Призма и пирамида: объём, поверхность, элементы фигур

Многогранник — что это и из чего он состоит

Многогранник — это тело, поверхность которого состоит из конечного числа плоских многоугольников. Эти многоугольники называют гранями, их стороны — рёбрами, а концы рёбер — вершинами многогранника.

Многогранник называют выпуклым, если он лежит по одну сторону от плоскости каждой своей грани. В школьном курсе и на экзаменах встречаются только выпуклые многогранники, поэтому все формулы ниже написаны для них. По учебнику Атанасяна^[1] тема изучается в 10–11 классах, хотя с кубом и прямоугольным параллелепипедом знакомятся гораздо раньше.

Для любого выпуклого многогранника выполняется теорема Эйлера: $\text{В} - \text{Р} + \text{Г} = 2$ , где $\text{В}$ — число вершин, $\text{Р}$ — рёбер, $\text{Г}$ — граней. Её удобно использовать для самопроверки: если подсчёт граней и рёбер не даёт двойку, где-то ошибка. Эта теорема верна для всех многогранников из таблицы ниже — проверьте любую строку.

Многогранник	Вершины	Рёбра	Грани
Куб	8	12	6
Тетраэдр (треугольная пирамида)	4	6	4
Треугольная призма	6	9	5
Четырёхугольная пирамида	5	8	5
Шестиугольная призма	12	18	8
$n$ -угольная призма	$2n$	$3n$	$n + 2$
$n$ -угольная пирамида	$n + 1$	$2n$	$n + 1$

Параллелепипед и куб: диагональ, объём, поверхность

Прямоугольный параллелепипед — это многогранник с 6 прямоугольными гранями; его размеры задаются тремя рёбрами $a$ , $b$ , $c$ , выходящими из одной вершины. Куб — частный случай, когда все рёбра равны.

Для прямоугольного параллелепипеда нужны три формулы:

$V = abc, \qquad S = 2(ab + bc + ac), \qquad d^2 = a^2 + b^2 + c^2.$

Пример. Рёбра равны 2, 3 и 6. Объём $2 \cdot 3 \cdot 6 = 36$ . Площадь поверхности $2(6 + 18 + 12) = 72$ . Диагональ $\sqrt{4 + 9 + 36} = \sqrt{49} = 7$ . Формула диагонали получается двойным применением теоремы Пифагора, как и доказывается в учебнике: сначала диагональ основания $\sqrt{a^2 + b^2}$ , затем гипотенуза треугольника с катетами «диагональ основания» и $c$ .

В учебнике Атанасяна эти формулы выводятся из общей формулы объёма призмы. Для куба с ребром $a$ формулы короче: $V = a^3$ , $S = 6a^2$ , $d = a\sqrt3$ . Наклонный параллелепипед, у которого боковые грани — параллелограммы, тоже существует, но для него объём считают как площадь основания на высоту, а формула $V = abc$ не подходит.

Призма: прямая, правильная, наклонная

Призма — это многогранник, у которого два основания — равные многоугольники в параллельных плоскостях, а боковые грани — параллелограммы. Название даёт число сторон основания: треугольная, четырёхугольная, шестиугольная.

Прямой называют призму, у которой боковые рёбра перпендикулярны основаниям; тогда боковые грани — прямоугольники, а высота равна боковому ребру. Правильная призма — прямая, и в основании у неё правильный многоугольник. Учебник геометрии для 10–11 классов вводит эти определения до формул объёма, и порядок важен: без слова «прямая» формула боковой поверхности не верна. Объём любой призмы $V = S_{\text{осн}} \cdot h$ . Боковая поверхность прямой призмы $S_{\text{бок}} = P_{\text{осн}} \cdot h$ , полная — $S_{\text{бок}} + 2S_{\text{осн}}$ .

Сторона основания правильной треугольной призмы равна 6, высота равна 10. Найдите объём и площадь боковой поверхности.

Площадь правильного треугольника $\frac{a^2\sqrt3}{4} = \frac{36\sqrt3}{4} = 9\sqrt3$ . Объём $9\sqrt3 \cdot 10 = 90\sqrt3$ . Периметр основания $18$ , боковая поверхность $18 \cdot 10 = 180$ . У наклонной призмы боковое ребро длиннее высоты, и формула $P \cdot h$ для боковой поверхности не работает — там каждую боковую грань считают отдельно.

Пирамида: высота, апофема, боковое ребро

Пирамида — это многогранник, у которого одна грань — произвольный многоугольник (основание), а остальные — треугольники с общей вершиной. Высота пирамиды — перпендикуляр из вершины на плоскость основания.

Правильная пирамида имеет в основании правильный многоугольник, и её высота падает в его центр. В правильной пирамиде появляется апофема — высота боковой грани, проведённая из вершины. Объём любой пирамиды $V = \frac13 S_{\text{осн}} h$ , боковая поверхность правильной пирамиды $S_{\text{бок}} = \frac12 P_{\text{осн}} \cdot l$ , где $l$ — апофема.

В правильной четырёхугольной пирамиде сторона основания равна 6, высота равна 4. Найдите апофему, боковое ребро, площадь полной поверхности и объём.

Расстояние от центра квадрата до середины стороны равно 3, поэтому апофема $l = \sqrt{4^2 + 3^2} = 5$ . Расстояние от центра до вершины квадрата — половина диагонали, $3\sqrt2$ , значит боковое ребро $\sqrt{16 + 18} = \sqrt{34}$ . Боковая поверхность $\frac12 \cdot 24 \cdot 5 = 60$ , полная — $60 + 36 = 96$ . Объём $\frac13 \cdot 36 \cdot 4 = 48$ .

Миф: «апофема и высота пирамиды — одно и то же, просто разные названия». Это неверно: высота опускается на плоскость основания, а апофема — на ребро основания внутри боковой грани. Апофема всегда длиннее высоты, и в примере выше это 5 против 4.

Призма и пирамида с общим основанием

Если призма и пирамида имеют общее основание и равные высоты, объём пирамиды ровно в 3 раза меньше. Это прямое следствие формул: $Sh$ против $\frac13 Sh$ .

На этом соотношении построено много задач с кратким ответом: из куба вырезали пирамиду с вершиной в центре верхней грани, внутри призмы построили пирамиду с той же высотой. Объём оставшейся части тогда равен $\frac23$ объёма призмы. Например, из куба с ребром 3 вырезана пирамида с основанием — нижней гранью и вершиной на верхней грани: её объём $\frac13 \cdot 9 \cdot 3 = 9$ , оставшаяся часть — $27 - 9 = 18$ .

Второе полезное правило — о подобии. Если все линейные размеры многогранника увеличить в $k$ раз, площадь поверхности вырастет в $k^2$ раз, а объём — в $k^3$ раз. Плоскость, параллельная основанию пирамиды и проходящая через середину высоты, отсекает пирамиду, подобную исходной с коэффициентом $\frac12$ : её объём составляет $\frac18$ исходного. Соответствующая теорема об отношении объёмов подобных тел доказывается в курсе 11 класса. Это правило не подходит, если размеры меняются по-разному, например высоту увеличили в 2 раза, а основание оставили прежним — тогда объём вырастет только в 2 раза.

Развёртка и площадь поверхности многогранника

Площадь поверхности многогранника — это сумма площадей всех его граней; удобнее всего считать её по развёртке, разложив грани на плоскости.

Развёртки многогранников разбираются в школьном учебнике геометрии, а задачи на площадь поверхности есть и в сборниках типовых вариантов^[3]. Развёртка куба состоит из 6 квадратов, треугольной призмы — из 3 прямоугольников и 2 треугольников, четырёхугольной пирамиды — из квадрата и 4 треугольников. Подсчёт по развёртке страхует от главной ошибки — забытого основания. Если в задаче спрашивают «площадь боковой поверхности», основания не входят в ответ; если «площадь поверхности» без уточнения — входят все грани.

Для составных тел, например буквы «Г» из кубиков, площадь поверхности считают через проекции: смотрят на тело спереди, сверху и сбоку, складывают площади видимых частей и удваивают. Этот приём работает только для тел, собранных из прямоугольных параллелепипедов без «пещер» и выемок внутри.

Тренажёр и задачи с проверкой

Под заголовком страницы — «Тренажёр · № 13 ЕГЭ база · бесконечные варианты»: он генерирует задачи на объём пирамиды и на отношение объёмов, а числа меняются при каждом нажатии «Следующая задача →».

Кнопка «Проверить» сравнивает ваш ответ с верным, «Решение» показывает разбор, полоска внизу хранит последние ответы. Генератор также выдаёт задачи о конусе и цилиндре — они разобраны в статье тела вращения: цилиндр, конус, шар. Ниже, в блоке «Задачи с проверкой», — 7 задач именно о многогранниках: диагональ параллелепипеда, апофема, полная поверхность призмы, число рёбер.

Загружаем тренажёр…

Задача 13 базового уровня целиком разобрана в материале задание 13 ЕГЭ базового уровня, а стереометрия первой части профиля — в статье задание 3 профильного ЕГЭ. По спецификации ФИПИ^[2] стереометрия с кратким ответом есть в обоих уровнях экзамена: в базовом это задания 11 и 13, в профильном — задание 3.

Когда готовая формула не подходит

Формулы из таблицы рассчитаны на «чистые» фигуры, и в 4 типичных ситуациях их нельзя применять напрямую.

Если призма наклонная, боковая поверхность не равна $P \cdot h$ : каждую из 3, 4 или более боковых граней приходится считать как параллелограмм.
Если пирамида неправильная, формула $\frac12 P l$ не работает — у 4 боковых граней будут 4 разные высоты.
Если тело составлено из 2–3 частей, объём считают по частям, а площадь поверхности — без внутренних склеенных граней.
Если в задаче профильного ЕГЭ № 15 нужно обоснование, одной формулы мало — требуется доказательство, например через сечение; см. построение сечений многогранников.

Чего делать нельзя

Не следует торопиться с подстановкой: большинство ошибок в этой теме — не в счёте, а в выборе отрезка.

Нельзя подставлять боковое ребро пирамиды вместо высоты в формулу объёма.
Нельзя забывать множитель $\frac13$ в объёме пирамиды — ответ получится втрое больше.
Не следует считать апофему высотой пирамиды: это высота боковой грани.
Не следует включать основания в площадь боковой поверхности.
Не стоит применять $V = abc$ к наклонному параллелепипеду.
Не стоит умножать объём на $k^2$ при подобии: для объёма коэффициент возводят в куб.

Источники

[1] Атанасян Л. С., Бутузов В. Ф., Кадомцев С. Б. и др. Геометрия. 10–11 классы. — М.: Просвещение.

[2] ФИПИ. Спецификация контрольных измерительных материалов для проведения в 2027 году единого государственного экзамена по математике. Базовый уровень (проект). — М.: ФИПИ, 2026.

[3] Ященко И. В. (ред.). ЕГЭ. Математика. Базовый уровень. Типовые экзаменационные варианты. — М.: Национальное образование.

Вопросы и ответы

Чем призма и пирамида отличаются по форме?

У призмы два равных основания и боковые грани-параллелограммы, у пирамиды одно основание и боковые грани-треугольники с общей вершиной. Поэтому у призмы объём $Sh$ , а у пирамиды $\frac13 Sh$ .

Куб — это призма?

Да. Куб — правильная четырёхугольная призма, у которой высота равна стороне основания, и одновременно прямоугольный параллелепипед с равными рёбрами.

Что такое тетраэдр?

Тетраэдр — треугольная пирамида, у неё 4 грани, 6 рёбер и 4 вершины. Правильный тетраэдр имеет все рёбра равными, и любую его грань можно считать основанием.

Какие формулы дают на экзамене?

Справочные материалы зависят от экзамена и уровня, поэтому надёжнее помнить формулы объёма и площади поверхности самому. Для пирамиды главное — не потерять $\frac13$ .

Как найти высоту правильной пирамиды по боковому ребру?

Рассмотрите прямоугольный треугольник: гипотенуза — боковое ребро, один катет — радиус описанной около основания окружности, второй — высота. Для четырёхугольной пирамиды этот катет равен половине диагонали квадрата.

Призма и пирамида встречаются в ОГЭ?

В перечне тем ОГЭ отдельного задания по стереометрии нет. Прямоугольный параллелепипед может появиться в практических задачах 1–5, например при расчёте объёма помещения.