Сечения многогранников: метод следов и правила построения

Сечение многогранника — что это

Сечение многогранника — это многоугольник, по которому секущая плоскость пересекает поверхность многогранника. Его стороны — отрезки пересечения плоскости с гранями, а вершины лежат на рёбрах. Сечения многогранников бывают разными даже у одного тела, и число возможных сечений бесконечно.

Из определения сразу следует ограничение: каждая сторона сечения лежит в своей грани, причём в одной грани — не более одной стороны. Значит, у сечения не может быть больше сторон, чем граней у многогранника. У тетраэдра 4 грани, и его сечение — треугольник или четырёхугольник. У куба 6 граней, и сечение бывает треугольником, четырёхугольником, пятиугольником или шестиугольником.

Многогранник	Граней	Возможные сечения
Тетраэдр	4	треугольник, четырёхугольник
Куб, параллелепипед	6	от треугольника до шестиугольника
$n$ -угольная пирамида	$n + 1$	не более $n + 1$ сторон
$n$ -угольная призма	$n + 2$	не более $n + 2$ сторон

Задачи на построение сечений многогранников решаются одинаково для любого тела. Построить сечение — значит найти все точки пересечения секущей плоскости с рёбрами и последовательно соединить их. Строят обычно на готовом рисунке многогранника, и каждое действие должно опираться на аксиому или теорему стереометрии — иначе это не построение, а угадывание. Само тело и его элементы разобраны в статье многогранники: призма, пирамида, параллелепипед.

Аксиомы и теоремы, на которых держится построение

Построение сечения опирается на 4 утверждения из учебника Атанасяна для 10–11 классов^[1] — их стоит знать дословно, потому что на них ссылаются при обосновании.

Три точки. Через любые три точки, не лежащие на одной прямой, проходит плоскость, и притом только одна. Поэтому секущая плоскость обычно задаётся тремя точками.
Прямая в плоскости. Если две точки прямой лежат в плоскости, то вся прямая лежит в этой плоскости. Отсюда первое правило: две точки сечения в одной грани соединяют отрезком.
Пересечение плоскостей. Если две плоскости имеют общую точку, они пересекаются по прямой. Эту прямую на плоскости грани или основания и называют следом.
Параллельные плоскости. По теореме о пересечении двух параллельных плоскостей третьей линии пересечения параллельны. Отсюда второе правило: в противоположных гранях куба или призмы стороны сечения параллельны.

Этих четырёх фактов достаточно для любого школьного построения сечений. Сечения многогранников в задачах экзамена тоже строятся только по ним, без дополнительных теорем. Удобно держать их перед глазами на первых задачах и подписывать номер правила рядом с каждым шагом рисунка.

Три правила построения сечения

Если точки секущей плоскости даны на рёбрах, сечение строится повторением 3 действий — они одинаковы для всех сечений, причём в каждой задаче нужны не все из них.

Одна грань. Две точки сечения, лежащие в одной грани, соединяют. Соединять точки из разных граней нельзя — такой отрезок проходит внутри тела.
Параллельные грани. Если сторона сечения уже построена в одной грани, в параллельной ей грани проводят параллельный отрезок через известную точку.
След. Если в грани только одна точка сечения, продлевают уже построенную сторону до пересечения с прямой, содержащей ребро этой грани, и получают вторую точку.

Пример на второе правило. В кубе $ABCDA_1B_1C_1D_1$ с ребром 4 строим сечение через вершины $A_1$ , $C_1$ и середину $M$ ребра $AB$ . Отрезок $A_1C_1$ лежит в верхней грани. Нижняя грань ей параллельна, поэтому через $M$ проводим прямую, параллельную $A_1C_1$ , то есть параллельную $AC$ . Она пересекает $BC$ в середине $N$ . Сечение — трапеция $A_1C_1NM$ . Её основания $4\sqrt2$ и $2\sqrt2$ , боковые стороны $\sqrt{16 + 4} = 2\sqrt5$ , высота $\sqrt{20 - 2} = 3\sqrt2$ , площадь $\frac{6\sqrt2}{2} \cdot 3\sqrt2 = 18$ .

Метод следов: построение по шагам

Метод следов — это способ достроить сечение, когда в гранях не хватает второй точки: стороны сечения продлевают до пересечения с прямыми, на которых лежат рёбра основания, и через полученные точки выходят на новые рёбра.

Ребро куба $ABCDA_1B_1C_1D_1$ равно 6. Точки $M$ и $N$ — середины рёбер $AB$ и $BC$ . Постройте сечение куба плоскостью $MND_1$ и найдите, в каких точках оно пересекает рёбра $AA_1$ и $CC_1$ .

Шаг 1. Точки $M$ и $N$ лежат в нижней грани — соединяем их. Прямая $MN$ и есть след секущей плоскости на плоскости основания.
Шаг 2. Продлеваем $MN$ до пересечения с прямыми $AD$ и $CD$ : получаем точки $X$ и $Y$ вне куба. Из равенства треугольников $XAM$ и $NBM$ следует $XA = 3$ , аналогично $CY = 3$ .
Шаг 3. Точки $X$ и $D_1$ лежат в плоскости грани $AA_1D_1D$ . Соединяем их, прямая $XD_1$ пересекает ребро $AA_1$ в точке $P$ . Точно так же $YD_1$ пересекает $CC_1$ в точке $Q$ .
Шаг 4. Соединяем точки в каждой грани: $MP$ , $PD_1$ , $D_1Q$ , $QN$ . Сечение — пятиугольник $MNQD_1P$ .

Длины находим из подобия. Треугольники $XAP$ и $XDD_1$ подобны, $XA = 3$ , $XD = 9$ , поэтому $AP = 6 \cdot \frac39 = 2$ . По симметрии $CQ = 2$ . Полезная проверка: точки $P$ и $Q$ лежат на одной высоте, значит отрезок $PQ$ параллелен диагонали $AC$ , и это согласуется с тем, что след $MN$ тоже параллелен $AC$ . Вспомогательные точки $X$ и $Y$ не входят в сечение — это только инструмент.

Миф: «сечение куба может быть правильным пятиугольником, если удачно выбрать плоскость». Это неверно: у пятиугольного сечения куба две пары сторон лежат в параллельных гранях и поэтому параллельны, а у правильного пятиугольника параллельных сторон не бывает. Правильный шестиугольник получить можно, правильный пятиугольник — нельзя.

Как найти площадь и периметр сечения

Чтобы найти площадь сечения, сначала определяют вид многоугольника — треугольник, прямоугольник, трапеция, — затем находят его стороны через теорему Пифагора в гранях и только после этого применяют формулу площади.

Самые частые случаи стоит помнить готовыми. Диагональное сечение куба с ребром $a$ — прямоугольник $a \times a\sqrt2$ площадью $a^2\sqrt2$ . Сечение через три вершины, соседние с одной вершиной куба, — правильный треугольник со стороной $a\sqrt2$ . Сечение через середины шести рёбер — правильный шестиугольник со стороной $\frac{a\sqrt2}{2}$ и площадью $\frac{3\sqrt3}{4}a^2$ . Для куба с ребром 4 это $12\sqrt3$ .

Если многоугольник сложный, помогает формула площади ортогональной проекции: $S_{\text{пр}} = S \cos\varphi$ , где $\varphi$ — угол между секущей плоскостью и плоскостью проекции. Её применяют только с обоснованием угла, и в решениях с развёрнутым ответом теорема о площади проекции должна быть названа явно.

Сечения многогранников на экзамене

Сечения многогранников — основа задания 15 профильного ЕГЭ (в 2026 году — № 14): по проекту спецификации ФИПИ^[2] это стереометрическая задача с развёрнутым ответом на 3 балла.

Обычно в пункте а) нужно доказать, что многоугольник имеет определённый вид или делит ребро в данном отношении, а в пункте б) — найти его площадь, угол или расстояние. Без верного построения пункт б) не решается, поэтому построение — первое, что проверяет эксперт. Разбор номера целиком — в материале задание 15 профильного ЕГЭ по стереометрии. Если строить не хочется, пункт б) часто решают через координаты: см. координатный метод в стереометрии. Сборники типовых вариантов^[3] содержат десятки таких задач для тренировки.

Критерии оценивания требуют обоснования: фраза «по рисунку видно» не засчитывается. Каждая новая вершина должна получаться из правила — точки в одной грани, параллельности или следа.

Миф: «на экзамене достаточно аккуратного рисунка, объяснять построение не нужно». Это не подтверждается: в критериях оценивания ФИПИ балл за пункт а) даётся за обоснованное доказательство. Рисунок помогает эксперту, но не заменяет ссылки на свойства параллельных плоскостей или на подобие треугольников.

Задачи с проверкой

Блок «Задачи с проверкой» вверху страницы — 8 задач: от числа сторон многоугольника до точки пересечения плоскости с ребром методом следов. Ответ вводится числом или номером варианта.

Кнопка «Проверить» сразу оценивает ответ, «Решение» показывает разбор, «Следующая задача →» переключает на новую задачу. Перед вводом ответа нарисуйте многогранник и саму фигуру: в задачах на площадь половина ошибок возникает из-за неверного вида многоугольника.

Когда метод следов не нужен

Не каждое построение требует вспомогательных точек вне тела: в 4 типичных случаях хватает первых двух правил.

Если все 3 заданные точки лежат на рёбрах одной вершины, получится треугольник, и его стороны просто соединяют точки попарно.
Если 2 точки лежат на параллельных рёбрах куба, например на $AA_1$ и $CC_1$ , фигура достраивается через параллельные грани.
Если плоскость проходит через 2 противоположных ребра параллелепипеда, получится диагональный параллелограмм, и строить нечего.
Если в задаче нужен только ответ — число сторон, — достаточно сравнить его с числом граней, например 6 у куба.

Чего делать нельзя

Нельзя строить «на глаз»: каждая точка должна получаться из правила.

Нельзя соединять отрезком две точки, лежащие в разных гранях.
Нельзя продлевать сторону сечения до пересечения с ребром, которое со стороной не лежит в одной плоскости: скрещивающиеся прямые не пересекаются.
Не следует включать вспомогательные точки следа в вершины сечения.
Не следует проводить в двух параллельных гранях непараллельные стороны сечения.
Не стоит считать площадь, пока не установлен вид многоугольника.
Не допускается в задании с развёрнутым ответом заменять обоснование словами «как видно из рисунка».

Источники

[1] Атанасян Л. С., Бутузов В. Ф., Кадомцев С. Б. и др. Геометрия. 10–11 классы. — М.: Просвещение.

[2] ФИПИ. Спецификация контрольных измерительных материалов для проведения в 2027 году единого государственного экзамена по математике. Профильный уровень (проект). — М.: ФИПИ, 2026.

[3] Ященко И. В. (ред.). ЕГЭ. Математика. Профильный уровень. Типовые экзаменационные варианты. — М.: Национальное образование.

Вопросы и ответы

Зачем учиться строить сечения многогранников, если есть координаты?

Координаты помогают в вычислениях, но пункт а) задания 15 почти всегда требует доказать что-то о сечении. Без построения его не решить.

Что такое след плоскости?

Это прямая, по которой секущая плоскость пересекает плоскость грани или основания. Через него находят точки на рёбрах, до которых иначе не добраться.

Может ли сечение тетраэдра быть пятиугольником?

Нет. У тетраэдра 4 грани, а каждая сторона сечения лежит в своей грани, поэтому сторон не более четырёх.

Какой карандаш и линейку брать для чертежа?

На экзамене разрешена линейка; чертёж делают в бланке ручкой. Невидимые линии принято рисовать штрихом, видимые — сплошной.

Как проверить, что построение выполнено верно?

Проверьте три вещи: в каждой грани не больше одной стороны, стороны в параллельных гранях параллельны, все заданные точки стали вершинами или лежат на сторонах.

С каких многогранников начинать тренировку?

С куба: у него все грани одинаковы и параллельность видна сразу. Затем переходите к треугольной призме и правильной четырёхугольной пирамиде.