Квадратные неравенства через параболу: схема решения

Q: Как записать ответ, если подходит одна точка?

Пишут «x = 3» или \{3\}. Запись [3; 3] формально допустима, но непривычна для эксперта, её лучше избегать.

Q: Что делать, если корни иррациональные?

Решение не меняется: отметьте на оси, например, 1 - \sqrt{3} и 1 + \sqrt{3} и выберите промежутки. Меньший корень — тот, где квадратный корень вычитается, больший — где прибавляется. Если нужно сравнить такой корень с целым числом, помогает оценка: 1

Q: Сколько задач решить для уверенности?

Около 30: по 5–6 на каждый случай таблицы, включая D = 0 и D [5] ) показывают, что самостоятельное решение задач без подсказки закрепляет материал лучше, чем перечитывание разборов. Распределите их на 3–4 занятия с перерывами — так навык держится дольше.

Что такое квадратное неравенство

Квадратное неравенство — это неравенство вида $ax^2 + bx + c > 0$ (или со знаками $<$ , $\ge$ , $\le$ ), где $a \ne 0$ . Его решение — множество значений $x$ , при которых квадратный трёхчлен положителен или отрицателен.

Левая часть — это функция $y = ax^2 + bx + c$ , а её график — парабола. Поэтому вопрос «при каких $x$ трёхчлен больше нуля» равносилен вопросу «где парабола лежит выше оси абсцисс». Учебник Макарычева для 9 класса^[1] вводит именно такой способ решения — через график квадратичной функции, — а метод интервалов появляется позже как обобщение.

Квадратные неравенства входят в обязательное содержание курса алгебры по федеральной образовательной программе основного общего образования^[4], а кодификатор ФИПИ относит их к проверяемым элементам ОГЭ. Значит, задача на эту тему может встретиться в любом варианте, а не только в отдельных годах. Теорема о корнях квадратного трёхчлена и свойства квадратичной функции — вот и вся теория, которая для этого нужна.

На ОГЭ такие задачи встречаются в задании 13 (выбрать промежуток или рисунок на прямой) и внутри задания 20. В профильном ЕГЭ квадратные неравенства почти всегда возникают на промежуточном шаге: после замены в показательном или логарифмическом неравенстве задания 16 (в 2026 году — задания 15) или в прикладной задаче, где нужно найти, при каких значениях величины выполняется условие. По проекту спецификации ФИПИ^[3] неравенство с развёрнутым ответом в профильном ЕГЭ 2027 года оценивается в 2 балла.

Схема решения за 4 шага

Чтобы решить любое неравенство с квадратным трёхчленом, хватает 4 шагов: привести его к виду с нулём справа, найти корни, нарисовать эскиз параболы и выписать нужные промежутки с правильными скобками.

Шаг 1. Перенести всё в левую часть, чтобы справа остался ноль. Коэффициенты определяются только после этого.
Шаг 2. Решить уравнение $ax^2 + bx + c = 0$ : корни — это точки, где парабола пересекает ось. Как это сделать быстро, разобрано в теме квадратные уравнения и дискриминант.
Шаг 3. Отметить корни на оси и схематично нарисовать параболу: ветви вверх при $a > 0$ , вниз при $a < 0$ . Точная вершина не нужна.
Шаг 4. Знак $>$ — берём части оси, где парабола выше, знак $<$ — где ниже. Нестрогий знак добавляет корни в ответ (квадратные скобки).

Эскиз параболы

y = x^2 - 5x + 6

: между корнями 2 и 3 она ниже оси, вне их — выше.

Решите неравенство $x^2 - 5x + 6 < 0$ .

Справа уже ноль. Корни по теореме Виета: $2$ и $3$ . Ветви вверх, так как $a = 1 > 0$ , значит, ниже оси парабола только между корнями. Неравенство строгое, корни не входят. Ответ: $(2; 3)$ . Для того же трёхчлена неравенство $x^2 - 5x + 6 \ge 0$ дало бы противоположные части оси вместе с корнями: $(-\infty; 2] \cup [3; +\infty)$ .

Квадратные неравенства с отрицательным старшим коэффициентом

Если $a < 0$ , у параболы ветви вниз, и картинка переворачивается: выше оси она между корнями, ниже — снаружи. Можно рисовать такую параболу, а можно умножить неравенство на $-1$ и сменить знак.

Решите неравенство $-x^2 + 4x + 5 > 0$ .

Умножаем на $-1$ , знак меняется: $x^2 - 4x - 5 < 0$ . Корни $-1$ и $5$ , ветви вверх, ниже оси — между корнями. Ответ: $(-1; 5)$ . Проверка точкой: при $x = 0$ исходное выражение равно $5 > 0$ , и ноль действительно лежит в ответе. Второй путь — нарисовать параболу ветвями вниз с теми же корнями — даёт тот же результат: выше оси она именно между $-1$ и $5$ .

Миф: «при знаке больше ответ всегда снаружи корней, при знаке меньше — между ними». Неверно: правило «снаружи/внутри» работает только при $a > 0$ . При отрицательном старшем коэффициенте всё наоборот, а при $D \le 0$ никакого «между корнями» не существует вовсе. Надёжнее не запоминать правило, а рисовать эскиз.

Нулевой и отрицательный дискриминант

Если дискриминант равен нулю, парабола касается оси в одной точке; если он отрицателен — вообще не касается. В обоих случаях ответ получается «особым», и здесь чаще всего ошибаются.

Случай (при $a > 0$ )	$> 0$	$\ge 0$	$< 0$	$\le 0$
$D > 0$ , корни $x_1 < x_2$	$(-\infty; x_1) \cup (x_2; +\infty)$	$(-\infty; x_1] \cup [x_2; +\infty)$	$(x_1; x_2)$	$[x_1; x_2]$
$D = 0$ , корень $x_0$	все $x$ , кроме $x_0$	любое число	решений нет	только $x = x_0$
$D < 0$	любое число	любое число	решений нет	решений нет

Пример с $D = 0$ : $x^2 - 6x + 9 > 0$ . У трёхчлена один корень, и он же — единственная точка касания параболы с осью. Левая часть равна $(x - 3)^2$ — квадрат, который положителен везде, кроме точки $3$ . Ответ: $(-\infty; 3) \cup (3; +\infty)$ . А неравенство $x^2 - 6x + 9 \le 0$ выполняется только при $x = 3$ , и ответом будет одно число, а не промежуток.

Пример с $D < 0$ : у трёхчлена $x^2 + 2x + 5$ дискриминант равен $4 - 20 = -16$ , парабола целиком выше оси. Поэтому $x^2 + 2x + 5 > 0$ верно при любом $x$ , а $x^2 + 2x + 5 < 0$ решений не имеет. Здесь нет ни одного корня, поэтому квадратные неравенства такого типа решаются целиком по знаку старшего коэффициента. Ответ «корней нет, значит, решений нет» — частая ошибка: отсутствие корней у уравнения не означает отсутствия решений у неравенства.

Неполные квадратные неравенства

Неполные неравенства вида $x^2 < 16$ или $x^2 - 3x \ge 0$ решаются той же схемой, но именно в них ученики чаще всего пишут неверный ответ по аналогии с уравнением.

Для $x^2 < 16$ переносим всё влево: $x^2 - 16 < 0$ , корни $\pm 4$ , ветви вверх, ответ $(-4; 4)$ . Запись « $x < \pm 4$ » бессмысленна: она смешивает два разных условия и не задаёт промежуток. Для $x^2 - 3x \ge 0$ раскладываем на множители $x(x - 3) \ge 0$ , корни $0$ и $3$ , ответ $(-\infty; 0] \cup [3; +\infty)$ .

В неполном неравенстве особенно хочется разделить обе части на $x$ — и это ошибка. Знак $x$ неизвестен: при отрицательном $x$ знак неравенства должен поменяться, при нулевом делить нельзя вовсе. В итоге из $x^2 \ge 4x$ получается только $x \ge 4$ , а половина ответа $(-\infty; 0]$ теряется.

Задачи с проверкой

Блок «Задачи с проверкой» вверху страницы — это 9 неравенств с квадратным трёхчленом: ответ сведён к числу (количество или сумма целых решений, длина отрезка) или к выбору варианта.

Для каждой задачи рисуйте эскиз параболы, даже если ответ кажется очевидным: вопросы о целых решениях проверяют, правильно ли вы учли скобки. Введите ответ в поле «Ответ», нажмите «Проверить», при ошибке откройте «Решение». Кнопка «Следующая задача →» переключает задачи по кругу. Если ошибки повторяются в задачах с отрицательным $a$ , вернитесь к разделу про ветви вниз.

Когда неравенство содержит произведение трёх и более множителей или дробь, эскиз параболы уже не построить — тогда переходят к общему инструменту, который описан в статье метод интервалов и кратные корни.

Когда эскиз параболы не поможет

Не каждое неравенство со вторыми степенями решается по одной параболе — в этих 4 ситуациях нужен другой подход или дополнительный шаг.

Если степень многочлена больше 2, например $(x - 1)(x + 2)(x - 5) > 0$ , одной параболы нет — нужен метод интервалов.
Если трёхчлен стоит в знаменателе, сначала учитывают ОДЗ: точки, где знаменатель равен 0, всегда выколоты.
Если в неравенство входит параметр, приходится разбирать отдельно 3 случая: $a > 0$ , $a < 0$ и $a = 0$ , когда неравенство становится линейным.
Если до экзамена меньше 2 недель, а квадратные уравнения решаются с ошибками, сначала закрепите их: без верных корней эскиз бесполезен.

Чего делать нельзя

Нельзя доверять памяти там, где помогает рисунок: эти 6 ошибок приводят к неверному промежутку чаще остальных.

Нельзя делить неравенство на $x$ или на выражение с переменной: знак делителя неизвестен.
Нельзя записывать ответ в виде « $x < \pm 4$ »: это не промежуток.
Не следует извлекать корень из обеих частей неравенства $x^2 > 9$ и писать $x > 3$ — теряется ветка $x < -3$ .
Не следует писать «решений нет», если нет корней: при $D < 0$ решением может быть любое число.
Не стоит умножать на $-1$ и забывать перевернуть знак неравенства.
Не допускается включать корни в ответ при строгом знаке: скобки должны быть круглыми.

Как записать и проверить ответ

Ответ записывают промежутком или объединением промежутков через знак $\cup$ . Отдельные точки пишут в фигурных скобках, например $\{3\}$ , а пустое множество — словами «решений нет».

Проверка занимает минуту и по критериям оценивания не обязательна, но спасает от ошибки в знаке: подставьте в исходное неравенство одну точку из ответа и одну точку вне его. Для $-x^2 + 4x + 5 > 0$ это $x = 0$ (получаем $5 > 0$ , верно) и $x = 6$ (получаем $-7 > 0$ , неверно) — значит, промежуток выбран правильно. В задании 13 ОГЭ^[2] тот же приём помогает выбрать рисунок на прямой: проверьте, заштрихована ли точка, которая точно является решением. Посмотреть, как меняется парабола при изменении коэффициентов, можно в теме квадратичная функция и парабола.

Источники

[1] Макарычев Ю. Н., Миндюк Н. Г., Нешков К. И., Суворова С. Б. Алгебра. 9 класс. — М.: Просвещение.

[2] ФИПИ. Спецификация контрольных измерительных материалов для проведения в 2026 году основного государственного экзамена по математике. — М.: ФИПИ, 2025.

[3] ФИПИ. Спецификация контрольных измерительных материалов для проведения в 2027 году единого государственного экзамена по математике. Профильный уровень (проект). — М.: ФИПИ, 2026.

[4] Федеральная образовательная программа основного общего образования (утв. приказом Минпросвещения России от 18.05.2023 № 370).

[5] Roediger H. L., Karpicke J. D. Test-enhanced learning: taking memory tests improves long-term retention // Psychological Science. 2006. Vol. 17, No. 3. P. 249–255.

Вопросы и ответы

Обязательно ли рисовать параболу?

В задании с кратким ответом — нет, но эскиз из трёх линий занимает 10 секунд и снимает почти все ошибки. Во второй части рисунок делает решение понятным эксперту.

Чем этот способ отличается от метода интервалов?

Для трёхчлена оба дают одинаковый ответ. Парабола нагляднее для второй степени, метод интервалов универсален и подходит для произведений и дробей любой степени.

Нужно ли искать вершину параболы?

Нет. Для решения важны только корни и направление ветвей; вершина нужна в задачах про наибольшее и наименьшее значение, а не в неравенствах.

Как записать ответ, если подходит одна точка?

Пишут « $x = 3$ » или $\{3\}$ . Запись $[3; 3]$ формально допустима, но непривычна для эксперта, её лучше избегать.

Что делать, если корни иррациональные?

Решение не меняется: отметьте на оси, например, $1 - \sqrt{3}$ и $1 + \sqrt{3}$ и выберите промежутки. Меньший корень — тот, где квадратный корень вычитается, больший — где прибавляется. Если нужно сравнить такой корень с целым числом, помогает оценка: $1 < \sqrt{3} < 2$ , поэтому каждый корень лежит между соседними целыми числами.

Сколько задач решить для уверенности?

Около 30: по 5–6 на каждый случай таблицы, включая $D = 0$ и $D < 0$ . Исследования о памяти (Roediger, Karpicke^[5]) показывают, что самостоятельное решение задач без подсказки закрепляет материал лучше, чем перечитывание разборов. Распределите их на 3–4 занятия с перерывами — так навык держится дольше.