Классическая вероятность: формула, кубики и монеты

Классическая вероятность: формула и смысл

Вероятность события $A$ по классическому определению равна $P(A) = \frac{m}{n}$ , где $n$ — число всех равновозможных исходов, а $m$ — число исходов, благоприятных для $A$ . Результат всегда лежит от 0 до 1 и не может быть отрицательным.

Учебник «Вероятность и статистика» Высоцкого и Ященко для 7–9 классов^[1] вводит это определение через простой опыт с конечным числом исходов: бросание монеты, кубика, выбор билета. Если событие наступает при любом исходе, его вероятность равна 1; если ни при одном — 0. По Федеральной образовательной программе^[3] вероятность и статистика — отдельный курс с 7 класса, поэтому к 9 классу формулу должен уверенно применять каждый.

Простейший пример — игральный кубик. Исходов 6: выпадает 1, 2, 3, 4, 5 или 6 очков. Событию «выпало чётное число» благоприятны 3 исхода (2, 4, 6), поэтому его вероятность $\frac36 = 0{,}5$ . Событию «выпало простое число» благоприятны 2, 3 и 5 — снова $0{,}5$ .

Главное условие: равновозможные исходы

Классическая вероятность применима только если все исходы одинаково возможны: монета симметрична, кубик правильный, билет выбирают наугад. Если это условие нарушено, формула $\frac{m}{n}$ даёт неверный ответ.

Самая известная ловушка — неправильно выбранные исходы. Бросают две монеты. Можно сказать, что результатов три: «два орла», «две решки», «один орёл и одна решка». Но эти три исхода не равновозможны. Если различать монеты (первая и вторая), исходов четыре: ОО, ОР, РО, РР. Событию «ровно один орёл» благоприятны два из них, и вероятность равна $\frac24 = 0{,}5$ , а не $\frac13$ .

Миф: «при бросании двух монет выпадения одного орла и двух орлов одинаково вероятны — это же просто два варианта ответа». Неверно: один орёл получается двумя способами (ОР и РО), а два орла — одним. Проверить легко в симуляторе вверху страницы: при 10 000 опытах частоты заметно различаются.

Монеты: перебор всех исходов

Если монету бросают $k$ раз, всех исходов $2^k$ : 4 при двух бросках, 8 при трёх, 16 при четырёх. Для небольших $k$ их проще всего выписать списком.

При трёх бросках исходы такие: ООО, ООР, ОРО, РОО, ОРР, РОР, РРО, РРР. Событию «выпало ровно два орла» благоприятны ООР, ОРО и РОО, поэтому $P = \frac38 = 0{,}375$ . Событию «хотя бы один орёл» благоприятны все исходы, кроме РРР: $P = \frac78 = 0{,}875$ .

Число бросков	Всего исходов	Ровно один орёл	Хотя бы один орёл
1	2	$\frac12 = 0{,}5$	$0{,}5$
2	4	$\frac24 = 0{,}5$	$\frac34 = 0{,}75$
3	8	$\frac38 = 0{,}375$	$\frac78 = 0{,}875$
4	16	$\frac4{16} = 0{,}25$	$\frac{15}{16} = 0{,}9375$

При четырёх и более бросках выписывать исходы долго — здесь помогают формулы числа сочетаний, разобранные в статье комбинаторика: перестановки и сочетания.

Кубики: один и два броска

Если бросают два кубика, равновозможных исходов 36: каждая из 6 граней первого кубика сочетается с каждой из 6 граней второго. Удобно представить их таблицей 6 на 6.

Игральный кубик бросают дважды. Найдите вероятность того, что в сумме выпадет 8 очков. Результат округлите до сотых.

Сумму 8 дают пары (2; 6), (3; 5), (4; 4), (5; 3), (6; 2) — всего 5 исходов. Пары (2; 6) и (6; 2) различны, потому что это разные броски, и считать их одной парой нельзя. Вероятность $\frac{5}{36} \approx 0{,}1389$ , после округления — 0,14. Ответ: 0,14.

Сумма очков	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12
Число исходов	1	2	3	4	5	6	5	4	3	2	1

Таблица показывает, почему сумма 7 встречается чаще всего: её дают 6 пар из 36. Другие события тоже удобно считать по таблице 6 на 6. Например, «хотя бы на одном кубике выпала шестёрка» — это 11 клеток (строка и столбец с общей клеткой), $\frac{11}{36} \approx 0{,}31$ .

Где классическая вероятность встречается на экзаменах

В экзаменах классическая вероятность встречается в задании 10 ОГЭ, в задании 5 базового ЕГЭ и в задании 4 профильного ЕГЭ — по 1 баллу за верный ответ. Сюжеты бытовые: такси, билеты, насосы, порядок выступлений.

В фирме такси 50 автомобилей: 27 жёлтых, остальные зелёные. На вызов приехала случайная машина. Найдите вероятность того, что она зелёная.

Зелёных машин $50 - 27 = 23$ , вероятность $\frac{23}{50} = 0{,}46$ . Ответ: 0,46. Главное — прочитать, про какой цвет спрашивают: в условии дано число жёлтых. Демоверсия ФИПИ ОГЭ показывает именно такой формат: короткий бытовой сюжет и ответ в виде десятичной дроби.

На конкурсе выступают 40 участников, из них 12 из Москвы. Порядок выступлений определяется жребием. Найдите вероятность того, что десятым будет выступать участник из Москвы.

Номер места не важен: на любое место с равными шансами может попасть любой из 40 участников. Благоприятных исходов 12, вероятность $\frac{12}{40} = 0{,}3$ . Ответ: 0,3. Похожая задача про брак: из 1000 насосов 6 подтекают, тогда случайный насос не подтекает с вероятностью $\frac{994}{1000} = 0{,}994$ .

Разборы под конкретные номера — на страницах задание 10 ОГЭ и задание 5 базового ЕГЭ; по спецификации ФИПИ^[2] формат ответа там одинаковый — десятичная дробь.

Частота и вероятность: что показывает симулятор

Частота — это доля опытов, в которых событие произошло на самом деле; классическая вероятность — теоретическое число. При большом числе опытов частота приближается к вероятности — это утверждение закона больших чисел, известной теоремы теории вероятностей.

«Симулятор случайных опытов» вверху страницы открыт на опыте «Кубик: выпавшее число». Синие столбцы показывают теоретическую вероятность $\frac16$ для каждой грани, красные — частоту в ваших бросках. Нажмите «+1 опыт» несколько раз: столбцы прыгают, и частота одной грани легко бывает 0 или 0,5. После «+100» картина ровнее, а после «+10 000» красные столбцы почти совпадают с синими. Можно переключиться на опыты «Монета 3 раза: число орлов» и «Два кубика: сумма» и сравнить частоты с таблицами из разделов выше. Больше экспериментов — на странице симулятор вероятностей онлайн.

Как проверить ответ и записать его в бланк

Если получилось число больше 1 или меньше 0, ошибка в подсчёте исходов: вероятность всегда лежит в отрезке от 0 до 1. Это первая и самая быстрая проверка; в кодификаторе ФИПИ вычисление вероятностей входит в число проверяемых умений.

Вторая проверка — противоположное событие. Вероятность «зелёная машина» $0{,}46$ плюс вероятность «жёлтая» $0{,}54$ должны дать ровно 1. Третья — здравый смысл: вероятность выпадения суммы 8 на двух кубиках не может быть больше, чем суммы 7, потому что исходов меньше. В бланк записывается десятичная дробь через запятую без пробелов: «0,14». Если в условии сказано «округлите до сотых», округляйте только в самом конце.

Когда классическая формула не подходит

Формула $\frac{m}{n}$ работает не всегда, и в 4 типичных ситуациях её применение даёт неверный ответ.

Если исходы не равновозможны: монета с вероятностью орла 0,6 уже не описывается делением на 2.
Если опыт состоит из 2 и более независимых этапов с заданными вероятностями, нужны правила из статьи сложение и умножение вероятностей.
Если исходов бесконечно много (точка на отрезке), используют геометрическую вероятность — она выходит за рамки задания 10 ОГЭ.
Если известна только частота по 100 наблюдениям, это статистическая оценка, а не точная классическая вероятность.

Чего делать нельзя

Нельзя доверять ответу, если не ясно, что именно считалось одним исходом: большинство ошибок — именно здесь.

Нельзя считать пары (2; 6) и (6; 2) одним исходом при двух бросках кубика.
Нельзя записывать ответ обыкновенной дробью: в бланк идёт десятичная дробь.
Не следует округлять промежуточные результаты — только итог и только если это требуется.
Не следует путать «ровно один» и «хотя бы один»: это разные события с разными вероятностями.
Не стоит применять формулу $\frac{m}{n}$ , не убедившись, что исходы равновозможны.

Источники

[1] Высоцкий И. Р., Ященко И. В. Математика. Вероятность и статистика. 7–9 классы. — М.: Просвещение.

[2] ФИПИ. Спецификация контрольных измерительных материалов для проведения в 2026 году основного государственного экзамена по математике. — М.: ФИПИ, 2025.

[3] Федеральная образовательная программа основного общего образования (утв. приказом Минпросвещения России от 18.05.2023 № 370).

Вопросы и ответы

Чем классическая вероятность отличается от статистической?

Классическую вычисляют до опыта, зная все равновозможные исходы. Статистическую оценивают после серии опытов как частоту. При большом числе опытов эти числа сближаются, что и видно в симуляторе.

Может ли вероятность быть равна 1?

Да, у достоверного события: например, на кубике выпадет число от 1 до 6. Вероятность 0 у невозможного события — скажем, выпадет 7 очков на одном кубике.

Нужно ли знать комбинаторику для задания 10 ОГЭ?

Обычно нет: в задании 10 хватает прямого подсчёта и перебора небольшого числа исходов. Формулы сочетаний пригодятся в профильном ЕГЭ.

Почему при двух кубиках исходов 36, а не 11?

Сумм действительно 11 (от 2 до 12), но они не равновозможны. Равновозможны упорядоченные пары очков, а их $6 \cdot 6 = 36$ .

Как округлить 0,1389 до сотых?

Смотрим на третий знак после запятой: 8 больше 4, поэтому вторую цифру увеличиваем на 1. Получаем 0,14.

С чего начать, если тема совсем новая?

С задач про кубик и монету: выпишите исходы, отметьте благоприятные, разделите. Когда перебор станет привычным, переходите к бытовым сюжетам из ОГЭ — в учебнике по вероятности и статистике^[1] они идут в том же порядке: от опытов с монетой к задачам с реальными данными.