Логарифмические и показательные неравенства на 2 балла

Что проверяет задание 16 и сколько оно стоит

Задание 16 — это третья задача части 2: нужно решить одно неравенство и обосновать каждый переход. По проекту спецификации ФИПИ 2027 года за него ставят не более 2 первичных баллов^[1].

В проекте 2027 года вариант вырос до 20 заданий и 33 баллов, но неравенство с полным решением не изменилось^[2]. Поэтому для подготовки подходят и сборники прошлых лет, где оно стоит под номером 15, и типовые варианты под редакцией Ященко.

Проверяются четыре навыка: найти область допустимых значений, применить монотонность логарифмической или показательной функции, решить получившееся рациональное неравенство методом интервалов и аккуратно собрать ответ из промежутков. Ошибиться можно на любом шаге, но чаще всего балл теряют на последнем — при объединении с ОДЗ.

Простые неравенства с кратким ответом встречаются в прикладных задачах первой части, а здесь неравенство сложнее: несколько ограничений, замена переменной, переменное основание логарифма. Решение без записи ограничений не засчитывается, даже если промежуток в ответе угадан верно.

Типы неравенств и главный приём для каждого

В задании встречаются 4 типа неравенств, и у каждого свой первый шаг. Таблица помогает за минуту понять, с чего начинать.

Основа почти любого решения — метод интервалов: после всех преобразований логарифмическое или показательное неравенство сводится к рациональному. Если на нём есть неуверенность, сначала закрепите метод интервалов для рациональных неравенств — особенно случай кратных корней и выколотых точек.

Пример 1: логарифмическое неравенство и ОДЗ

Если в неравенстве есть логарифм, область допустимых значений записывают первой строкой: аргумент строго больше нуля. Без этой строки решение считается неполным.

Решите неравенство $\log_2(x^2 - 4x) \le 5$.

ОДЗ: $x^2 - 4x > 0$, то есть $x(x - 4) > 0$, откуда $x < 0$ или $x > 4$. Число 5 записываем как логарифм: $5 = \log_2 32$. Основание 2 больше 1, функция $y = \log_2 t$ возрастает, поэтому знак сохраняется: $x^2 - 4x \le 32$, то есть $x^2 - 4x - 32 \le 0$. Корни трёхчлена $-4$ и $8$, решение $-4 \le x \le 8$.

Пересекаем с ОДЗ: $[-4; 0) \cup (4; 8]$. Точки $0$ и $4$ выколоты, потому что в них аргумент логарифма равен нулю, а точки $-4$ и $8$ включены: в них логарифм равен ровно 5.

Короче записать то же самое можно системой $0 < x^2 - 4x \le 32$: двойное неравенство сразу учитывает и ОДЗ, и сравнение. Этот приём подходит только при постоянном основании; при переменном основании так делать нельзя. Подробно все случаи разобраны в материале логарифмические неравенства.

Миф: «если в конце подставить пару точек и они подошли, ОДЗ можно не писать». Это неверно: проверка нескольких точек не доказывает, что весь промежуток входит в решение, и такого способа обоснования в критериях не существует.

Пример 2: показательное неравенство с заменой

Чтобы решить показательное неравенство с $9^x$ и $3^x$, делают замену $t = 3^x$ и обязательно фиксируют $t > 0$. Дальше получается обычное рациональное неравенство.

Решите неравенство $\dfrac{9^x - 4\cdot 3^x + 3}{3^x - 9} \le 0$.

Замена $t = 3^x$, $t > 0$: $\dfrac{t^2 - 4t + 3}{t - 9} \le 0$, то есть $\dfrac{(t - 1)(t - 3)}{t - 9} \le 0$. Точки $1$ и $3$ закрашены, точка $9$ выколота. Метод интервалов: $t \le 1$ или $3 \le t < 9$. С учётом $t > 0$ первое условие превращается в $0 < t \le 1$.

Возвращаемся к $x$: $3^x \le 1$ даёт $x \le 0$, а $3 \le 3^x < 9$ даёт $1 \le x < 2$. Ответ: $(-\infty; 0] \cup [1; 2)$. Контроль: при $x = 0{,}5$ числитель $3 - 4\sqrt3 + 3 < 0$, знаменатель $\sqrt3 - 9 < 0$, дробь положительна — точка правильно не попала в ответ.

Заметьте: без ограничения $t > 0$ в ответ попал бы лишний промежуток $t \le 0$, которому не соответствует ни одно $x$. Эксперт расценит это как ошибку, даже если итоговый ответ записан верно. Ещё несколько схем — в материале показательные неравенства.

Пример 3: переменное основание и метод рационализации

Метод рационализации — это замена разности логарифмов выражением того же знака без логарифмов. Для основания $h(x)$ знак разности $\log_h f - \log_h g$ совпадает со знаком $(h - 1)(f - g)$ на ОДЗ.

Решите неравенство $\log_x(2x + 3) \ge 2$.

ОДЗ: $x > 0$, $x \ne 1$, $2x + 3 > 0$, то есть $x \in (0; 1) \cup (1; +\infty)$. Запишем $2 = \log_x x^2$ и применим рационализацию: $(x - 1)(2x + 3 - x^2) \ge 0$, или $(x - 1)(x^2 - 2x - 3) \le 0$, то есть $(x - 1)(x - 3)(x + 1) \le 0$. Метод интервалов даёт $x \le -1$ или $1 \le x \le 3$.

С учётом ОДЗ остаётся $(1; 3]$. Проверка: при $x = 2$ имеем $\log_2 7 > \log_2 4 = 2$ — верно; при $x = 0{,}5$ получаем $\log_{0{,}5} 4 = -2 < 2$ — точка правильно отброшена. Без рационализации пришлось бы разбирать два случая, $0 < x < 1$ и $x > 1$, — это тоже верно, но длиннее.

Не путать: метод рационализации применяется только вместе с ОДЗ. Сам по себе он теряет условия $x > 0$ и $x \ne 1$, и без их записи ответ $(1; 3]$ превращается в неверный $(-\infty; -1] \cup [1; 3]$.

Как оценивают задание 16 и как оформить ответ

Критерии оценивания ФИПИ для задания 16 устроены по общему принципу: полное обоснованное решение с верным ответом — 2 балла, частичное продвижение — меньше. Ответ без решения баллов не приносит.

Своими словами: высший балл получает работа, где все переходы объяснены, ограничения учтены и итоговое множество записано верно. Если ход решения правильный, но ответ отличается из-за небольшого недочёта, работа может получить частичный балл; грубая ошибка в ключевом шаге, например неверный знак при основании меньше 1, обычно оставляет решение без баллов. Точные формулировки — в проекте демоверсии ФИПИ^[3]; их стоит прочитать хотя бы раз.

1. ОДЗ. Первая строка решения, отдельной системой.
2. Переход. Фраза «основание больше 1, знак сохраняется» или «функция убывает, знак меняется».
3. Интервалы. Числовая ось с закрашенными и выколотыми точками и знаками.
4. Пересечение. Отдельная строка, где решение объединено с ОДЗ.
5. Ответ. Промежутки в порядке возрастания, со скобками нужного вида.

Учебник Колмогорова для 10–11 классов^[4] приучает к той же последовательности, и она удобна эксперту: каждый шаг легко проверить.

Ловушки на концах промежутков

Многие снижения в неравенствах связаны всего с 1–2 точками: включён конец, который должен быть выколот, или наоборот. Поэтому концы промежутков проверяют отдельно.

• Нуль знаменателя всегда выколот, даже при нестрогом знаке.
• Граница ОДЗ логарифма выколота: аргумент должен быть строго положительным.
• Корень чётной кратности не меняет знак — интервалы по обе стороны имеют одинаковый знак.
• Точка «основание равно 1» исключается всегда, даже если формально удовлетворяет итоговому неравенству.

Быстрая самопроверка — подставить по одной точке из каждого промежутка ответа и по одной точке снаружи. Это не заменяет обоснование, но ловит перепутанный знак за две минуты.

Задачи с проверкой

Блок «Задачи с проверкой» в начале страницы — 7 неравенств в формате задания 16, ответ к которым сведён к одному числу: сумме целых решений, их количеству или длине промежутка.

Сначала решите неравенство полностью на бумаге — с ОДЗ и числовой осью, — затем найдите нужное число и введите его в поле «Ответ». Кнопка «Решение» покажет разбор, а «Следующая задача →» переключит на новое неравенство. Если ответ не совпал, чаще всего виноват один конец промежутка.

Кому задание 16 не подходит в первую очередь

Неравенство — одно из самых «коротких» заданий части 2, но и оно не всем выгодно на старте подготовки.

• Если в первой части стабильно решается меньше 9 заданий из 13, сначала закрывайте их.
• Если свойства логарифмов не освоены, за 2 недели до экзамена надёжно выучить их не выйдет.
• Если решение занимает больше 25 минут, лучше перейти к следующим номерам и вернуться в конце.
• Если цель — 1–2 задания второй части, задание 14 с уравнением может оказаться привычнее.

Чего делать нельзя

Нельзя терять 2 балла из-за мелочей, которые не требуют новых знаний, только внимательности.

• Нельзя умножать обе части на выражение с переменной, не зная его знака.
• Нельзя сравнивать аргументы логарифмов, не указав, возрастает функция или убывает.
• Не следует писать ОДЗ «в уме»: её нужно видеть в решении.
• Не следует записывать ответ неравенством с ошибкой в скобках — круглая вместо квадратной меняет множество.
• Не стоит делить на $\log$ или $3^x - 9$, если не ясно, что выражение не обращается в нуль.
• Не допускается калькулятор: значения вроде $\frac{-1 + \sqrt{17}}{2}$ оставляют в точной форме.

Источники

[1] ФИПИ. Спецификация контрольных измерительных материалов для проведения в 2027 году единого государственного экзамена по математике. Профильный уровень (проект). — М.: ФИПИ, 2026.

[2] ФИПИ. Планируемые изменения в КИМ ЕГЭ 2027 года. — М.: ФИПИ, 2026.

[3] ФИПИ. Демонстрационный вариант контрольных измерительных материалов единого государственного экзамена 2027 года по математике. Профильный уровень (проект). — М.: ФИПИ, 2026.

[4] Колмогоров А. Н., Абрамов А. М., Дудницын Ю. П. и др. Алгебра и начала математического анализа. 10–11 классы. — М.: Просвещение.

[5] Ященко И. В. (ред.). ЕГЭ. Математика. Профильный уровень. Типовые экзаменационные варианты. — М.: Национальное образование.

Вопросы и ответы

Это то же, что задание 15 в 2026 году?

Да. По проекту ФИПИ 2027 года номер сдвинулся на единицу из-за новых заданий в первой части. Тип задачи и 2 балла сохранились.

Обязательно ли использовать метод рационализации?

Нет. Можно разобрать случаи «основание больше 1» и «основание от 0 до 1» — это классический способ из учебника. Рационализация просто короче, но её применяют только вместе с ОДЗ.

Можно ли решать задание 16 графически?

Эскиз графика полезен для проверки, но как единственное обоснование он не принимается: точки пересечения нужно получить алгебраически.

Как записать ответ, если решение — одна точка?

Фигурными скобками: $\{3\}$, а если точка добавляется к промежутку — объединением: $(-\infty; -2] \cup \{3\}$.

Сколько времени уходит на неравенство?

Обычно 15–20 минут вместе с оформлением. Если на ОДЗ и преобразования ушло больше 25 минут, отложите задачу и вернитесь к ней после остальных.

Нужна ли числовая ось в чистовике?

Желательна: она показывает, какие точки закрашены и где какой знак. Без неё эксперту труднее проверить метод интервалов, и спорные места трактуются не в вашу пользу.