Как решаются показательные неравенства в задании 16 профиля

Монотонность — главный инструмент

Функция $y = a^x$ при $a > 1$ возрастает, а при $0 < a < 1$ убывает. Поэтому неравенство $a^{f(x)} > a^{g(x)}$ равносильно $f(x) > g(x)$ в первом случае и $f(x) < g(x)$ во втором.

Монотонность показательной функции доказывается в учебнике Колмогорова^[1], и на неё можно ссылаться в решении одной фразой: «так как основание больше 1, функция возрастает». Именно эта фраза превращает переход от степеней к показателям в обоснованный. График и остальные свойства функции собраны на странице показательная и логарифмическая функции.

Показательные неравенства проще логарифмических в одном отношении: выражение $a^x$ определено при любом $x$, и ОДЗ обычно не нужна. Зато здесь есть своя ловушка — дробные основания. Число $0{,}2$ или $\frac13$ выглядит безобидно, но разворачивает знак, и большинство ошибок в теме связано именно с этим. Удобная привычка — перед переходом к показателям подписать над основанием «$> 1$» или «$< 1$».

Ответ показательного неравенства почти всегда записывается как промежуток или объединение нескольких промежутков. Поэтому монотонность работает дважды: сначала она позволяет перейти от степеней к показателям, а затем помогает проверить ответ. Возьмите любую точку внутри найденного промежутка и подставьте её в исходное неравенство: если оно верно, а точка за границей промежутка его нарушает, решение скорее всего правильное. Для строго монотонной функции такая проверка особенно надёжна — внутри каждого промежутка знак разности не меняется. Кодификатор ФИПИ относит показательные неравенства к умению «решать неравенства и их системы», а в учебниках они идут сразу после показательных уравнений, потому что приёмы те же: одно основание, вынесение множителя, замена. Разница только в последнем шаге — вместо знака равенства нужно правильно выбрать направление знака и записать промежутки со скобками нужного вида.

Миф: «знак меняется, если в показателе стоит минус». Это неверно: направление зависит только от основания. Неравенство $2^{-x} > 4$ решается с сохранением знака: $-x > 2$, $x < -2$. Минус в показателе влияет только на следующий шаг, когда обе части делят на $-1$.

Простейшие показательные неравенства

Простейшее показательное неравенство — это $a^{f(x)} \vee b$. Если $b > 0$, число записывают как степень того же основания; если $b \le 0$, ответ получается сразу из положительности степени.

• Одно основание. $3^{x - 2} < 27$: $27 = 3^3$, основание больше 1, поэтому $x - 2 < 3$, $x < 5$.
• Дробное основание. $0{,}2^x \ge 25$: $25 = 0{,}2^{-2}$, основание меньше 1, знак меняется: $x \le -2$.
• Отрицательная правая часть. $2^x > -3$ верно при любом $x$, а $5^x < 0$ решений не имеет.
• Нестепенное число. $2^x > 7$: $7 = 2^{\log_2 7}$, поэтому $x > \log_2 7$. Такой ответ точный, приближать его не нужно.

Последний пункт показывает, где показательные неравенства пересекаются с логарифмами: если правая часть не является степенью основания, ответ содержит логарифм. Сравнить $\log_2 7$ с целыми числами можно через степени: $4 < 7 < 8$, значит, $2 < \log_2 7 < 3$.

Простейшие показательные неравенства почти не встречаются во второй части в чистом виде, но любое сложное неравенство в конце сводится к ним. Если на этом шаге ошибиться со знаком, вся предыдущая работа пропадает, поэтому полезно довести простейшие случаи до автоматизма — по теореме о монотонности ответ здесь получается за одну строку.

Вынесение множителя и замена t = a^x

Если степени отличаются сдвигом показателя, выносят общий множитель; если есть $a^{2x}$ и $a^x$, делают замену $t = a^x$ с условием $t > 0$. Затем решают рациональное неравенство относительно $t$ и возвращаются к $x$.

Решите неравенство $4^x - 10 \cdot 2^x + 16 \le 0$.

Пусть $t = 2^x$, $t > 0$: $t^2 - 10t + 16 \le 0$, $(t - 2)(t - 8) \le 0$, $2 \le t \le 8$. Оба конца положительны, условие $t > 0$ ничего не отсекает. Возвращаемся: $2^1 \le 2^x \le 2^3$, и так как основание больше 1, $1 \le x \le 3$. Ответ: $[1; 3]$.

Условие $t > 0$ становится решающим, когда решение по $t$ захватывает отрицательные числа. Например, если получилось $t < 3$, то с учётом $t > 0$ имеем $0 < t < 3$, и переход к $x$ даёт $x < \log_2 3$ — без всякой левой границы, потому что $2^x$ положительно при любом $x$.

Дробные показательные неравенства в задании 16

В задании 16 (в 2026 году — № 15) показательная часть обычно спрятана в дроби: после замены получается рациональное неравенство, которое решают методом интервалов. По проекту спецификации ФИПИ за задание дают 2 балла^[2].

Решите неравенство $\dfrac{9^x - 4 \cdot 3^x + 3}{3^x - 9} \le 0$.

Замена $t = 3^x$, $t > 0$: $\frac{(t - 1)(t - 3)}{t - 9} \le 0$. Отмечаем на прямой точки 1 и 3 (закрашенные) и 9 (выколотую, знаменатель не равен нулю). Методом интервалов получаем $t \le 1$ или $3 \le t < 9$. С учётом $t > 0$: $0 < t \le 1$ или $3 \le t < 9$.

Возвращаемся к $x$: $3^x \le 1$ даёт $x \le 0$, а $3 \le 3^x < 9$ — $1 \le x < 2$. Ответ: $(-\infty; 0] \cup [1; 2)$. Если метод интервалов для дробей вызывает трудности, повторите его на странице метод интервалов и кратные корни.

Однородные неравенства решаются тем же путём, но с делением. В $4^x + 6^x > 2 \cdot 9^x$ делим на $9^x > 0$ и обозначаем $t = \left(\frac23\right)^x$: $t^2 + t - 2 > 0$, с учётом $t > 0$ получаем $t > 1$. Основание $\frac23$ меньше 1, поэтому $\left(\frac23\right)^x > 1$ означает $x < 0$ — знак развернулся на последнем шаге.

Не путать: здесь разобраны приёмы для показательных неравенств, а общие правила задания 16, критерии и другие виды неравенств — на странице задание 16 профильного ЕГЭ.

Системы и рационализация с переменным основанием

Если в задании система, каждое неравенство решают отдельно, а потом находят пересечение на одной числовой прямой. Ошибки обычно не в решении, а в пересечении — особенно в граничных точках.

Решите систему $\begin{cases} 4^x - 9 \cdot 2^x + 8 \le 0, \\ \left(\frac12\right)^{x - 1} < 2. \end{cases}$

Первое: при $t = 2^x > 0$ получаем $(t - 1)(t - 8) \le 0$, $1 \le t \le 8$, то есть $0 \le x \le 3$. Второе: $2^{1 - x} < 2^1$, основание больше 1, $1 - x < 1$, $x > 0$. Пересечение: $0 < x \le 3$. Точка 0 входит в первое множество, но не во второе, поэтому скобка круглая. Ответ: $(0; 3]$.

Если основание содержит переменную, применяют рационализацию: при $a > 0$ знак $a^f - a^g$ совпадает со знаком $(a - 1)(f - g)$. Например, неравенство $(x + 2)^{x - 3} \ge 1$ при условии $x + 2 > 0$ заменяется на $(x + 1)(x - 3) \ge 0$, откуда $x \le -1$ или $x \ge 3$. С учётом $x > -2$ ответ: $(-2; -1] \cup [3; +\infty)$. Проверка: при $x = 0$ левая часть равна $\frac18 < 1$ — точка верно не попала в ответ.

Задачи с проверкой

В блоке «Задачи с проверкой» вверху страницы 8 заданий: простейшие, с вынесением множителя, с заменой, дробное и система. Ответ везде — одно число: наибольшее целое решение, сумма или количество целых решений.

Решите неравенство до конца, запишите промежуток и только потом считайте целые точки — так проверяется и решение, и аккуратность со скобками. «Решение» открывает разбор, «Следующая задача →» переключает задание; задачи идут по кругу.

Хотя в бланк вводится одно число, полезно каждый раз выписывать промежутки ответа полностью. Подсчёт целых точек — хорошая проверка: если вы перепутали скобку на границе, количество решений изменится на 1, и ошибка станет видна. Через несколько дней пройдите блок заново, не заглядывая в разборы: повторное решение с интервалами закрепляет приёмы лучше, чем чтение готовых промежутков и решений.

Когда замена переменной не нужна

Замена — мощный приём, но в части неравенств она только удлиняет решение.

• Если в неравенстве 1 степень и число, как в $5^{x+1} > 125$, достаточно привести число к основанию 5.
• Если показатели отличаются только сдвигом, например на 1 или 2, хватит вынесения общего множителя.
• Если основания разные и не связаны, как 2 и 3, замена не поможет — логарифмируйте или делите на одну из степеней.
• Если степень сравнивается с линейной функцией, как в $2^x > 3 - x$, нужна монотонность: левая часть растёт, правая убывает, поэтому точка пересечения ровно 1 — её подбирают, $x = 1$, и ответ $x > 1$.

Чего делать нельзя

Нельзя считать решение законченным, пока не проверено направление знака на каждом переходе: в этой теме одна пропущенная смена знака даёт ответ «наоборот».

• Нельзя переходить к показателям, не определив, больше или меньше 1 основание.
• Нельзя забывать условие $t > 0$ после замены: решение $t < 3$ без него даёт ошибочную запись.
• Не следует умножать неравенство на знаменатель с переменной — дробь решают методом интервалов.
• Не следует записывать пересечение системы «на глаз»: каждое множество отмечают на общей прямой.
• Не стоит заменять ответ вида $x > \log_2 7$ приближением $x > 2{,}8$.
• Не допускается путать скобки у выколотых точек: значение, обнуляющее знаменатель, в ответ не входит.

Источники

[1] Колмогоров А. Н., Абрамов А. М., Дудницын Ю. П. и др. Алгебра и начала математического анализа. 10–11 классы. — М.: Просвещение.

[2] ФИПИ. Спецификация контрольных измерительных материалов для проведения в 2027 году единого государственного экзамена по математике. Профильный уровень (проект). — М.: ФИПИ, 2026.

[3] Мордкович А. Г. Алгебра и начала математического анализа. 10–11 классы. — М.: Мнемозина.

[4] Ященко И. В. (ред.). ЕГЭ. Математика. Профильный уровень. Типовые экзаменационные варианты. — М.: Национальное образование.

Вопросы и ответы

Нужна ли ОДЗ в показательном неравенстве?

Только если есть дробь, корень или переменная в основании. Сама степень $a^x$ определена при любом $x$.

Почему после замены пишут t > 0, а не t ≥ 0?

Потому что степень с положительным основанием никогда не равна нулю. Значение $t = 0$ не соответствует ни одному $x$.

Можно ли решать показательные неравенства логарифмированием?

Да, если обе части положительны. При логарифмировании по основанию больше 1 знак сохраняется, меньше 1 — меняется; учебник Мордковича^[3] разбирает этот приём на примерах с разными основаниями.

Что делать с основанием, равным 1?

При переменном основании точку, где оно равно 1, проверяют отдельно: $1^f = 1$ при любом показателе. Рационализация учитывает это автоматически через множитель $a - 1$.

Сколько времени уходит на задание 16 с такой дробью?

Ориентир — 12–15 минут с оформлением. Дольше всего занимает метод интервалов, поэтому его стоит довести до автоматизма отдельно.

Где найти задачи для тренировки?

В сборниках типовых вариантов под редакцией Ященко^[4]: в каждом варианте есть неравенство второй части, и показательные среди них встречаются регулярно.