Задание 6 ЕГЭ профиль: случайная величина и её ожидание

Q: Нужно ли знать биномиальное распределение?

Желательно: формулы E = np и D = np(1 - p) позволяют мгновенно найти, например, ожидание числа орлов при 4 бросках монеты — оно равно 2, а дисперсия равна 1.

Q: Чем ожидание отличается от среднего арифметического?

Среднее считают по фактическим данным, а E(X) — по вероятностям. При большом числе опытов среднее приближается к теоретическому значению, но в короткой серии может заметно отличаться.

Что известно о новом задании 6

Задание 6 — это одно из трёх нововведений проекта КИМ ЕГЭ 2027 года: задача с кратким ответом на случайную величину, оцениваемая, как и вся первая часть, в 1 первичный балл^[1].

В документе ФИПИ «Планируемые изменения в КИМ ЕГЭ 2027 года» сказано, что число заданий выросло с 19 до 20, а наибольший первичный балл — с 32 до 33. Новыми названы три номера: шестой (случайная величина, распределение, математическое ожидание, дисперсия, стандартное отклонение), тринадцатый (текстовая задача, в том числе финансовая) и семнадцатый (моделирование реальной ситуации). Время экзамена не меняется — 3 часа 55 минут.

Документы на 2027 год пока опубликованы как проекты, поэтому разумно ориентироваться на формулировку темы, а не на один образец из демоверсии^[2]. Готовиться стоит ко всему перечню: найти недостающую вероятность в таблице, посчитать ожидание, дисперсию и отклонение, применить их свойства.

Тема не выходит за пределы школьной программы: случайные величины, их числовые характеристики и биномиальное распределение входят в курс «Вероятность и статистика» 10–11 классов по федеральной образовательной программе среднего общего образования^[3]. Для тех, кто учился по этой программе, номер будет повторением, а не новой темой.

Случайная величина и её характеристики

Случайная величина — это число, которое зависит от исхода опыта: количество орлов при трёх бросках, выигрыш в лотерее, число бракованных деталей в партии. Её распределение — таблица значений и их вероятностей.

Одна и та же случайная величина описывается несколькими числами: ожидание показывает, вокруг какого значения она колеблется, дисперсия и стандартное отклонение — насколько сильно. Две величины с одинаковым ожиданием могут иметь совсем разное распределение: выигрыш 0 или 20 рублей с равными шансами и гарантированные 10 рублей дают ожидание 10, но дисперсия у первой равна 100, а у второй — нулю.

Характеристика	Формула	Смысл
Условие на распределение	$p_1 + p_2 + \ldots + p_n = 1$	какое-то значение обязательно принимается
Математическое ожидание	$E(X) = x_1p_1 + x_2p_2 + \ldots + x_np_n$	«центр тяжести» распределения, среднее значение в длинной серии опытов
Дисперсия	$D(X) = E\big((X - E(X))^2\big) = E(X^2) - \big(E(X)\big)^2$	насколько значения разбросаны вокруг ожидания
Стандартное отклонение	$\sigma(X) = \sqrt{D(X)}$	разброс в тех же единицах, что и сама величина
Линейное преобразование	$E(aX + b) = aE(X) + b$ , $D(aX + b) = a^2 D(X)$	сдвиг не меняет разброс, растяжение умножает дисперсию на квадрат
Биномиальное распределение	$E(X) = np$ , $D(X) = np(1 - p)$	число успехов в $n$ независимых испытаниях

Две формулы дисперсии дают одно и то же число, но вторая — через $E(X^2)$ — обычно быстрее: не нужно вычитать ожидание из каждого значения. Первая полезна для понимания: дисперсия — это ожидание квадрата отклонения, поэтому она не может быть отрицательной. Отрицательная дисперсия на черновике — верный знак арифметической ошибки.

Подробную теорию с выводом формул и примерами смотрите в статье случайная величина, ожидание и дисперсия. Связь с описательной статистикой — средним и отклонением выборки — разобрана в материале среднее, медиана и размах.

Разбор задач по шагам

Чтобы не ошибиться в расчётах, решайте каждую задачу на случайную величину в 3 шага: проверить, что вероятности в сумме дают 1, выписать произведения $x_ip_i$ в отдельную строку и только потом складывать.

Ожидание, дисперсия и отклонение по таблице

Случайная величина $X$ принимает значения 0, 1, 2 и 3 с вероятностями 0,1; 0,3; 0,4 и 0,2 соответственно. Найдите её стандартное отклонение.

Проверка: $0{,}1 + 0{,}3 + 0{,}4 + 0{,}2 = 1$ . Ожидание: $E(X) = 0 + 0{,}3 + 0{,}8 + 0{,}6 = 1{,}7$ . Ожидание квадрата: $E(X^2) = 0 + 0{,}3 + 1{,}6 + 1{,}8 = 3{,}7$ . Дисперсия: $D(X) = 3{,}7 - 1{,}7^2 = 3{,}7 - 2{,}89 = 0{,}81$ . Стандартное отклонение: $\sigma = \sqrt{0{,}81} = 0{,}9$ . Проверка по определению: $2{,}89 \cdot 0{,}1 + 0{,}49 \cdot 0{,}3 + 0{,}09 \cdot 0{,}4 + 1{,}69 \cdot 0{,}2 = 0{,}81$ — совпадает. Ответ: 0,9.

Недостающая вероятность

Случайная величина $Y$ принимает значения $-2$ , 1 и 3 с вероятностями 0,2; $p$ и 0,5. Найдите математическое ожидание $E(Y)$ .

Сумма вероятностей равна 1, поэтому $p = 1 - 0{,}2 - 0{,}5 = 0{,}3$ . Ожидание: $E(Y) = -2 \cdot 0{,}2 + 1 \cdot 0{,}3 + 3 \cdot 0{,}5 = -0{,}4 + 0{,}3 + 1{,}5 = 1{,}4$ . Без первого шага задачу не решить: неизвестная вероятность — частая «ступенька» в условии. Ответ: 1,4.

Лотерея и ожидаемый выигрыш

В лотерее 100 билетов: на один билет выпадает выигрыш 500 рублей, на пять билетов — по 100 рублей, остальные без выигрыша. Найдите математическое ожидание выигрыша на один купленный билет. Ответ дайте в рублях.

Распределение выигрыша: 500 с вероятностью 0,01, 100 с вероятностью 0,05, 0 с вероятностью 0,94. Ожидание: $500 \cdot 0{,}01 + 100 \cdot 0{,}05 + 0 \cdot 0{,}94 = 5 + 5 = 10$ . Практический смысл: если билет стоит 15 рублей, в среднем покупатель теряет 5 рублей на билете. Ответ: 10.

Свойства ожидания и дисперсии

Для случайной величины $X$ известно: $E(X) = 1{,}7$ , $D(X) = 0{,}81$ . Найдите дисперсию величины $Z = 2X + 3$ .

Слагаемое 3 сдвигает все значения и на разброс не влияет, множитель 2 растягивает отклонения вдвое, а их квадраты — вчетверо: $D(Z) = 2^2 \cdot 0{,}81 = 3{,}24$ . Ожидание при этом $E(Z) = 2 \cdot 1{,}7 + 3 = 6{,}4$ . Ответ: 3,24.

Миф: «новое задание 6 — это вузовская теория вероятностей, школьникам его не решить». Это не подтверждается документами: случайная величина и её характеристики входят в школьный курс вероятности и статистики, а сама задача относится к первой части с кратким ответом. Отдельного «вузовского» уровня в первой части не существует.

Тренажёр по случайной величине

Тренажёр «№ 6 ЕГЭ профиль» вверху страницы выдаёт бесконечные варианты двух видов: по таблице распределения найти математическое ожидание или дисперсию случайной величины.

Значения и вероятности меняются при каждом нажатии «Следующая задача →». Посчитайте на черновике, впишите число в поле «Ответ», нажмите «Проверить»; если не сошлось, «Решение» покажет вычисление по строкам. Счётчик «решено X из Y» и полоска последних ответов показывают устойчивость навыка. Хорошая планка — 10 дисперсий подряд без арифметических ошибок.

Стандартного отклонения, недостающей вероятности и задач на свойства в генераторе нет. Их стоит дорешать по образцам выше и по задачам школьного учебника вероятности и статистики. Посмотреть, как среднее в серии опытов приближается к ожиданию, можно в симуляторе случайных опытов: у кубика ожидание равно 3,5, и после 10 000 бросков среднее оказывается очень близко к этому числу.

Ошибки и ловушки в задании 6

Если ответ не совпал, проверьте 5 мест: сумму вероятностей, квадрат отрицательного значения, порядок «квадрат ожидания или ожидание квадрата», свойства линейного преобразования и корень в отклонении.

Сумма не равна 1. Если вероятности в таблице дают 0,9 или 1,1, значит, вероятность пропущена или переписана неверно. Решать дальше нельзя, пока сумма не равна единице.
Квадрат отрицательного значения. При вычислении $E(X^2)$ значение $-2$ даёт $4$ , а не $-4$ .
$E(X^2)$ и $\big(E(X)\big)^2$ . Это разные числа: в первой задаче 3,7 и 2,89. Дисперсия — их разность, и порядок вычитания важен.
Сдвиг и дисперсия. $D(X + 5) = D(X)$ , а не $D(X) + 5$ . Прибавка константы не меняет разброс.
Дисперсия вместо отклонения. Если спрашивают стандартное отклонение, из дисперсии нужно извлечь корень. Числа в задачах подобраны так, что корень извлекается точно.

Не путать: в 2026 году шестым номером были уравнения, а по проекту 2027 года они стали седьмым — разбор на странице простейшие уравнения седьмого номера. Задачи прошлых лет с пометкой «№ 6» относятся именно к уравнениям, а не к случайной величине.

Проверка ответа и запись в бланк

Ответ — одно число: ожидание может быть отрицательным, дисперсия и отклонение — только неотрицательными. Десятичную дробь пишут через запятую, без единиц измерения.

Для ожидания есть надёжный ориентир: оно лежит между наименьшим и наибольшим значением величины. Если значения от 0 до 3, а ожидание получилось 4,2, ошибка в вычислениях. Для дисперсии: она не больше квадрата половины размаха значений, то есть при значениях от 0 до 3 не может превышать $1{,}5^2 = 2{,}25$ .

Эти две величины связаны квадратом: если $\sigma = 0{,}9$ , то $D = 0{,}81$ . Проверка обратным возведением в квадрат занимает несколько секунд и ловит ошибку «записал дисперсию вместо отклонения».

Когда отработка этого номера не поможет

Не всегда разумно начинать подготовку с нового номера — у него есть обязательная база.

Если умножение и сложение десятичных дробей даёт ошибки чаще 1 раза из 5, сначала нужна арифметика, иначе в каждом ответе будет неверная сотая.
Если классическая вероятность в номере 4 пока решается верно реже 8 раз из 10, начинать с номера 6 рано: таблица распределения строится из тех же дробей.
Если до экзамена меньше 3 недель, достаточно освоить 3 формулы — ожидание, дисперсию через $E(X^2)$ и корень для отклонения.
Если на одну задачу уходит больше 8 минут, проблема в организации вычислений: выписывайте произведения строкой, а не держите в уме.

Чего делать нельзя

Нельзя относиться к новому номеру как к лотерее — он решается по трём формулам, и балл за него так же надёжен, как за любой другой.

Нельзя начинать вычисления, не проверив, что сумма вероятностей в таблице равна 1.
Нельзя записывать в бланк отрицательный ответ, если спрашивают о разбросе, — такого не бывает.
Не следует забывать извлечь корень, если вопрос о $\sigma$ , а не о $D$ .
Не следует решать задачи прошлых лет с пометкой «№ 6» как задачи на новую тему — это уравнения.
Не стоит учить только одну формулу разброса: вторая нужна для проверки.
Не стоит ждать окончательных документов, чтобы начать подготовку: тема известна из проекта, а формулы не изменятся.

Источники

[1] ФИПИ. Планируемые изменения в КИМ ЕГЭ 2027 года. — М.: ФИПИ, 2026.

[2] ФИПИ. Демонстрационный вариант контрольных измерительных материалов единого государственного экзамена 2027 года по математике. Профильный уровень (проект). — М.: ФИПИ, 2026.

[3] Федеральная образовательная программа среднего общего образования (утв. приказом Минпросвещения России от 18.05.2023 № 371).

[4] ФИПИ. Спецификация контрольных измерительных материалов для проведения в 2027 году единого государственного экзамена по математике. Профильный уровень (проект). — М.: ФИПИ, 2026.

Вопросы и ответы

Каким было задание 6 в 2026 году?

В 2026 году под шестым номером стояли уравнения. По проекту ФИПИ 2027 года они сдвинулись на седьмое место, а шестое заняла новая задача о случайной величине. Полная таблица соответствия номеров — в обзоре изменения профильного ЕГЭ 2027.

Сколько баллов даёт новый номер?

Один первичный балл, как и любое задание первой части. По проекту спецификации ФИПИ^[4] первая часть — 13 номеров по 1 баллу.

Где взять задачи для тренировки, если номер новый?

Подходят задачи из школьных учебников вероятности и статистики 10–11 классов, образец из проекта демоверсии и тренажёр на этой странице. Задачи прошлых лет ЕГЭ для этого номера не годятся — их просто не было.

Нужно ли знать биномиальное распределение?

Желательно: формулы $E = np$ и $D = np(1 - p)$ позволяют мгновенно найти, например, ожидание числа орлов при 4 бросках монеты — оно равно 2, а дисперсия равна 1.

Чем ожидание отличается от среднего арифметического?

Среднее считают по фактическим данным, а $E(X)$ — по вероятностям. При большом числе опытов среднее приближается к теоретическому значению, но в короткой серии может заметно отличаться.

Может ли ожидание не совпадать ни с одним значением?

Да. У игрального кубика значения от 1 до 6, а ожидание 3,5 — такого числа очков не выпадает никогда. Ожидание описывает среднее, а не возможный результат одного опыта.