Как решать логарифмические неравенства в задании 16 профильного ЕГЭ

Главное правило: направление знака задаёт основание

Если основание больше 1, логарифмическая функция возрастает, и при переходе к аргументам знак неравенства сохраняется. Если основание от 0 до 1, функция убывает, и знак меняется на противоположный.

Обратите внимание на правый столбец: в каждой строке достаточно одного условия положительности — меньший из аргументов. Если меньший аргумент положителен, больший положителен автоматически. Такая экономия условий описана в учебнике Мордковича^[1], но новичкам надёжнее выписывать ОДЗ полностью. Свойства функции $y = \log_a x$ и её график повторите на странице показательная и логарифмическая функции.

Почему вообще логарифмические неравенства выделяют в отдельную тему, если правило всего одно? Потому что на практике оно почти никогда не применяется в чистом виде. Справа стоит число, которое надо записать логарифмом; слева — сумма двух логарифмов с разными аргументами; основание бывает дробным, например $0{,}2$ или $\frac{1}{3}$, и знак легко забыть развернуть. Каждая из этих деталей по отдельности проста, но вместе они дают много мест для ошибки. Кодификатор ФИПИ относит такие неравенства к требованию «решать неравенства, их системы и совокупности», а в демоверсии они стоят во второй части рядом с показательными и рациональными.

Миф: «логарифмические неравенства решаются так же, как уравнения, только со знаком». Это неверно: в уравнении посторонний корень отсекается проверкой, а в неравенстве решений бесконечно много, и подставить каждое невозможно. Поэтому ОДЗ здесь не дополнение, а обязательная часть ответа.

ОДЗ: система условий, без которой ответ неверен

ОДЗ логарифмического неравенства — это все $x$, при которых каждый аргумент положителен, а каждое основание положительно и не равно 1. Итоговый ответ — пересечение ОДЗ с решением преобразованного неравенства.

В отличие от уравнений, здесь ошибка в ОДЗ почти никогда не видна в конце. Например, неравенство $\log_2(x - 1) + \log_2(x + 3) > 5$ после объединения логарифмов даёт $x^2 + 2x - 35 > 0$, то есть $x < -7$ или $x > 5$. Без ОДЗ $x > 1$ в ответ попадёт целый лишний луч $x < -7$, хотя при таких $x$ ни один логарифм не определён.

Удобный порядок записи: первая строка — ОДЗ в виде системы, вторая — равносильный переход на ОДЗ, затем решение методом интервалов и пересечение на одной числовой прямой. Если метод интервалов вызывает затруднения, сначала разберите метод интервалов для рациональных неравенств: почти каждое логарифмическое неравенство в итоге сводится к нему.

Простейшие логарифмические неравенства

Простейшее неравенство — это $\log_a f(x) \vee c$, где $c$ — число. Число записывают как логарифм по тому же основанию, $c = \log_a a^c$, и переходят к аргументам по правилу из таблицы.

Решите неравенство $\log_{\frac12}(x - 3) > -2$.

$-2 = \log_{\frac12} 4$. Основание меньше 1, поэтому знак меняется: $x - 3 < 4$. Добавляем ОДЗ $x - 3 > 0$ и получаем двойное неравенство $0 < x - 3 < 4$, то есть $3 < x < 7$. Ответ: $(3; 7)$.

Решите неравенство $\log_3(2x - 1) \le 2$.

Основание $3 > 1$, знак сохраняется: $0 < 2x - 1 \le 9$, откуда $\frac12 < x \le 5$. Ответ: $\left(\frac12; 5\right]$. Левая скобка круглая: при $x = \frac12$ аргумент равен нулю, и логарифм не определён.

Оба примера показывают типичную картину: ответ — промежуток, у которого один конец задан ОДЗ, а другой — самим неравенством. Если в вашем ответе ОДЗ никак не повлияла на промежуток, это повод перепроверить решение.

Отдельно стоит запомнить, как выглядят логарифмические неравенства без решений и с решением «любое $x$ из ОДЗ». Например, $\log_2(x^2 + 4) < 2$ решений не имеет: аргумент не меньше 4, значит, логарифм не меньше 2. А $\log_2(x^2 + 4) \ge 2$ выполняется при любом $x$, потому что ОДЗ здесь — вся прямая. Такие случаи встречаются как промежуточный шаг в системах, и их полезно распознавать без вычислений.

Логарифмические неравенства с суммой и заменой

Если логарифмов несколько, их собирают в один по свойствам суммы и разности — но только после того, как выписана ОДЗ исходного неравенства. Если логарифм входит в квадрате, делают замену.

Решите неравенство $\log_2(x + 1) + \log_2(x - 1) < 3$.

ОДЗ: $x > 1$. На ОДЗ неравенство равносильно $\log_2(x^2 - 1) < \log_2 8$, то есть $x^2 - 1 < 8$, $-3 < x < 3$. Пересекаем с ОДЗ: $1 < x < 3$. Ответ: $(1; 3)$.

Решите неравенство $\log_3^2 x - \log_3 x - 2 \ge 0$.

ОДЗ: $x > 0$. Замена $t = \log_3 x$: $t^2 - t - 2 \ge 0$, $(t - 2)(t + 1) \ge 0$, значит $t \le -1$ или $t \ge 2$. Возвращаемся: $\log_3 x \le -1$ даёт $0 < x \le \frac13$, $\log_3 x \ge 2$ даёт $x \ge 9$. Ответ: $\left(0; \frac13\right] \cup [9; +\infty)$.

Частая ошибка в таком решении — забыть левую границу 0 и записать $(-\infty; \frac13]$. Неравенство $t \le -1$ ничего не знает об ОДЗ; ограничение $x > 0$ приходится возвращать вручную.

Переменное основание: метод рационализации

Метод рационализации — это замена логарифмического выражения рациональным выражением того же знака на ОДЗ. Он избавляет от разбора двух случаев «основание больше 1» и «меньше 1».

Основная формула: на ОДЗ знак $\log_a f - \log_a g$ совпадает со знаком $(a - 1)(f - g)$. Частный случай при $g = 1$: знак $\log_a f$ совпадает со знаком $(a - 1)(f - 1)$. Обе формулы следуют из монотонности логарифма, то есть из той же теоремы, что и правило из первой таблицы.

Решите неравенство $\log_x(x + 2) \ge 2$.

ОДЗ: $x > 0$, $x \ne 1$, $x + 2 > 0$ — итого $x > 0$, $x \ne 1$. Записываем $2 = \log_x x^2$ и переходим к $(x - 1)(x + 2 - x^2) \ge 0$. Так как $x + 2 - x^2 = -(x - 2)(x + 1)$, получаем $(x - 1)(x - 2)(x + 1) \le 0$. Метод интервалов даёт $x \le -1$ или $1 \le x \le 2$. Пересекаем с ОДЗ: $1 < x \le 2$. Ответ: $(1; 2]$.

Проверка на пробных точках: при $x = 2$ имеем $\log_2 4 = 2$ — граница входит; при $x = 3$ — $\log_3 5 < 2$, так как $5 < 9$; при $x = \frac12$ логарифм $\log_{0{,}5} 2{,}5$ отрицателен. Ответ подтверждается.

Как оформить решение задания 16

Задание 16 по проекту ФИПИ 2027 года (в 2026 году — № 15) оценивается в 2 балла^[2]. Полный балл ставят за обоснованно полученный верный ответ; 1 балл — если ответ отличается от верного только граничными точками или если есть вычислительная ошибка при верной последовательности шагов.

1. ОДЗ. Система условий для всех аргументов и оснований.
2. Переход. Фраза «на ОДЗ неравенство равносильно…» и новое неравенство без логарифмов.
3. Решение. Метод интервалов с отмеченными точками и знаками.
4. Пересечение. Отдельная прямая, на которой видны и ОДЗ, и решение.
5. Ответ. Промежутки с правильными скобками.

Общие правила номера и примеры других видов неравенств — на странице задание 16 профильного ЕГЭ.

Задачи с проверкой

Блок «Задачи с проверкой» вверху страницы содержит 8 заданий: 7 неравенств, где ответ сведён к числу — количеству или сумме целых решений, наибольшему решению или сумме длин промежутков, — и 1 вопрос с выбором варианта о методе рационализации.

Решайте каждое неравенство полностью, с ОДЗ и числовой прямой, и только потом считайте целые точки. Кнопка «Решение» покажет разбор, а «Следующая задача →» переключит на новое задание.

Когда метод рационализации не нужен

Метод удобен, но в простых случаях он удлиняет запись и добавляет шанс ошибиться в множителях.

• Если основание — конкретное число, например 2 или $\frac13$, достаточно правила из таблицы: 1 строка вместо 3.
• Если в неравенстве 1 логарифм и число справа, проще сразу перейти к двойному неравенству.
• Если после замены $t = \log_a x$ получилось неравенство 2-й степени, рационализация не применяется — решайте его относительно $t$.
• Если до экзамена меньше 2 недель и метод не отработан хотя бы на 10 задачах, надёжнее разбирать 2 случая для основания.

Чего делать нельзя

Нельзя терять баллы там, где решение уже почти готово: большинство снижений в этой теме приходится на последние строки.

• Нельзя снимать логарифмы, не посмотрев на основание: при основании меньше 1 знак обязан развернуться.
• Нельзя записывать ответ без пересечения с ограничениями — лишний луч обнуляет решение.
• Не следует ставить квадратную скобку у точки, где аргумент равен нулю или основание равно 1.
• Не следует умножать неравенство на выражение с переменной, знак которого неизвестен.
• Не стоит применять рационализацию без указания, что переход выполняется в области определения: вне её замена неверна.
• Не допускается заменять обоснование словами «очевидно» или «по графику видно».

Источники

[1] Мордкович А. Г. Алгебра и начала математического анализа. 10–11 классы. — М.: Мнемозина.

[2] ФИПИ. Спецификация контрольных измерительных материалов для проведения в 2027 году единого государственного экзамена по математике. Профильный уровень (проект). — М.: ФИПИ, 2026.

[3] ФИПИ. Планируемые изменения в КИМ ЕГЭ 2027 года. — М.: ФИПИ, 2026.

[4] Колмогоров А. Н., Абрамов А. М., Дудницын Ю. П. и др. Алгебра и начала математического анализа. 10–11 классы. — М.: Просвещение.

Вопросы и ответы

Изменилось ли задание с неравенством в 2027 году?

По «Планируемым изменениям» ФИПИ^[3] содержание и 2 балла сохранились, изменился только номер: было 15, стало 16. Разборы прошлых лет полностью подходят.

Можно ли решать без метода рационализации?

Да. Для переменного основания разбирают 2 случая — основание больше 1 и от 0 до 1 — и объединяют ответы. Так решают в учебнике Колмогорова^[4]; рационализация лишь сокращает запись.

Нужно ли доказывать формулу рационализации на экзамене?

Достаточно сослаться на монотонность логарифма и указать, что переход сделан в области определения. Подробное доказательство не требуется, но фраза о равносильности должна быть.

Бывают ли логарифмические неравенства в первой части?

Как отдельное задание — нет. Но та же идея встречается в прикладной задаче первой части, где по формуле с логарифмом нужно найти, при каких значениях величина не превышает заданную.

Почему ответ иногда получается пустым?

Если решение преобразованного неравенства целиком лежит вне области допустимых значений, пересечение пусто, и ответ — «решений нет». Это законный результат, но его стоит перепроверить.

Как быть с логарифмом в знаменателе?

Переносите всё в одну часть, приводите к общему знаменателю и применяйте рационализацию к числителю и знаменателю отдельно, не забывая, что знаменатель не равен нулю.

Сколько задач решить, чтобы получать 2 балла?

Ориентир — 15–20 неравенств разных видов с полным оформлением. Решайте их не за один вечер, а распределяя по неделям: так приёмы закрепляются надёжнее.