужно ли рисовать дерево?

В задачах с гипотезами — очень желательно. Дерево из 4–6 веток рисуется за минуту и показывает, какие произведения складывать. Этот приём подробно описан в учебнике Высоцкого и Ященко^[4].

Встречается ли формула Бернулли?

Задачи «ровно $k$ успехов из $n$ » решаются произведением вероятностей и числом сочетаний $C_n^k$ . Отдельное название формулы помнить не обязательно, важно понимать, откуда берётся множитель.

Что делать, если ответ получился с длинным хвостом?

Если условие просит округлить — округлите итог. Если не просит, а дробь бесконечная, ищите ошибку: составители подбирают данные так, чтобы ответ был конечной десятичной дробью.

Сколько времени отводить на пятый номер?

Ориентир — 4–6 минут вместе с проверкой через противоположное событие.