Задание 10 ОГЭ по математике: вероятность и частота

Что проверяет задание 10 и сколько оно стоит

Задание 10 — это задача базового уровня с кратким ответом, за которую ставится 1 первичный балл^[1]. Проверяется умение считать вероятность случайного события в простом опыте, отличать вероятность от частоты и перебирать исходы.

По проекту демоверсии ФИПИ 2027 года номер остаётся в первой части варианта из 25 заданий^[2]. Вероятность и статистика по ФОП основного общего образования изучаются отдельным курсом с 7 класса^[3], и в этот курс входят также множества, круги Эйлера и графы. Поэтому к задачам на подсчёт элементов множества или рёбер графа тоже стоит быть готовым.

Вероятность любого события лежит от 0 до 1. Это простое правило отсекает добрую половину ошибок: ответ 1,6 или 25 означает, что исходы перепутаны местами или считались проценты вместо доли. В кодификаторе ФИПИ статистика и вероятность выделены в отдельный раздел содержания, так что номер не может оказаться задачей на другую тему.

Какие сюжеты встречаются в номере

Если сгруппировать задачи по способу решения, выйдет 6 сюжетов. Основа — классическая вероятность; остальные виды встречаются реже, но решаются так же быстро. Благоприятный исход — тот, при котором происходит нужное событие, и формула работает только если все варианты равновозможны.

Сюжет	Как считать	Пример
Классическая вероятность	$P = \frac{m}{n}$ : благоприятные исходы на все	4 бракованные детали из 50: $P = 0{,}08$
Противоположное событие	$P(\overline{A}) = 1 - P(A)$	$1 - 0{,}94 = 0{,}06$
Монеты	выписать все исходы: при 2 бросках их 4, при 3 — 8	2 орла из 3 бросков: $\frac38$
Частота	число появлений события на число опытов	18 бракованных из 600: 0,03
Множества	$\|A \cup B\| = \|A\| + \|B\| - \|A \cap B\|$	круги Эйлера для двух кружков
Графы	сумма степеней вершин равна удвоенному числу рёбер	степени 3, 3, 2, 2, 2, 2: 7 рёбер

Теория с примерами разобрана отдельно: классическое определение вероятности и перебор исходов и множества, круги Эйлера и графы. В учебнике Высоцкого и Ященко по вероятности и статистике^[4] эти темы идут в той же последовательности, что и в таблице.

Разбор типовых задач по шагам

Чтобы не запутаться, в каждой задаче отвечайте на 2 вопроса: что считается исходом и какие исходы благоприятны. Ниже 5 задач на разные сюжеты из таблицы.

Задача 1. Классическая вероятность

В пачке 25 тетрадей, из них 7 в клетку, остальные в линейку. Найдите вероятность того, что случайно выбранная тетрадь окажется в линейку.

Всех исходов 25 — столько тетрадей можно выбрать. Благоприятных исходов $25 - 7 = 18$ . Каждый исход здесь — выбор одной конкретной тетради, и ни одна тетрадь не может попасться чаще другой. Вероятность события $P = \frac{18}{25} = 0{,}72$ . Удобный приём для знаменателя 25: умножить числитель и знаменатель на 4 и получить $\frac{72}{100}$ . Ответ: 0,72.

Задача 2. Перебор исходов с монетами

Монету бросают 3 раза. Найдите вероятность того, что орёл выпадет ровно 2 раза.

Выписываем все исходы: ООО, ООР, ОРО, РОО, ОРР, РОР, РРО, РРР — их $2^3 = 8$ . Порядок важен: исход ООР не совпадает с исходом РОО. Ровно два орла в исходах ООР, ОРО и РОО, то есть 3 благоприятных. $P = \frac38 = 0{,}375$ . Ответ: 0,375. Если считать исходами «0, 1, 2 или 3 орла», получится неверное $\frac14$ : такие исходы не равновозможны.

Задача 3. Частота события

При проверке 600 лампочек 18 оказались бракованными. Найдите частоту появления бракованной лампочки в этой партии.

Частота события — отношение числа опытов, в которых оно произошло, к числу всех опытов: $\frac{18}{600} = 0{,}03$ . Ответ: 0,03. Частота — результат конкретной проверки, а вероятность — число, к которому частота приближается при большом количестве опытов. В другой партии из 600 штук бракованных может оказаться 15 или 21. По одной проверке вероятность нельзя найти точно — её можно только оценить, и чем больше опытов, тем точнее оценка.

Задача 4. Круги Эйлера и вероятность

В группе 40 школьников. 18 из них занимаются футболом, 12 — плаванием, причём 6 человек посещают обе секции. Найдите вероятность того, что случайно выбранный школьник не занимается ни в одной из этих секций.

Тех, кто посещает хотя бы одну секцию: $18 + 12 - 6 = 24$ — общую часть вычитаем, иначе 6 человек посчитаются дважды. Ни в одной секции $40 - 24 = 16$ школьников. Вероятность $P = \frac{16}{40} = 0{,}4$ . Ответ: 0,4.

Задача 5. Рёбра графа

В графе 6 вершин. Степени вершин равны 3, 3, 2, 2, 2 и 2. Сколько рёбер в этом графе?

Каждое ребро соединяет две вершины и добавляет по единице к степени каждой из них. Поэтому сумма степеней вдвое больше числа рёбер: $3 + 3 + 2 + 2 + 2 + 2 = 14$ , рёбер $14 : 2 = 7$ . Ответ: 7. Следствие этой теоремы: сумма степеней всегда чётная, и граф со степенями 3, 2, 2 не существует.

Миф: «если монета 4 раза подряд выпала орлом, в пятый раз решка выпадет с большей вероятностью». Не подтверждается: броски независимы, у монеты нет памяти, и вероятность решки при каждом броске остаётся 0,5. Ощущение «пора выпасть решке» — известная ошибка интуиции.

Тренажёр: как отработать номер

Тренажёр вверху страницы — это генератор задач на классическую вероятность в 5 бытовых сюжетах: такси, лотерея, экзаменационные билеты, ручки и фонарики. Примерно в каждой третьей задаче спрашивают о противоположном событии.

Впишите десятичную дробь в поле «Ответ» и нажмите «Проверить». Неверный ответ сразу открывает разбор; кнопка «Решение» показывает его и без попытки, а «Следующая задача →» меняет числа. Полоска последних ответов и счётчик «решено X из Y» показывают, насколько стабильна серия.

Норма — 15 задач подряд без ошибок: номер короткий, и промахи здесь почти всегда от невнимательности, а не от незнания. Больше 1 ошибки на 15 задач — повод не ускоряться, а читать вопрос медленнее. Генератор не содержит монет, частоты, множеств и графов, поэтому эти сюжеты отрабатывайте по сборникам. Посмотреть, как частота приближается к 0,5 при тысячах бросков, можно в симуляторе монет и кубиков.

Типичные ошибки в задании 10

Ошибок здесь 5, и все связаны не со сложной теорией, а с подсчётом. Каждую ловит повторное чтение вопроса.

Найдено не то. Спрашивали про исправные фонарики, а посчитаны неисправные. Подчеркните в условии, о чём вопрос.
Ответ в процентах. 72 вместо 0,72. В бланк идёт доля от 0 до 1, без знака процента.
Дробь перевёрнута. $\frac{25}{18}$ больше единицы — так не бывает, числитель всегда не больше знаменателя.
Двойной счёт. В кругах Эйлера общую часть вычитают один раз; без этого «посетивших секции» больше, чем учеников в группе.
Неравновозможные варианты. «Число орлов» — не исход. Перебирать нужно последовательности бросков: в учебнике классическая формула вводится только для равновозможных случаев.

Миф: «частота и вероятность — одно и то же, просто разные слова». Это неверно: частота меняется от проверки к проверке, а вероятность — постоянная характеристика опыта. Если в задаче даны результаты наблюдений, считается частота, а не теоретическая доля.

Как проверить ответ

Чтобы проверить решение, достаточно 3 действий: оценить границы, сложить дополняющие доли и перевести дробь в десятичную вторым способом.

Границы. Число должно быть от 0 до 1. Всё, что вне отрезка, — ошибка, без исключений.
Дополнение. По теореме о противоположных событиях их вероятности в сумме дают 1. Найдите долю противоположного случая: в задаче 1 тетрадей в клетку $\frac{7}{25} = 0{,}28$ , и $0{,}28 + 0{,}72 = 1$ .
Перевод. Знаменатели 2, 4, 5, 8, 20, 25, 40, 50 дают конечные дроби. Если знаменатель 3 или 7, а округления не просили, перепроверьте подсчёт.

Для статистических вопросов — среднее, медиана, размах — проверка другая: например, медиана набора 3, 7, 8, 8, 12 равна 8, а среднее $38 : 5 = 7{,}6$ . Подробнее — в материале про среднее, медиану и размах.

Когда этот разбор не поможет

Не всякая трудность с этим номером решается тренировкой: иногда мешает пробел в дробях или в чтении условия.

Если не получается перевести $\frac{18}{25}$ в десятичную дробь за 30 секунд, сначала повторите действия с дробями — без этого каждая задача займёт 5 минут.
Если в 3 задачах из 10 найден ответ «не на тот вопрос», нужна не теория, а привычка подчёркивать вопрос в условии.
Если требуется умножение шансов двух независимых опытов, это выходит за рамки типичного задания 10: такие задачи чаще встречаются на ЕГЭ.
Если до экзамена 2 дня, учить графы с нуля поздно: лучше закрепить классическую схему на 20 задачах генератора.

Чего делать нельзя

Нельзя терять балл на записи: ответ первой части проверяется автоматически, и число в неверном формате не засчитывается.

Нельзя записывать ответ в процентах или со знаком «%».
Нельзя оставлять обыкновенную дробь: $\frac38$ переводится в 0,375.
Не следует считать равновозможными варианты, которые таковыми не являются, — «0, 1, 2 орла» вместо полного перебора.
Не стоит решать в уме задачу на круги Эйлера: рисунок с двумя кругами занимает 15 секунд и исключает двойной счёт.
Не стоит округлять, если условие этого не требует: 0,375 пишется полностью, а не 0,38.

Как записать ответ в бланк

Ответ — одна десятичная дробь или целое число, которое переносится в бланк ответов № 1 с первой клеточки, по символу в клетке.

Ноль перед запятой обязателен: 0,4, а не ,4. Запятая занимает отдельную клетку, поэтому 0,375 — это 5 символов. В задачах на графы и множества ответ обычно целый. Общие правила записи собраны в статье о том, как заполнять бланк ответов.

Источники

[1] ФИПИ. Спецификация контрольных измерительных материалов для проведения в 2026 году основного государственного экзамена по математике. — М.: ФИПИ, 2025.

[2] ФИПИ. Демонстрационный вариант контрольных измерительных материалов основного государственного экзамена 2027 года по математике (проект). — М.: ФИПИ, 2026.

[3] Федеральная образовательная программа основного общего образования (утв. приказом Минпросвещения России от 18.05.2023 № 370).

[4] Высоцкий И. Р., Ященко И. В. Математика. Вероятность и статистика. 7–9 классы. — М.: Просвещение.

Вопросы и ответы

Сколько баллов даёт задание 10 ОГЭ?

Один первичный балл из 31. Номер относится к алгебраическому блоку, поэтому в минимум из 2 баллов по геометрии он не идёт.

Может ли ответ быть равен 0 или 1?

Может: 0 — у невозможного события, 1 — у достоверного. На экзамене такое встречается редко, поэтому подобный результат лучше перепроверить.

Нужно ли знать формулы комбинаторики?

Для этого номера — нет. Хватает перебора: 2 броска монеты дают 4 варианта, 3 броска — 8. Сочетания и размещения пригодятся уже на ЕГЭ.

Что делать, если ответ получается бесконечной дробью?

Если в условии нет фразы «округлите до сотых», такой результат почти всегда означает ошибку в подсчёте. Если округление требуется, округляйте строго до указанного разряда.

Будут ли на экзамене задачи на графы?

Графы и множества входят в школьный курс вероятности и статистики с 7 класса. Точный состав заданий конкретного варианта заранее не известен, поэтому полезно уметь решать 2–3 базовых сюжета.

Сколько задач решить для уверенности?

Ориентир — 30–40 задач всех 6 сюжетов, по 10 за подход с перерывами в несколько дней. Самостоятельное решение без подсказки запоминается лучше, чем чтение разборов.