Как устроены графики показательной функции и логарифма

Что такое показательная функция

В показательной функции переменная стоит в показателе степени, а основание — фиксированное число: $y = 2^x$, $y = 0{,}5^x$, $y = 10^x$. Этим она отличается от степенной функции $y = x^2$, где переменная в основании.

Ограничения на основание объясняются так же, как у логарифма. При $a = 1$ получилась бы постоянная $y = 1$, а при отрицательном основании выражения вроде $(-4)^{0{,}5}$ не определены. Поэтому рассматривают только $a > 0$, $a \ne 1$. Область определения — все действительные числа: показатель может быть любым, в том числе отрицательным и дробным. Значения при этом всегда положительны: $2^{-2} = 0{,}25$, $2^0 = 1$, $2^3 = 8$.

Область значений — промежуток $(0; +\infty)$. Ноль функция не принимает никогда, сколь угодно малые положительные значения — принимает. Поэтому уравнение $2^x = 0$ не имеет корней, а уравнение $2^x = -4$ тем более: правая часть не входит в область значений, и решать его не нужно. Учебник Колмогорова для 10–11 классов^[1] вводит показательную функцию после степени с рациональным показателем, и все её свойства опираются на правила действий со степенями.

Показательная функция описывает процессы, где величина за равные промежутки умножается на одно и то же число: рост вклада со сложными процентами, размножение бактерий, остывание чая, распад радиоактивного вещества. Если за каждый шаг величина умножается на число больше 1, функция возрастает; если на число от 0 до 1 — убывает. Именно поэтому в школьном курсе её изучают вместе с задачами на проценты: формула вклада $S = S_0 \cdot 1{,}1^n$ — это показательная функция от числа лет $n$.

Миф: «при отрицательном $x$ значение $2^x$ отрицательно». Это неверно: $2^{-3} = \frac18$, это положительное число. Отрицательный показатель означает дробь, а не минус перед результатом.

График и монотонность показательной функции

График $y = a^x$ всегда проходит через точку $(0; 1)$, лежит выше оси $Ox$ и приближается к ней с одной стороны: прямая $y = 0$ — горизонтальная асимптота.

При $a > 1$ функция возрастает: для $y = 2^x$ значения при $x = -2, -1, 0, 1, 2, 3$ равны 0,25; 0,5; 1; 2; 4; 8. Слева график прижимается к оси, справа взмывает вверх. При $0 < a < 1$ картина зеркальная: $y = \left(\frac12\right)^x = 2^{-x}$ убывает, и её график — отражение графика $y = 2^x$ относительно оси $Oy$.

Рост при $a > 1$ в конце концов обгоняет любую степенную функцию: $2^5 = 32$ больше $5^2 = 25$, а $2^{10} = 1024$ уже в десять раз больше $10^2 = 100$. Отсюда выражение «растёт по экспоненте» — так говорят о величинах, которые за равные промежутки времени умножаются на одно и то же число.

Логарифмическая функция — обратная к показательной

Логарифмическая функция $y = \log_a x$ отвечает на обратный вопрос: в какую степень возвести $a$, чтобы получить $x$. Поэтому её область определения $x > 0$, а область значений — все действительные числа.

График проходит через точку $(1; 0)$, потому что $\log_a 1 = 0$, и через точку $(a; 1)$. Вертикальная асимптота — ось $Oy$: при $x$, близком к нулю, логарифм по основанию больше 1 уходит в минус бесконечность. Для $y = \log_2 x$ опорные точки: $\left(\frac14; -2\right)$, $\left(\frac12; -1\right)$, $(1; 0)$, $(2; 1)$, $(4; 2)$, $(8; 3)$. Сравните с таблицей для $y = 2^x$: координаты просто поменялись местами.

Это и есть симметрия относительно прямой $y = x$: взаимно обратные функции меняют ролями аргумент и значение. Если график $y = 2^x$ перегнуть по биссектрисе первой и третьей четвертей, он совпадёт с графиком $y = \log_2 x$. Область определения логарифмической функции со сложным аргументом находят из условия «аргумент больше нуля». Для $y = \log_3(5 - x)$ это $x < 5$, для $y = \lg(x + 1)$ — $x > -1$. Такая проверка — первое действие в любом логарифмическом уравнении и неравенстве, и о ней прямо говорят критерии оценивания второй части: ответ с числами вне области определения не засчитывается. Вычислительные правила для логарифмов — тождество, произведение, переход к основанию — собраны отдельно на странице свойства логарифмов и основное тождество.

Миф: «логарифмическая функция растёт так же быстро, как показательная». Это не подтверждается: $\log_2 x$ растёт очень медленно — чтобы получить значение 10, нужен аргумент 1024, а для значения 20 — уже больше миллиона.

Как монотонность помогает сравнивать числа

Если основание больше 1, большему показателю соответствует большая степень и большему аргументу — больший логарифм. Если основание между 0 и 1, порядок меняется на противоположный.

Примеры: $3^{0{,}7} > 3^{0{,}5}$, потому что основание 3 больше 1. Но $0{,}3^2 > 0{,}3^3$, то есть $0{,}09 > 0{,}027$, — основание меньше 1, и больший показатель даёт меньшее число. С логарифмами то же: $\log_2 5 < \log_2 7$, но $\log_{\frac13} 2 > \log_{\frac13} 4$.

На этом построено решение неравенств. Для $0{,}5^x > 4$ записываем $4 = 0{,}5^{-2}$ и, так как функция убывает, меняем знак: $x < -2$. Для $\log_3 x < 2$ учитываем область определения: $0 < x < 9$. Забытая смена знака или забытое условие $x > 0$ — главная причина потери баллов в таких задачах. Подробные алгоритмы — в материалах показательные неравенства и логарифмические неравенства с ОДЗ.

Сдвиги графиков и асимптоты

Если к функции прибавить число $b$, горизонтальная асимптота сдвигается в $y = b$; если заменить $x$ на $x - m$, вертикальная асимптота логарифма сдвигается в $x = m$.

График $y = 2^{x - 1} + 3$ — это $y = 2^x$, сдвинутый на 1 вправо и на 3 вверх: асимптота $y = 3$, опорная точка $(1; 4)$. График $y = \log_2(x + 2)$ сдвинут на 2 влево: асимптота $x = -2$, нуль функции при $x = -1$. Общие правила сдвигов и растяжений одинаковы для всех функций и подробно разобраны в материале преобразования графиков на примере корня.

Где это нужно на экзаменах

В профильном ЕГЭ графики функций проверяет задание 12 (в 2026 году — задание 11) по проекту спецификации ФИПИ^[2]; там встречаются и показательные, и логарифмические кривые.

Типичная задача — по рисунку графика $y = a^x + b$ или $y = \log_a(x + m)$ восстановить коэффициенты и найти значение в точке. Помогают опорные точки: асимптота сразу даёт $b$ или $m$, а точка с целыми координатами — основание. Кроме того, монотонность используют в уравнениях базового и профильного уровня: если обе части — степени одного основания, показатели можно приравнять именно потому, что функция монотонна. Для прикладных задач полезна модель распада: масса вещества с периодом полураспада 5 лет за 15 лет уменьшается с 80 г до $80 \cdot \left(\frac12\right)^3 = 10$ г.

Задачи с проверкой

В блоке «Задачи с проверкой» вверху страницы 8 задач: значения функции, основание по точке, наибольшее и наименьшее значение на отрезке, выбор убывающей функции и сдвиг графика.

Вводите ответ в поле «Ответ» и нажимайте «Проверить»; кнопка «Решение» открывает разбор, «Следующая задача →» переключает задачи по кругу. В задаче с выбором введите номер верного варианта. Решать без подсказки полезнее, чем перечитывать теорию, — это показало исследование Roediger и Karpicke о проверочном воспроизведении^[3].

Когда монотонность не поможет

Не каждую задачу с показателями и логарифмами можно решить одной ссылкой на возрастание или убывание.

• Если основание содержит переменную, например $x^x$ или основание $x - 1$, его знак относительно 1 заранее неизвестен, и нужен перебор случаев.
• Если сравниваются степени с разными основаниями и показателями, например $2^{30}$ и $3^{20}$, сначала приведите их к общему показателю 10.
• Если функция задана суммой, например $2^x + x$, монотонность нужно обосновать отдельно — для 2 возрастающих слагаемых это просто, для разности уже нет.
• Если в логарифмическом неравенстве забыта область определения, ответ может включать числа меньше 0, которые в него не входят.

Чего делать нельзя

Нельзя переходить от степеней к показателям механически: знак неравенства зависит от основания.

• Нельзя сохранять знак неравенства, если основание лежит между 0 и 1.
• Нельзя рисовать график показательной функции, пересекающий ось $Ox$: значения всегда положительны.
• Не следует забывать, что логарифмическая функция определена только при положительном аргументе.
• Не следует путать $y = 2^x$ и $y = x^2$: у первой переменная в показателе, у второй — в основании.
• Не стоит считать асимптоту частью графика — на ней нет ни одной его точки.
• Не стоит сравнивать степени с разными основаниями «на глаз»: приведите их к одному основанию или показателю.

Источники

[1] Колмогоров А. Н., Абрамов А. М., Дудницын Ю. П. и др. Алгебра и начала математического анализа. 10–11 классы. — М.: Просвещение.

[2] ФИПИ. Спецификация контрольных измерительных материалов для проведения в 2027 году единого государственного экзамена по математике. Профильный уровень (проект). — М.: ФИПИ, 2026.

[3] Roediger H. L., Karpicke J. D. Test-enhanced learning: taking memory tests improves long-term retention // Psychological Science. 2006. Vol. 17, No. 3. P. 249–255.

[4] Федеральная образовательная программа среднего общего образования (утв. приказом Минпросвещения России от 18.05.2023 № 371).

Вопросы и ответы

Почему у показательной функции основание не может быть равно 1?

При основании 1 любая степень равна 1, и функция превращается в постоянную. Тогда теряется главное свойство — монотонность, и обратной функции у такой зависимости нет.

Что такое экспонента?

Так называют функцию $y = e^x$, где $e \approx 2{,}718$. Это показательная функция с особым основанием, удобным в математическом анализе.

Как отличить графики 2^x и log₂x на рисунке?

Первый проходит через $(0; 1)$ и лежит выше оси абсцисс, второй — через $(1; 0)$ и лежит правее оси ординат. Асимптоты у них разные: горизонтальная и вертикальная.

Может ли логарифмическая функция принимать отрицательные значения?

Да. Например, $\log_2 0{,}5 = -1$. Отрицательным не может быть аргумент, а значение — любым.

В каком классе изучают эти функции?

По ФОП среднего общего образования^[4] — в 10–11 классах, в курсе алгебры и начал математического анализа. На ОГЭ их нет.

Зачем знать асимптоты, если их не просят найти?

Асимптота — самый быстрый способ определить сдвиг графика по рисунку. Найдя её, вы сразу получаете один из коэффициентов формулы.