Стереометрическая задача на 3 балла: доказать и вычислить

Что проверяет задание 15 и сколько оно стоит

Задание 15 — это вторая задача части 2 и единственная стереометрия с полным решением в варианте. По проекту спецификации ФИПИ 2027 года за неё можно получить до 3 первичных баллов^[1], столько же, сколько за планиметрию в задании 18.

В проекте 2027 года число заданий выросло с 19 до 20, а максимальный балл — с 32 до 33^[2]. Стереометрическая задача при этом не изменилась: сдвинулся лишь номер, с 14 на 15. Значит, все сборники и разборы прошлых лет подходят для тренировки без оговорок.

Проверяются три умения. Первое — видеть пространственную конфигурацию: где лежит перпендикуляр к плоскости, какая точка проектируется в центр основания. Второе — доказывать по теоремам из учебника: признак перпендикулярности прямой и плоскости, теорема о трёх перпендикулярах, признаки параллельности. Третье — считать без калькулятора: теорема Пифагора, теорема косинусов, площади и объёмы.

Объёмы и площади поверхности с кратким ответом проверяет другая задача — стереометрия в задании 3. Здесь же число без обоснования не стоит ничего: эксперт оценивает цепочку рассуждений, а не только финальную строку.

Какие фигуры и вопросы встречаются

Набор конфигураций в стереометрической задаче ограничен: это 5–6 тел и 5 типов вопросов. Если разобрать каждую пару «фигура — вопрос» хотя бы на двух примерах, новых ситуаций на экзамене почти не останется.

Самые частые тела — правильная пирамида (треугольная и четырёхугольная), правильная призма, куб и прямоугольный параллелепипед. Реже встречаются цилиндр и конус: в них сечение обычно проходит через ось или через вершину конуса. Если не помните, как строится сечение многогранника плоскостью через три точки, сначала повторите построение сечений методом следов: без этого пункт а) часто просто не с чего начать.

Пример 1: куб и перпендикуляр к плоскости

Чтобы доказать перпендикулярность прямой и плоскости, достаточно найти в плоскости две пересекающиеся прямые, перпендикулярные данной. Это главный признак, на котором держится добрая половина задач с кубом и пирамидой.

Дан куб $ABCDA_1B_1C_1D_1$ с ребром 6. а) Докажите, что прямая $BD_1$ перпендикулярна плоскости $ACB_1$. б) Найдите расстояние от точки $D_1$ до плоскости $ACB_1$.

Пункт а). Диагонали квадрата $ABCD$ перпендикулярны: $AC \perp BD$. Ребро $DD_1$ перпендикулярно плоскости основания, поэтому $AC \perp DD_1$. Прямая $AC$ перпендикулярна двум пересекающимся прямым плоскости $BDD_1$, значит, она перпендикулярна всей этой плоскости и, в частности, прямой $BD_1$. Точно так же $B_1C \perp BC_1$ (диагонали квадрата $BCC_1B_1$) и $B_1C \perp C_1D_1$, откуда $B_1C \perp BD_1$. Прямая $BD_1$ перпендикулярна двум пересекающимся прямым $AC$ и $B_1C$ плоскости $ACB_1$, что и требовалось доказать.

Пункт б). Раз $BD_1$ перпендикулярна плоскости, расстояние от $D_1$ до неё измеряется вдоль этой диагонали. Диагональ куба $BD_1 = 6\sqrt3$. Расстояние от $B$ до плоскости $ACB_1$ найдём методом объёмов: тетраэдр $BACB_1$ имеет объём $\frac16\cdot 6^3 = 36$, а его грань $ACB_1$ — правильный треугольник со стороной $6\sqrt2$ и площадью $18\sqrt3$. Из $36 = \frac13\cdot 18\sqrt3\cdot h$ получаем $h = 2\sqrt3$. Точки $B$ и $D_1$ лежат по разные стороны от плоскости, поэтому искомое расстояние равно $6\sqrt3 - 2\sqrt3 = 4\sqrt3$.

Проверка смыслом: диагональ куба делится плоскостями $ACB_1$ и $A_1C_1D$ на три равные части, и на долю $D_1$ приходятся две из них — $\frac23\cdot 6\sqrt3 = 4\sqrt3$. Совпадение с ответом подтверждает расчёт.

Миф: «в пункте а) достаточно сослаться на рисунок — и так видно, что прямые перпендикулярны». Это неверно: рисунок в стереометрии искажает углы, и признака «видно по чертежу» не существует. Каждый прямой угол нужно получить из теоремы или из свойства фигуры.

Пример 2: призма и угол между плоскостями

Если в задаче нужен угол между плоскостями, сначала строят его линейный угол: из одной точки ребра двугранного угла проводят два перпендикуляра к этому ребру — по одному в каждой плоскости. Доказательство того, что построенный угол линейный, обычно и составляет пункт а).

В правильной треугольной призме $ABCA_1B_1C_1$ сторона основания равна 6, боковое ребро равно $3\sqrt3$. Точка $H$ — середина ребра $AB$. а) Докажите, что угол $C_1HC$ — линейный угол двугранного угла между плоскостью $ABC_1$ и плоскостью основания. б) Найдите этот угол.

Пункт а). В правильном треугольнике $ABC$ медиана $CH$ является высотой: $CH \perp AB$. Ребро $CC_1$ перпендикулярно плоскости основания, $CH$ — проекция наклонной $C_1H$ на эту плоскость. По теореме о трёх перпендикулярах $C_1H \perp AB$. Обе стороны угла $C_1HC$ перпендикулярны ребру $AB$ и лежат в разных гранях двугранного угла, значит, угол линейный.

Пункт б). $CH = \frac{6\sqrt3}{2} = 3\sqrt3$. В прямоугольном треугольнике $C_1CH$ катеты $CC_1$ и $CH$ равны, поэтому $\operatorname{tg}\angle C_1HC = 1$ и угол равен $45^\circ$. Ответ можно записать и как $\operatorname{arctg} 1$, но точное значение $45^\circ$ предпочтительнее.

Обратите внимание на порядок: сначала указан перпендикуляр к плоскости, затем названа проекция, и только потом применена теорема. Пропуск любого из этих звеньев делает доказательство неполным, и эксперт вправе его не засчитать.

Координатный метод в пункте б)

Координатный метод — это способ найти угол или расстояние формулой, не строя сложных перпендикуляров. Он особенно выручает, когда фигура — куб, параллелепипед или правильная призма, где удобно ввести оси вдоль рёбер.

Возьмём куб из примера 1 и поместим вершину $A$ в начало координат: $B(6; 0; 0)$, $C(6; 6; 0)$, $B_1(6; 0; 6)$, $D_1(0; 6; 6)$. Плоскость $ACB_1$ проходит через начало координат, её уравнение $x - y - z = 0$ — подстановка точек $C$ и $B_1$ даёт нули. Расстояние от $D_1$ по формуле:

$$d = \frac{|0 - 6 - 6|}{\sqrt{1 + 1 + 1}} = \frac{12}{\sqrt3} = 4\sqrt3.$$

Ответ совпал с синтетическим решением, и это хорошая привычка: решить пункт б) двумя способами, если остаётся время. Координаты удобнее всего в пункте б), но и доказательство в пункте а) ими тоже можно провести, но тогда каждое вычисление должно быть полным. Подробнее формулы углов и расстояний собраны в материале координатный метод в стереометрии.

Не путать: нормальный вектор плоскости даёт угол между плоскостями через модуль косинуса, а угол между прямой и плоскостью — через синус. Перепутанная функция — частая причина неверного ответа при правильном ходе решения.

Критерии оценивания и оформление задания 15

Критерии оценивания ФИПИ для задания 15 построены по принципу «чем полнее обоснование, тем выше балл». Полное решение обоих пунктов с верным ответом — 3 балла, частичные продвижения оцениваются меньше.

Своими словами общая логика такая. Высший балл ставят, только если доказательство пункта а) и вычисление пункта б) обоснованы и ответ верен. Если выполнен лишь один пункт или в обоснованном решении допущена вычислительная ошибка, балл снижается. Решение пункта б) ценится не меньше доказательства, поэтому пропускать вычисление из-за того, что не получилось доказать, не следует: пункт б) можно решать, опираясь на утверждение пункта а). Точные формулировки баллов приведены в проекте демоверсии^[3], и их полезно прочитать до экзамена.

1. Чертёж. Большой, с подписанными точками и выделенными нужными отрезками; невидимые линии — штрихом.
2. Пункт а). Каждое утверждение — со ссылкой на теорему или свойство: «по признаку перпендикулярности прямой и плоскости».
3. Пункт б). Сначала назовите, какой угол или отрезок ищется и почему, затем считайте.
4. Ответ. Отдельной строкой: «б) $4\sqrt3$». Для пункта а) ответ не пишут — там доказательство.

Общие правила записи части 2 — как исправлять, что делать с черновиком, — собраны в материале оформление заданий с развёрнутым ответом.

Типичные ошибки и как проверить ответ

Типичные потери в задании сводятся к 4 повторяющимся ошибкам: неверно выбранный угол, неполное доказательство, ошибка в вычислениях и ответ без единиц или в неправильной форме.

• Не тот угол. Угол между наклонной и плоскостью — это угол с проекцией, а не с любой прямой плоскости.
• Пропущенная теорема. Перпендикулярность одной прямой ещё не означает перпендикулярность плоскости: нужны две пересекающиеся.
• Арифметика. Ошибка в квадрате корня — $(3\sqrt2)^2 = 18$, а не 6 — меняет весь ответ.
• Форма ответа. Косинус больше 1 или отрицательное расстояние — сигнал, что решение надо пересмотреть.

Проверяют ответ тремя способами. Оценка: расстояние не может быть больше ребра или диагонали, в которых оно лежит. Второй способ: координаты или метод объёмов как независимый пересчёт. Третий: частный случай — если фигура куб, ответ часто выражается простой долей ребра.

Задачи с проверкой

В блоке «Задачи с проверкой» в начале страницы 7 задач в духе пункта б): углы, расстояния, сечения. Ответ — одно число, которое вводится в поле «Ответ» и проверяется кнопкой «Проверить».

Работайте так, как на экзамене: чертёж, обоснование, вычисление на бумаге, и только потом ввод числа. Если ответ не совпал, нажмите «Решение» и сравните не только итог, но и выбор угла или отрезка — там обычно и кроется расхождение. Кнопка «Следующая задача →» листает задачи по кругу.

Когда задание 15 не подходит для старта

Не каждому выпускнику задание 15 стоит брать первым из второй части: 3 балла требуют и доказательства, и вычисления.

• Если в первой части решено меньше 10 заданий из 13, сначала добирайте баллы там.
• Если до экзамена меньше 3 недель, а теоремы о перпендикулярности не изучены, освоить пункт а) с нуля не выйдет.
• Если на одну задачу уходит больше 30 минут, лучше перейти к неравенству в задании 16 и вернуться позже.
• Если не получается построить линейный угол хотя бы в 2 задачах из 5, начните с координатного метода для пункта б).

Чего делать нельзя

Нельзя терять баллы на том, что не связано с математикой: на неразборчивом чертеже, лишних записях и пропущенных ссылках.

• Нельзя писать «очевидно» вместо ссылки на теорему: это не обоснование.
• Нельзя считать угол между плоскостями, не доказав, что построенный угол линейный.
• Не следует оставлять пункт б) пустым, если не удалось доказать а): утверждение пункта а) можно использовать.
• Не следует делать чертёж размером с ноготь: эксперт должен видеть все точки.
• Не стоит переписывать в бланк два разных решения: оценят то, что слабее.
• Не допускается калькулятор: корни и тригонометрию приходится упрощать вручную.

Источники

[1] ФИПИ. Спецификация контрольных измерительных материалов для проведения в 2027 году единого государственного экзамена по математике. Профильный уровень (проект). — М.: ФИПИ, 2026.

[2] ФИПИ. Планируемые изменения в КИМ ЕГЭ 2027 года. — М.: ФИПИ, 2026.

[3] ФИПИ. Демонстрационный вариант контрольных измерительных материалов единого государственного экзамена 2027 года по математике. Профильный уровень (проект). — М.: ФИПИ, 2026.

[4] Атанасян Л. С., Бутузов В. Ф., Кадомцев С. Б. и др. Геометрия. 10–11 классы. — М.: Просвещение.

Вопросы и ответы

Это та же задача, что № 14 в 2026 году?

Да. По проекту ФИПИ 2027 года в первую часть добавлены новые номера, поэтому стереометрия с развёрнутым ответом сместилась с 14-го места на 15-е. Тип задачи и 3 первичных балла сохранились.

Можно ли получить баллы только за пункт б)?

Да, обоснованное решение одного пункта тоже приносит баллы, хотя и меньше полного. Утверждение пункта а) разрешено использовать в пункте б), даже если доказать его не удалось.

Засчитают ли решение задания 15 координатным методом?

Да, любой математически верный способ засчитывается. Важно указать систему координат, координаты точек и формулу, по которой ведётся расчёт.

Какие теоремы нужно знать наизусть?

Признаки параллельности и перпендикулярности прямой и плоскости, признак перпендикулярности плоскостей, теорему о трёх перпендикулярах — все они есть в учебнике Атанасяна для 10–11 классов^[4]. Плюс теорему Пифагора, теорему косинусов и формулы объёмов.

Сколько времени закладывать?

Ориентир — 25–35 минут вместе с чертежом и чистовиком. Если доказательство не идёт за 15 минут, переходите к пункту б), а к пункту а) вернитесь в конце.

Нужно ли записывать ответ в градусах или через арктангенс?

Если угол табличный, пишите градусы или радианы. Если нет — ответ вида $\operatorname{arctg}\frac{12}{5}$ или $\arccos 0{,}6$ полностью допустим, приближённые значения не нужны.