Симулятор вероятностей онлайн: монета и игральные кубики

Как работает симулятор вероятностей

Симулятор вероятностей — это блок «Симулятор случайных опытов»: в шапке три кнопки выбора опыта, посередине столбчатая диаграмма, под ней четыре числа, а внизу кнопки «+1 опыт», «+100», «+10 000» и «Сбросить».

Опыты подписаны так: «Монета 3 раза: число орлов», «Кубик: выпавшее число» и «Два кубика: сумма». На этой странице сразу выбран третий — сумма очков на двух кубиках. Переключение на другой опыт обнуляет счётчики, чтобы результаты разных экспериментов не смешивались.

На диаграмме для каждого возможного значения два столбца. Широкий синий — теоретическая вероятность, он не меняется. Узкий красный — частота, то есть доля опытов, в которых выпало это значение; он растёт и уменьшается после каждого нажатия. Под диаграммой подпись напоминает: чем больше опытов, тем ближе красные столбцы к синим.

Четыре числа под диаграммой — это «опытов» (сколько всего проведено), «среднее по опытам» (среднее арифметическое выпавших значений), «математическое ожидание» и «дисперсия (теория)». Последние два вычислены по формулам и от ваших опытов не зависят — с ними удобно сравнивать среднее. Кнопка «Сбросить» обнуляет опыты, не меняя выбранный эксперимент.

Три опыта и их распределения

В симуляторе вероятностей 3 опыта с разными распределениями: равномерное у одного кубика, симметричное «горбом» у суммы двух кубиков и у числа орлов в трёх бросках монеты.

Опыт	Значения	Вероятности	Мат. ожидание	Дисперсия
Монета 3 раза: число орлов	0, 1, 2, 3	$\frac18$ , $\frac38$ , $\frac38$ , $\frac18$	1,5	0,75
Кубик: выпавшее число	1–6	по $\frac16$	3,5	$\frac{35}{12} \approx 2{,}92$
Два кубика: сумма	2–12	от $\frac{1}{36}$ для 2 и 12 до $\frac{6}{36}$ для 7	7	$\frac{35}{6} \approx 5{,}83$

Почему сумма 7 вероятнее всего? Из 36 равновозможных пар очков семь дают шесть пар: 1 и 6, 2 и 5, 3 и 4 и обратные к ним. Сумму 2 даёт только пара 1 и 1. Поэтому синий столбец над семёркой в 6 раз выше, чем над двойкой, — и после 10 000 опытов красные столбцы повторяют этот «горб». Подробный перебор исходов разобран в статье о классическом определении вероятности.

У монеты похожая картина: из 8 исходов трёх бросков ровно два орла дают три исхода — ООР, ОРО, РОО, поэтому вероятность $\frac38$ . Ни один орёл и три орла — по одному исходу. Так выглядит биномиальное распределение для трёх испытаний.

Частота и вероятность: в чём разница

Вероятность — это число, заданное условиями опыта, а частота — доля случаев, когда событие произошло в конкретной серии опытов; первая постоянна, вторая меняется от серии к серии.

Нажмите «+100» на опыте с двумя кубиками и посмотрите на семёрку. Например, она могла выпасть 19 раз — частота 0,19, хотя вероятность $\frac16 \approx 0{,}167$ . Нажмите «Сбросить» и снова «+100»: частота станет другой, скажем 0,14. Обе серии честные, просто 100 опытов — мало. Вероятность же от серии не зависит: она определяется тем, что у кубика 6 одинаковых граней.

В школьном курсе вероятности и статистики эта разница вводится уже в 7–9 классах: по ФОП основного общего образования вероятность и статистика — отдельный учебный курс^[1]. В учебнике Высоцкого и Ященко частота служит мостиком к вероятности: сначала наблюдаем, потом объясняем наблюдение расчётом^[2].

Миф: «если монета пять раз подряд упала решкой, теперь орёл вероятнее». Это неверно: монета не помнит прошлых бросков, и вероятность орла в каждом броске остаётся $\frac12$ . Проверьте опытом «+1»: длинные серии одинаковых исходов в симуляторе встречаются регулярно, а «компенсации» не бывает.

Закон больших чисел на экране

Если число опытов растёт, частота приближается к вероятности — это и есть закон больших чисел, и симулятор вероятностей показывает его за три нажатия: «+1», «+100», «+10 000».

После одного опыта один красный столбец взлетает до 100%, остальные на нуле. После 100 опытов столбцы уже похожи на синие, но заметно «гуляют». После 10 000 — почти совпадают. Насколько именно? Типичное отклонение частоты от вероятности оценивается величиной $\sqrt{\frac{p(1-p)}{n}}$ . Для семёрки $p = \frac16$ : при $n = 100$ это около 0,037, при $n = 10\,000$ — около 0,0037. Опытов стало в 100 раз больше, а разброс уменьшился в 10 раз. Строго это утверждение формулирует теорема Бернулли — частный случай закона больших чисел.

При 10 000 бросках двух кубиков семёрка в среднем выпадает около 1667 раз, но ровно 1667 почти никогда не получится — и это нормально. Закон говорит о доле, а не о точном количестве.

Миф: «по закону больших чисел число орлов и решек со временем точно сравняется». Не подтверждается: сближается доля орлов, а разница в штуках может даже расти. При 10 000 бросках расхождение на 50–100 штук — обычное дело, хотя доля при этом очень близка к 0,5.

Среднее по опытам и математическое ожидание

Математическое ожидание — это среднее значение случайной величины, к которому стремится «среднее по опытам» при большом числе опытов; для суммы двух кубиков оно равно 7.

Расчёт по определению: $E = \sum x_i p_i = 2 \cdot \frac{1}{36} + 3 \cdot \frac{2}{36} + \ldots + 12 \cdot \frac{1}{36} = 7$ . Проще через свойство: ожидание суммы равно сумме ожиданий, $3{,}5 + 3{,}5 = 7$ . Дисперсия суммы независимых бросков тоже складывается: $\frac{35}{12} + \frac{35}{12} = \frac{35}{6} \approx 5{,}83$ — ровно то, что стоит в ячейке «дисперсия (теория)».

Сделайте «+10 000» и сравните: «среднее по опытам» будет отличаться от 7 в сотых долях. Это то же самое явление, что и со столбцами, только для среднего. Новое задание 6 профильного ЕГЭ по проекту ФИПИ 2027 года проверяет именно эти понятия — распределение, математическое ожидание, дисперсию и стандартное отклонение^[3]. Теория с формулами — на странице о задании 6 про случайную величину.

Задачи ОГЭ и ЕГЭ, которые можно проверить опытом

Инструмент не решает задачи, но проверяет ответ: если расчёт верный, после 10 000 опытов доля выпадений окажется рядом с найденной вероятностью.

Игральный кубик бросают дважды. Найдите вероятность того, что сумма выпавших очков равна 8. Результат округлите до сотых.

Сумму 8 дают пары 2 и 6, 3 и 5, 4 и 4, 5 и 3, 6 и 2 — всего 5 из 36. Вероятность $\frac{5}{36} = 0{,}1388\ldots \approx 0{,}14$ . Ответ: 0,14. На диаграмме после «+10 000» красный столбец над восьмёркой будет около 0,14; если бы вы ошиблись и посчитали пару 4 и 4 дважды, получили бы $\frac{6}{36}$ , а опыт показал бы, что это слишком много.

Монету бросают три раза. Найдите вероятность того, что орёл выпадет ровно два раза.

Из 8 равновозможных исходов подходят 3, вероятность $\frac38 = 0{,}375$ . Ответ: 0,375. По спецификации ФИПИ задание 10 ОГЭ посвящено вероятности и статистике. Это задачи формата задания 10 ОГЭ, задания 5 базы и задания 4 профиля — в каждой важно правильно посчитать равновозможные исходы. Разбор номера ОГЭ — на странице задания 10 ОГЭ по вероятности.

Когда симулятор не поможет

Не каждую вероятностную задачу можно проверить этим инструментом — в нём только три опыта, и для многих сюжетов он не подходит.

Если в задаче 4 броска монеты или 3 кубика, такого опыта здесь нет — проверка возможна только расчётом.
Если сюжет про стрелков, лампочки или билеты с вероятностью 0,7, кубики и монета его не моделируют.
Если нужен точный ответ, а не прикидка, даже 10 000 опытов дают только приближение с точностью около 0,01.
Если до экзамена меньше 2 недель, а перебор исходов не освоен, время лучше отдать 20–30 задачам с расчётом.

Чего делать нельзя

Нельзя путать опыт с решением: на экзамене нужна точная вероятность, а опыт даёт только приближение.

Нельзя записывать в бланк результат опытов вместо вычисленной вероятности — ответ должен быть точным.
Нельзя делать выводы по 10–20 опытам: при таком числе частота может сильно отличаться от вероятности.
Не следует считать пары вроде «2 и 6» и «6 и 2» одним исходом — это разные исходы двух кубиков.
Не следует ждать, что после серии неудач «должно повезти»: прошлые опыты не влияют на следующий.
Не стоит путать среднее по опытам и математическое ожидание: первое меняется, второе — нет.

Источники

[1] Федеральная образовательная программа основного общего образования (утв. приказом Минпросвещения России от 18.05.2023 № 370).

[2] Высоцкий И. Р., Ященко И. В. Математика. Вероятность и статистика. 7–9 классы. — М.: Просвещение.

[3] ФИПИ. Планируемые изменения в КИМ ЕГЭ 2027 года. — М.: ФИПИ, 2026.

[4] Федеральная образовательная программа среднего общего образования (утв. приказом Минпросвещения России от 18.05.2023 № 371).

Вопросы и ответы

Насколько случайны броски в симуляторе вероятностей?

Броски получаются из встроенного генератора случайных чисел браузера. Для учебных опытов его достаточно: при 10 000 бросках доли совпадают с теорией до сотых.

Почему после 100 опытов столбцы не совпадают?

Потому что 100 опытов — мало: типичное отклонение доли от вероятности для семёрки около 0,04. Нажмите «+10 000», и расхождение уменьшится примерно в 10 раз.

Сохраняются ли результаты опытов?

Нет, счётчики живут только до перезагрузки страницы или нажатия «Сбросить». Переключение на другой опыт тоже обнуляет их.

Что такое дисперсия в ячейке?

Это теоретическая мера разброса значений вокруг математического ожидания: $D = \sum (x_i - E)^2 p_i$ . Для одного кубика она равна $\frac{35}{12}$ , для суммы двух — вдвое больше.

Пригодится ли это на ОГЭ?

Да, для задания 10: понимание равновозможных исходов помогает не ошибаться с подсчётом. Математическое ожидание на ОГЭ не нужно, оно появляется в 10–11 классах по ФОП среднего общего образования^[4].

Можно ли смоделировать четыре броска монеты?

Нет, в инструменте фиксированы три опыта. Для четырёх бросков посчитайте вручную: исходов 16, а вероятность двух орлов равна $\frac{6}{16} = 0{,}375$ .