Метод интервалов для дробных неравенств и кратных корней

Q: Можно ли начинать расстановку знаков слева?

Можно, но справа проще: при множителях вида (x - a) там всегда «+». Если начинаете с другого интервала, подставьте из него любое число и вычислите знак честно.

Q: Что делать с множителем без корней, например с x² + 1?

Он положителен при любом x и на знак не влияет, поэтому его можно отбросить, не меняя знака неравенства. В решении достаточно одной фразы с объяснением.

Зачем нужен этот способ и где он встречается

Рациональное неравенство — это неравенство, в котором обе части — многочлены или дроби из многочленов. Эскиз параболы помогает только для второй степени, а интервалы работают для любой степени и любого числа множителей.

В основе лежит простое свойство: многочлен и дробь из многочленов могут сменить знак только в точке, где обращаются в ноль или теряют смысл. Между такими точками знак постоянен — это следствие теоремы о непрерывности, которую школьный курс использует без доказательства. Поэтому метод интервалов строго обоснован, а не является набором приёмов «на глаз». Учебник Колмогорова для 10–11 классов^[1] и учебник Мордковича^[2] излагают метод именно как общий инструмент для неравенств.

На ОГЭ метод интервалов пригождается в задании 20, где дробное неравенство нужно решить с полным оформлением. В профильном ЕГЭ это главный инструмент задания 16 (в 2026 году — задания 15): почти любое показательное или логарифмическое неравенство после замены и преобразований сводится к рациональному. По проекту спецификации ФИПИ^[3] это задание оценивается в 2 балла.

Метод интервалов: алгоритм из 5 шагов

Чтобы решить неравенство этим способом, нужно 5 шагов: ноль справа, разложение на множители, нули на оси, знаки на интервалах и ответ с правильными скобками. Пропуск любого шага — источник ошибки. В учебнике Макарычева для 9 класса^[4] метод интервалов вводится именно в таком порядке, на неравенствах с двумя-тремя множителями.

Шаг 1. Перенести всё в одну часть и привести к общему знаменателю, чтобы справа остался ноль.
Шаг 2. Разложить числитель и знаменатель на множители вида $(x - a)$ . Множители с отрицательным коэффициентом при $x$ , например $(2 - x)$ , лучше переписать как $-(x - 2)$ и перенести минус в знак неравенства.
Шаг 3. Отметить на оси нули числителя (закрашенные при нестрогом знаке, выколотые при строгом) и нули знаменателя (выколотые всегда).
Шаг 4. Определить знак на крайнем правом интервале — при множителях вида $(x - a)$ он «+». Двигаясь влево, менять знак в каждой точке нечётной кратности и сохранять в точке чётной кратности.
Шаг 5. Выбрать интервалы с нужным знаком и записать ответ, проверив каждую граничную точку.

Решите неравенство $(x - 1)(x + 2)(x - 5) > 0$ .

Нули: $-2$ , $1$ , $5$ , все кратности 1. Неравенство строгое, точки выколоты. На интервале $(5; +\infty)$ все три скобки положительны — знак «+». Дальше чередуем: $(1; 5)$ — «−», $(-2; 1)$ — «+», $(-\infty; -2)$ — «−». Нужен «+»: ответ $(-2; 1) \cup (5; +\infty)$ . Проверка точкой $x = 0$ : $(-1) \cdot 2 \cdot (-5) = 10 > 0$ — ноль лежит в ответе, всё сходится.

Дробные неравенства и выколотые точки

Если в неравенстве есть дробь, нули знаменателя отмечаются на оси, но в ответ не входят никогда: при этих значениях выражение не определено. Это главное отличие дробного неравенства от произведения. Метод интервалов здесь работает без изменений: точки знаменателя просто рисуют пустыми кружками.

Решите неравенство $\frac{x - 3}{x + 4} \le 0$ .

Нуль числителя $x = 3$ — закрашенная точка, ведь при нём дробь равна нулю и нестрогое неравенство выполняется. Нуль знаменателя $x = -4$ — выколотая точка. Справа от 3 знак «+», на $(-4; 3)$ — «−», слева от $-4$ — «+». Ответ: $(-4; 3]$ . Скобка у $-4$ круглая, хотя знак нестрогий.

Самая опасная ошибка с дробями — умножить обе части на знаменатель. Возьмём $\frac{x + 5}{x - 1} \ge 2$ . Если умножить на $x - 1$ , получится $x + 5 \ge 2x - 2$ , то есть $x \le 7$ , — и ответ будет неверным, потому что при $x < 1$ знаменатель отрицателен и знак неравенства должен меняться. Правильно перенести 2 влево: $\frac{x + 5 - 2(x - 1)}{x - 1} \ge 0$ , $\frac{7 - x}{x - 1} \ge 0$ , а после смены знака у числителя — $\frac{x - 7}{x - 1} \le 0$ . Ответ: $(1; 7]$ . Приведение дробей к общему знаменателю подробно разобрано в статье алгебраические дроби и ОДЗ.

Миф: «знаменатель можно отбросить, если он всегда положителен, а в остальных случаях — просто домножить». Неверно наполовину: отбросить знаменатель действительно можно, только если он положителен при всех $x$ , например $x^2 + 1$ . Домножать на знаменатель неизвестного знака нельзя — такого безопасного приёма для неравенств не существует.

Кратные корни: когда знак не меняется

Если множитель входит в чётной степени, например $(x - 2)^2$ , то при переходе через его нуль знак выражения не меняется. Именно это правило нарушают чаще всего, когда механически чередуют знаки в 2 соседних интервалах.

Объяснение простое: $(x - 2)^2 \ge 0$ при любом $x$ , поэтому этот множитель не влияет на знак произведения, а лишь обнуляет его в одной точке. Множитель $(x - 2)^3$ , наоборот, меняет знак, как и $(x - 2)$ : нечётная степень сохраняет знак основания.

Множитель	Кратность	Знак при переходе через нуль	Что легко потерять
$(x - a)$ , $(x - a)^3$	нечётная	меняется	—
$(x - a)^2$ , $(x - a)^4$	чётная	не меняется	изолированную точку $x = a$ при знаке $\ge$ или $\le$
$\frac{1}{(x - a)^2}$	чётная, в знаменателе	не меняется	выколотую точку $x = a$ внутри интервала
$x^2 + 1$ , $x^2 + x + 1$	нет нулей	всегда «+»	можно сократить, знак не меняется

Решите неравенство $(x - 1)^2 (x + 3) \le 0$ .

Нули: $-3$ (кратность 1) и $1$ (кратность 2), обе точки закрашены. На $(1; +\infty)$ знак «+». Через двукратную точку 1 знак не меняется: на $(-3; 1)$ тоже «+». Через $-3$ знак меняется: на $(-\infty; -3)$ — «−». Нужен «−» или ноль: ответ $(-\infty; -3] \cup \{1\}$ . Точку $x = 1$ теряют очень часто, а ведь в ней выражение равно нулю, и нестрогое неравенство выполняется.

При строгом знаке ситуация обратная: в неравенстве $(x - 2)^2 (x + 5) < 0$ точка $x = 2$ обращает выражение в ноль и в ответ не входит, хотя лежит внутри «положительного» участка — её нельзя «зацепить» случайно. Ответ: $(-\infty; -5)$ .

Задачи с проверкой

Блок «Задачи с проверкой» вверху страницы — это 8 неравенств: дроби, произведения трёх множителей и кратные корни. Ответ — число: наибольшее решение, количество целых решений или вариант из списка.

Перед вводом ответа обязательно нарисуйте ось со всеми точками и знаками: вопросы составлены так, чтобы ошибка в кратности или в выколотой точке давала другое число. Как и в критериях оценивания ФИПИ, в этих задачах метод интервалов требует внимания не только к знакам, но и к каждой граничной точке. Нажмите «Проверить», при расхождении откройте «Решение» и сравните знаки на каждом интервале. Кнопка «Следующая задача →» переключает задачи по кругу, поэтому к ошибочной можно вернуться через несколько минут и решить её заново.

Если неравенство второй степени, удобнее вернуться к эскизу параболы — этот случай разобран отдельно в теме квадратные неравенства. Задачи с логарифмами, которые после преобразований сводятся к интервалам, собраны в материале логарифмические неравенства и рационализация.

Когда метод интервалов не нужен

Не каждое неравенство стоит решать этим способом — иногда он избыточен или неприменим без подготовки.

Если неравенство линейное, то есть степени 1, проще перенести слагаемые и разделить на коэффициент.
Если выражение не раскладывается на множители, например многочлен 3-й степени без рациональных корней, метод не применить напрямую.
Если в неравенстве есть модуль или корень, сначала нужно учесть 2 вещи — раскрытие модуля или ОДЗ корня, — и только потом расставлять знаки.
Если знаменатель положителен при всех $x$ , например равен $x^2 + 4$ , его можно отбросить, и неравенство упрощается на 1 множитель.

Чего делать нельзя

Нельзя терять баллы в задании 16 профильного ЕГЭ из-за этих 7 ошибок — эксперты снижают оценку за каждую из них.

Нельзя умножать неравенство на знаменатель, знак которого неизвестен.
Нельзя включать в ответ нули знаменателя, даже при нестрогом знаке.
Не следует механически чередовать знаки: в точке чётной кратности знак сохраняется.
Не следует сокращать дробь на общий множитель с переменной, не выколов его нуль.
Не стоит начинать расстановку знаков, если остались множители вида $(3 - x)$ : сначала вынесите минус.
Не стоит терять изолированную точку при нестрогом неравенстве с квадратом.
Не допускается оставлять в бланке ответ без указания, какие концы входят: скобки обязательны.

Миф: «на крайнем правом интервале знак всегда плюс». Не подтверждается: это верно, только если все множители записаны в виде $(x - a)$ с положительным коэффициентом при $x$ . В выражении $(2 - x)(x + 1)$ справа знак «−», и ответ неравенства $(2 - x)(x + 1) > 0$ — интервал $(-1; 2)$ , а не внешние лучи.

Как оформить решение во второй части

Решение с развёрнутым ответом должно показать 3 вещи: равносильные преобразования к виду «дробь сравнивается с нулём», рисунок оси со знаками и ответ. Критерии оценивания ФИПИ допускают любой обоснованный способ, но рисунок без подписанных точек обоснованием не считается. Если же решение верное, а ответ отличается из-за одной граничной точки, по критериям ставится только 1 балл из 2.

На рисунке подпишите все нули, покажите закрашенные и выколотые точки, поставьте знаки над каждым интервалом и заштрихуйте выбранные. В ответе используйте знак объединения и отдельно перечислите изолированные точки в фигурных скобках. Пример оформления для дробно-рационального неравенства в формате ОГЭ разобран в статье про задание 20 ОГЭ.

Источники

[1] Колмогоров А. Н., Абрамов А. М., Дудницын Ю. П. и др. Алгебра и начала математического анализа. 10–11 классы. — М.: Просвещение.

[2] Мордкович А. Г. Алгебра и начала математического анализа. 10–11 классы. — М.: Мнемозина.

[3] ФИПИ. Спецификация контрольных измерительных материалов для проведения в 2027 году единого государственного экзамена по математике. Профильный уровень (проект). — М.: ФИПИ, 2026.

[4] Макарычев Ю. Н., Миндюк Н. Г., Нешков К. И., Суворова С. Б. Алгебра. 9 класс. — М.: Просвещение.

Вопросы и ответы

Можно ли начинать расстановку знаков слева?

Можно, но справа проще: при множителях вида $(x - a)$ там всегда «+». Если начинаете с другого интервала, подставьте из него любое число и вычислите знак честно.

Как понять кратность корня?

Это показатель степени множителя после полного разложения. Если один и тот же множитель встречается и в числителе, и в знаменателе, степени складываются, а точка всё равно выколота.

Нужно ли писать ОДЗ отдельно?

Для дробных неравенств достаточно выколоть нули знаменателя на рисунке. Если в исходном неравенстве были корни или логарифмы, ОДЗ выписывают отдельно и пересекают с ответом.

Что делать с множителем без корней, например с x² + 1?

Он положителен при любом $x$ и на знак не влияет, поэтому его можно отбросить, не меняя знака неравенства. В решении достаточно одной фразы с объяснением.

Работает ли этот подход для нестрогих неравенств с дробью?

Да: нули числителя закрашиваются, нули знаменателя выколоты. Это единственное отличие от строгого случая.

Сколько задач решить, чтобы не путаться в кратности?

Около 20 неравенств, из них не меньше 6 с квадратами множителей и 6 с дробями. Возвращайтесь к ним через 2–3 дня — повторение с интервалами закрепляет навык надёжнее.