Неравенства в задании 13 ОГЭ: решение, промежуток и смена знака

Что проверяет задание 13 и сколько оно стоит

Задание 13 — это задача базового уровня первой части, за верно выбранный вариант ставится 1 первичный балл^[1]. Проверяется умение решать линейные и квадратные неравенства, их системы и изображать множество решений на координатной прямой.

По проекту демоверсии ФИПИ 2027 года номер остаётся в первой части, структура из 25 заданий не меняется^[2]. Он относится к алгебре и не учитывается в обязательных 2 баллах по геометрии. Варианты ответа обычно отличаются одной деталью — направлением промежутка, закрашенной или выколотой точкой, — поэтому важна точность, а не скорость.

Неравенство отличается от уравнения тем, что решением служит не одно число, а целый промежуток. Чтобы его найти, нужны всего 2 правила: при переносе слагаемого знак слагаемого меняется, а при делении на отрицательное число меняется знак самого неравенства.

Какие неравенства встречаются в номере

Если сгруппировать задачи открытого банка ФИПИ, получится 5 видов неравенств. У каждого вида свой первый шаг, и его стоит определить до вычислений.

Подробная теория — в материалах линейные неравенства и числовые промежутки, квадратные неравенства через параболу и метод интервалов. В учебнике Макарычева для 9 класса решение квадратных неравенств тоже строится на эскизе параболы^[3], и этот способ надёжнее запоминания правил «между корнями» и «снаружи».

Разбор типовых задач по шагам

Чтобы не перепутать варианты, решайте в 3 шага: найдите множество решений, нарисуйте его на прямой в черновике, затем сравните с вариантами. Ниже 4 задачи на разные виды из таблицы.

Задача 1. Линейное неравенство со сменой знака

Укажите решение неравенства $4 - 3x \ge 19$. Варианты: 1) $[-5; +\infty)$; 2) $(-\infty; -5]$; 3) $(-\infty; 5]$; 4) $[5; +\infty)$.

Переносим 4 вправо: $-3x \ge 15$. Делим на $-3$ — число отрицательное, поэтому знак неравенства меняется на противоположный: $x \le -5$. Это промежуток $(-\infty; -5]$, точка $-5$ входит в решение, потому что знак нестрогий. Ответ: 2.

Вариант 1 — ловушка для тех, кто забыл сменить знак, а вариант 3 — для тех, кто потерял минус при делении. Составители специально включают такие промежутки, поэтому совпадение с одним из вариантов ещё не доказывает правильность.

Задача 2. Квадратное неравенство

Укажите решение неравенства $x^2 - 5x - 14 < 0$. Варианты: 1) $(-\infty; -2) \cup (7; +\infty)$; 2) $(-7; 2)$; 3) $(-2; 7)$; 4) $[-2; 7]$.

Корни трёхчлена: $x^2 - 5x - 14 = 0$, по теореме Виета сумма 5, произведение $-14$, значит, $-2$ и $7$. Парабола ветвями вверх, отрицательна она между корнями. Знак строгий, поэтому концы не входят: $(-2; 7)$. Ответ: 3. Вариант 4 отличается только скобками — это проверка внимательности к знаку.

Задача 3. Неполное квадратное неравенство

Решите неравенство $x^2 \ge 16$ и выберите верный промежуток.

Частая ошибка — записать «$x \ge \pm 4$». Правильно: переносим 16 и получаем $x^2 - 16 \ge 0$, то есть $(x - 4)(x + 4) \ge 0$. Парабола ветвями вверх неотрицательна снаружи от корней: $(-\infty; -4] \cup [4; +\infty)$. Проверка точкой $x = 0$: $0 \ge 16$ неверно, значит, середина в решение не входит.

Задача 4. Система неравенств

Укажите решение системы $\begin{cases} 2x - 6 > 0, \\ 15 - 3x \ge 0. \end{cases}$

Первое: $2x > 6$, $x > 3$. Второе: $-3x \ge -15$, при делении на $-3$ знак меняется: $x \le 5$. Система требует выполнения обоих условий, поэтому берём общую часть: $(3; 5]$. Точка 3 выколота, точка 5 закрашена. Ответ: $(3; 5]$.

Миф: «знак неравенства меняется при любом переносе слагаемого». Это неверно: при переносе меняется знак переносимого слагаемого, а знак самого неравенства переворачивается только при умножении или делении обеих частей на отрицательное число. Других случаев смены знака в задачах этого номера не бывает.

Числовая прямая: как читать рисунки в вариантах

Если варианты даны рисунками, на каждом изображены 3 детали: граничные точки, их вид и штриховка. Закрашенная точка означает нестрогий знак, выколотая — строгий.

Штриховка показывает, какие числа входят в решение: луч влево — «меньше», луч вправо — «больше», отрезок между двумя точками — двойное условие. При знаках «≤» и «≥» концы закрашены, при «<» и «>» — пустые кружки. Бесконечность никогда не входит в промежуток, поэтому рядом с ней всегда круглая скобка.

Расположение точек тоже стоит проверять: $-5$ левее $-2$, хотя цифра 5 больше. Подробнее о сравнении чисел на прямой — в статье о числах на координатной прямой.

Тренажёр: как отработать номер

Тренажёр вверху страницы — это генератор линейных неравенств с четырьмя вариантами ответа; примерно в каждой третьей задаче коэффициент при $x$ отрицательный, и знак нужно менять. Ответ выбирается нажатием на вариант, отдельную кнопку «Проверить» нажимать не нужно.

После выбора сразу видно, верен ли ответ; при ошибке подсвечивается правильный вариант и открывается разбор. Кнопка «Решение» показывает разбор до выбора, «Следующая задача →» меняет числа. Полоска последних ответов и счётчик «решено X из Y» показывают точность.

Норма — 15 задач подряд без ошибок. Квадратных неравенств и систем в генераторе нет, поэтому после него решите по 10 таких задач из сборника типовых вариантов под редакцией Ященко.

Типичные ошибки в задании 13

Почти все потери балла сводятся к 5 ошибкам. Каждая видна на рисунке в черновике, если сделать его до выбора варианта.

• Не сменён знак. После деления на $-3$ «больше» должно стать «меньше».
• Перепутаны скобки. Круглая скобка у строгого знака, квадратная — у нестрогого; у бесконечности только круглая.
• Не та сторона параболы. При положительном старшем коэффициенте трёхчлен отрицателен между корнями, а не снаружи.
• Объединение вместо пересечения. В системе нужны числа, которые подходят под оба условия сразу.
• Запись «$x > \pm 4$». Такая запись не имеет смысла: решение квадратного неравенства — один или два промежутка.

Миф: «если неравенство квадратное, решение всегда находится между корнями». Не подтверждается: всё зависит от знака и направления ветвей. Для $x^2 - 16 \ge 0$ ответ — два луча снаружи, а между корнями лежит как раз область, где условие не выполнено.

Как проверить ответ

Чтобы проверить выбор, подставьте в исходное условие 2–3 числа: одно из выбранного промежутка, одно вне его и, если знак нестрогий, саму граничную точку.

1. Точка внутри. Для $(-2; 7)$ возьмите 0: $0 - 0 - 14 < 0$ — верно.
2. Точка снаружи. Возьмите 10: $100 - 50 - 14 = 36$, и $36 < 0$ неверно — значит, 10 правильно исключено.
3. Граница. При $x = 7$ выражение равно 0, а знак строгий — точка не входит, скобка круглая.

На три подстановки уходит около минуты, и они ловят все 5 ошибок из списка выше.

Когда этот разбор не поможет

Не каждая трудность с этим номером решается тренировкой: иногда не хватает более ранних навыков.

• Если корни трёхчлена не находятся за 2 минуты, сначала нужно уверенно решать уравнения из задания 9.
• Если сравнение отрицательных чисел вызывает ошибки в 2 случаях из 10, повторите координатную прямую.
• Если нужно решить дробное неравенство с полным обоснованием, это материал второй части: там за полное решение дают 2 балла, и критерии другие.
• Если до экзамена 3 дня, а квадратные неравенства не получаются, закрепите линейные: подстановка точек позволит угадать хотя бы часть сложных вариантов.

Чего делать нельзя

Нельзя терять балл на записи: по спецификации ФИПИ ответ проверяется автоматически, и вместо номера варианта нельзя писать промежуток.

• Нельзя записывать в бланк сам промежуток вроде «(3; 5]», если условие просит номер варианта.
• Нельзя делить на отрицательное число, не перевернув знак.
• Не следует выбирать вариант «по похожести» без рисунка в черновике.
• Не стоит решать квадратное неравенство без эскиза параболы — правила «между» и «снаружи» легко перепутать.
• Не стоит пропускать проверку граничной точки при нестрогом знаке.

Как записать ответ в бланк

Ответ — одна цифра от 1 до 4, номер выбранного варианта, которая записывается в первую клеточку соответствующей строки бланка ответов № 1.

Никаких скобок, букв и знаков. Если в задаче просят не номер, а, например, наименьшее целое решение, записывается это число — читайте вопрос до конца. Для системы $(3; 5]$ наименьшее целое решение — 4, а наибольшее — 5.

Источники

[1] ФИПИ. Спецификация контрольных измерительных материалов для проведения в 2026 году основного государственного экзамена по математике. — М.: ФИПИ, 2025.

[2] ФИПИ. Демонстрационный вариант контрольных измерительных материалов основного государственного экзамена 2027 года по математике (проект). — М.: ФИПИ, 2026.

[3] Макарычев Ю. Н., Миндюк Н. Г., Нешков К. И., Суворова С. Б. Алгебра. 9 класс. — М.: Просвещение.

[4] Ященко И. В. (ред.). ОГЭ. Математика. Типовые экзаменационные варианты. — М.: Национальное образование.

Вопросы и ответы

Сколько баллов даёт задание 13 ОГЭ?

Один первичный балл из 31. Он учитывается в общей сумме, но в геометрический минимум из 2 баллов не входит.

Что делать, если у трёхчлена нет корней?

При отрицательном дискриминанте парабола целиком выше или ниже оси. Если ветви вверх, выражение положительно при любом $x$: решение $x^2 + 4 > 0$ — все числа, а у $x^2 + 4 < 0$ решений нет.

Обязательно ли рисовать числовую прямую?

В бланк рисунок не идёт, но в черновике он занимает 15 секунд и защищает от ошибки со скобками. Для систем без рисунка общую часть найти сложнее.

Можно ли решать подстановкой вариантов?

Можно как проверку: 2–3 числа из разных промежутков быстро отсекают неверные варианты. Но надёжнее сначала решить, а потом проверить.

Чем этот номер отличается от задания 20?

Во второй части нужно полное решение с обоснованием на 2 балла, а здесь — только номер варианта. Неравенства там обычно сложнее: дробные или с несколькими множителями.

Сколько задач решить, чтобы номер стал надёжным?

Ориентир — 30–40 задач: 15 линейных, 15 квадратных и 10 систем. Распределите их на несколько дней — повторение с интервалами запоминается лучше одной длинной тренировки.